Pengertian-Pengertian Fungsi dan Grafik Pengertian-Pengertian

Pengantar Dalam pelajaran berikut ini disajikan bahasan tentang fungsi dan grafik sebagai tahap awal dalam mempelajari kalkulus Bahasan dibatasi pada fungsi-fungsi dengan peubah bebas tunggal yang berupa bilangan nyata

Keseluruhan bahasan mengenai fungsi dan grafik akan mencakup Pengertian Tentang Fungsi Fungsi Linier Gabungan Fungsi Linier Mononom dan Polinom Bangun Geometris Fungsi Trigonometri Gabungan Fungsi Sinus Fungsi Logaritma Natural, Eksponensial, Hiperbolik Fungsi dalam Koordinat Polar

Pengertian Tentang Fungsi

Fungsi Apabila suatu besaran y memiliki nilai yang tergantung dari nilai besaran lain x, maka dikatakan bahwa besaran y tersebut merupakan fungsi besaran x Contoh: panjang sebatang batang logam (= y) merupakan fungsi temperatur (= x) Secara umum pernyataan bahwa y merupakan fungsi x dituliskan y disebut peubah tak bebas nilainya tergantung x x disebut peubah bebas bisa bernilai sembarang Walaupun nilai x bisa berubah secara bebas, namun nilai x tetap harus ditentukan sebatas mana ia boleh bervariasi Dalam pelajaran ini kita hanya akan melihat x yang berupa bilangan nyata. Selain bilangan nyata kita mengenal bilangan kompleks yang dibahas dalam pelajaran mengenai bilangan kompleks.

Domain Domain ialah rentang nilai (interval nilai) di mana peubah-bebas x bervariasi. Ada tiga macam rentang nilai yaitu: rentang terbuka a < x < b a b a dan b tidak termasuk dalam rentang rentang setengah terbuka a b a  x < b a masuk dalam rentang, tetapi b tidak rentang tertutup a b a  x  b a dan b masuk dalam rentang

Sistem koordinat x-y atau koordinat sudut-siku (koordinat Cartesian, dikemukakan oleh des Cartes) Bidang dibatasi oleh dua sumbu, yaitu sumbu mendatar yang kita sebut sumbu-x dan sumbu tegak yang kita sebut sumbu-y. Bidang terbagi dalam 4 kuadran yaitu Kuadran I, II, III, dan IV sumbu-y Posisi titik pada bidang dinyatakan dalam koordinat [x, y] -4 -3 -2 -1 1 2 3 y sumbu-x Q[-2,2] II I P[2,1] -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x III IV S[3,-2] R[-3,-3]

(kita baca: “delta x per delta y”) Kurva dari Suatu Fungsi Kita lihat fungsi: Setiap nilai x akan menentukan satu nilai y x -1 1 2 3 4 dst. y -0,5 0,5 1,5 -0,5 0,5 1 1,5 2 2,5 -1 3 4 x y P R Q Kurva Δx Δy Titik P, Q, R, terletak pada kurva Kemiringan kurva: (kita baca: “delta x per delta y”)

Kekontinyuan Suatu fungsi yang kontinyu dalam suatu rentang nilai x tertentu, akan membentuk kurva yang tidak terputus dalam rentang tersebut. Suatu fungsi y = f(x) yang terdefinisi di sekitar x = c dikatakan kontinyu di x = c jika dipenuhi dua syarat: (1) fungsi tersebut memiliki nilai yang terdefinisi sebesar f(c) di x = c; (2) nilai f(x) akan menuju f(c) jika x menuju c; pernyataan ini kita tuliskan sebagai yang kita baca: limit f(x) untuk x menuju c sama dengan f(c).

(y untuk x = 0 tidak dapat ditentukan nilainya) Contoh: y x y = u(x) 1 Terdefinisikan di x = 0 yaitu y|x=0 = 1 (y untuk x = 0 adalah 1) y x -1 1 -10 -5 5 10 y = 1/x Tak terdefinisikan di x = 0 (y untuk x = 0 tidak dapat ditentukan nilainya) y = 1/x

Simetri Jika fungsi tidak berubah apabila x kita ganti dengan x maka kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-y; 2. Jika fungsi tidak berubah apabila x dan y dipertukarkan, kurva fungsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III. 3. Jika fungsi tidak berubah apabila y diganti dengan y, kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-x. 4. Jika fungsi tidak berubah jika x dan y diganti dengan x dan y, kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [0,0].

tidak berubah bila x diganti x Contoh: y = 0,3x2 tidak berubah bila x diganti x x -6 -3 3 6 y (simetris terhadap sumbu-y) y = 0,05x3 tidak berubah jika x dan y diganti dengan x dan y (simetris terhadap titik [0,0]) tidak berubah jika: x diganti x x dan y diganti dengan x dan y x dan y dipertukarkan y diganti dengan y y2 + x2 = 9

Pernyataan bentuk implisit Pernyataan Fungsi Bentuk Implisit Pernyataan fungsi disebut bentuk eksplisit. dapat diubah ke bentuk eksplisit Pernyataan bentuk implisit Walaupun tidak dinyatakan secara eksplisit, setiap nilai peubah-bebas x akan memberikan satu atau lebih nilai peubah-tak-bebas y -8 -4 4 8 -2 2 x y

untuk setiap nilai peubah-bebas Fungsi Bernilai Tunggal Fungsi bernilai tunggal adalah fungsi yang hanya memiliki satu nilai peubah-tak-bebas untuk setiap nilai peubah-bebas Contoh: 4 8 -1 1 2 3 x y 0,8 1,6 1 2 x y -1,6 -0,8 1 2 x y -0,8 0,8 1 2 3 4 x y 2 4 -4 -2 x y

untuk setiap nilai peubah-bebas Fungsi Bernilai Banyak Fungsi bernilai banyak adalah fungsi yang memiliki lebih dari satu nilai peubah-tak-bebas untuk setiap nilai peubah-bebas Contoh: -10 -5 5 10 1 2 3 x y -2 -1 1 2 3 x y

Fungsi Dengan Banyak Peubah Bebas Secara umum kita menuliskan fungsi dengan banyak peubah-bebas: Fungsi dengan banyak peubah bebas juga mungkin bernilai banyak, misalnya Fungsi ini akan bernilai tunggal jika dinyatakan sebagai

Sistem Koordinat Polar Selain sistem koordinat sudut-siku di mana posisi titik dinyatakan dalam skala sumbu-x dan sumbu-y, kita mengenal pula sistem koordinat polar. Dalam sistem koordinat polar, posisi titik dinyatakan oleh jarak titik ke titik-asal [0,0] yang diberi simbol r, dan sudut yang terbentuk antara r dengan sumbu-x yang diberi simbol  Hubungan antara koordinat sudut siku dan koordinat polar adalah sebagai berikut x P  r y rsin rcos

Bentuk ini disebut cardioid Contoh: -3 -2 -1 1 2 3 -5 y x r  P[r,] Bentuk ini disebut cardioid

Contoh: -1 -0,5 0,5 1 1,5 2 3 x y r  P[r,] y = 2

Course Ware Fungsi dan Grafik Sudaryatno Sudirham