Variabel Acak 2.1 Variabel Acak Diskrit 2.2 Variabel Acak Kontinu 2.3 Nilai Harapan dari Variabel Acak 2.4 Variansi Variabel Acak 2.5 Distribusi Gabungan Variabel Acak 2.6 Kombinasi dan Fungsi Variabel Acak

2. 1 Variabel Acak Diskrit (Discrete Random Variable) 2. 1 2.1 Variabel Acak Diskrit (Discrete Random Variable) 2.1.1 Definisi Random Variable (1/2) Variabel Acak (Random variable) Nilai numerik untuk setiap hasil percobaan tertentu suatu fungsi yang didefinisikan pada sample space 2 1 3 -1 -2 -3

2.1.1 Definisi Random Variable (2/2) Contoh 1 : Kerusakan Mesin Sample space : S={ Elektrik, Mekanik} Setiap kerusakan terkait dengan biaya perbaikan State space {50,200}: Biaya adalah variabel acak 50, 200

2.1.2 Probability Mass Function (1/2) Himpunan pasangan berurut (x, f(x)) adalah sebuah probability mass function dari variabel random diskrit X jika, untuk tiap outcome x yang mungkin, 1. f(x) > 0 2. 3. P(X=x) = f(x)

2.1.2 Probability Mass Function (1/2) Contoh 1 : Kerusakan Mesin P (cost=50)=0.7, P (cost=200)=0.3, 0.7 + 0.3 =1 50 200 0.7 0.3 0.7 50 200 350 0.3

2.1.3 Cumulative Distribution Function (1/2) Disingkat : c.d.f 1.0 0.5 0.3 50 200 350

2.1.3 Cumulative Distribution Function (2/2) Contoh 1 : Kerusakan Mesin

2.2 Variabel Acak Kontinu 2.2.1 Contoh Variabel Acak Kontinu (1/1) Contoh 14 : Produksi Tabung Logam Seandainya variabel acak X adalah diameter yang dipilih secara acak oleh perusahaan. Karena variabel acak ditetapkan dari nilai 49.5 dan 50.5, Maka diameter tersebut adalah variabel kontinu

2.2.2 Probability Density Function (1/4) Probability Density Function (p.d.f.) Sifat Probabilitas variabel acak kontinu

2.2.2 Probability Density Function (2/4) Contoh Misalkan diameter tabung logam memiliki fungsi p.d.f 49.5 50.5

2.2.2 Probability Density Function (3/4) Sehingga p.d.f.

2.2.2 Probability Density Function (4/4) Probabilitas bahwa sebuah silinder logam memiliki diameter antara 49.8 dan 50.1 mm dapat dihitung yaitu 49.5 50.5 49.8 50.1

2.2.3 Cumulative Distribution Function (1/3)

2.2.2 Probability Density Function (2/3) Contoh

2.2.2 Probability Density Function (3/3) 1 49.5 49.7 50.0 50.5

2. 3 Ekpektasi Variabel Acak 2. 3 2.3 Ekpektasi Variabel Acak 2.3.1 Ekpektasi Variabel Acak Diskrit (1/2) Expektasi variabel acak diskrit p.m.f Expektasi variabel acak kontinu p.d.f f(x) Nilai ekpektasi dari variabel acak juga disebut mean of the random variable

2.3.1 Expectations of Discrete Random Variables (2/2) Contoh ( Variabel acak diskrit ) Harapan biaya perbaikan E(Cost) =($50x0.7)+($200x0,3)=…..

2.3.2 Expectations of Continuous Random Variables (1/2) Contoh untuk variabel random kontinu) Diameter yang diharapkan dari tabung logam adalah Rubah variabel : y=x-50

2.3.2 Expectations of Continuous Random Variables (2/2) Variabel Acak simetris Jika memiliki pdf f(x) a disekitar titik  point sehingga maka Sehingga harapan dari variabel acak adalah sama dengan titik simetris

2.3.3 Median dari variabel acak (1/2) Informasi titik tengah dari variabel random Variabel acak simetris Jika variabel acak kontinu simetris dititik  maka median dan dan harapan dari variabel random sama dengan 

2.3.3 Medians of Random Variables (2/2) Contoh

2. 4 The variance of a Random Variable 2. 4 2.4 The variance of a Random Variable 2.4.1 Definition and Interpretation of Variance (1/2) Variance( ) Suatu nilai untuk mengukur penyebaran distribusi variabel acak disekitar rata Semakin besar nilai dari variance menyatakan semakin tersebar distribusi datanya Definisi: Standard Deviation Akar positif dari suatu variance Dinyatkan dengan

2.4.1 Definition and Interpretation of Variance (2/2) Dua distribusi data dengan mean sama tetapi berbeda variansinya

2.4.2 Examples of Variance Calculations (1/1) Contoh

2.4.3 Chebyshev’s Inequality (1/1) Jika variabel acak memiliki  dan variance 2 , maka Misal

bukti

2.4.4 Quantiles of Random Variables (1/2) Quantile ke p dari variabel acak X Upper quartile 75 % dari distribusi Lower quartile 25 % dari distribusi Interquartile range Selisih antara two quartiles

2.4.4 Quantiles of Random Variables (2/2) Contoh Upper quartile : Lower quartile : Interquartile range :

2. 5 Jointly Distributed Random Variables 2. 5 2.5 Jointly Distributed Random Variables 2.5.1 Jointly Distributed Random Variables (1/4) Joint Probability Distributions Diskrit Kontinu

2.5.1 Jointly Distributed Random Variables (2/4) Joint Cumulative Distribution Function Discrete Continuous

2.5.1 Jointly Distributed Random Variables (3/4) Contoh 19 : Pemeliharaan AC Perusahaan jasa AC di perumahan dan perkantoran tertarik untuk menjadwal teknisi dengan cara yang lebih efisien Variabel acak X, dengan nilai 1,2,3 dan 4, adalah waktu layanan dalam jam Variabel acak Y, dengan nilai 1,2 dan 3, adaah jumlah satuan AC

2.5.1 Jointly Distributed Random Variables (4/4) number of units X=service time 1 2 3 4 0.12 0.08 0.07 0.05 0.15 0.21 0.13 0.01 0.02 Joint p.m.f Joint cumulative distribution function

2.5.2 Marginal Probability Distributions (1/2) Diperoleh dengan menjumlahkan atau mengintegrasikan distribusi probabilitas bersama atas nilai-nilai variabel random lainnya Diskrit Kontinu

2.5.2 Marginal Probability Distributions (2/2) Contoh Marginal p.m.f of X Marginal p.m.f of Y

Marginal Pdf variabel kontinu Joint pdf: Marginal pdf’s of X and Y:

2.5.3 Conditional Probability Distributions (1/2) Distribusi Probabilitas Bersyarat Probabilistas dari variabel acak X berdasarkan pengetahuan yang diberikan oleh nilai Y Diskrit Kontinu Distribusi probabilitas bersyarat adalah distribusi probabilitas.

2.5.3 Conditional Probability Distributions (2/2) Contoh Marginal probability distribution dari Y Distribusi bersyarat dari X

2.5.4 Independence and Covariance (1/5) Dua variabel random X dan Y dikatakan saling bebas jika Diskrit Kontinu

2.5.4 Independence and Covariance (2/5) Mungkin mendapatkan bilangan positif atau negatif Variabel random yang saling bebas memiliki covariance nol Bagaimana jika covarian adalah nol?

2.5.4 Independence and Covariance (3/5) Contoh 19 (Perbaikan AC)

2.5.4 Independence and Covariance (4/5) Korelasi: Nilai antara -1 dan 1, dan variabel acak yang saling bebas memiliki korelasi nol

2.5.4 Independence and Covariance (5/5) Contoh: (Perbaikan Air conditioner (AC))

Bagaimana jika variabel random X dan Y memiliki hubungan relasi linier misalkan dimana Yaitu : Corr(X,Y)=1 if a>0; -1 if a<0.

2. 6 Combinations and Functions of Random Variables 2. 6 2.6 Combinations and Functions of Random Variables 2.6.1 Fungsi Linear Variabel acak (1/4) Fungsi Linear Variabel acak Jika X adlah random variable dan untuk maka dan Standardization -Jika random variable X memilikai ekpektasi  dan variance  , memiliki ekpektasi nol dan varian satu.

2.6.1 Linear Functions of Random Variables (2/4) Contoh :Standarisasi nilai Test Misalkan score X dari prosedur tes tertentu tersebar antara -5 dan 20 nilai harapan10 dan variance 7. Untuk standarisasi skor yang terletak antara 0 dan 100, menggunkan transformasi linear

2.6.1 Linear Functions of Random Variables (3/4) Misalkan, x=12 standarisasi skor y=(4ⅹ12)+20=68

2.6.1 Linear Functions of Random Variables (4/4) Jumlah variabel Acak jika dan adalah dua variabel acak, maka dan jika dan saling bebas sehingga maka

sifat

2.6.2 Linear Combinations of Random Variables (1/5) Kombinasi linier dari variabel acak jika serangkaian varriabel acak dan dan konstanta maka Jika saling bebas maka

2.6.2 Linear Combinations of Random Variables (2/5) Rata-rata variabel random saling bebas Seandainya adalah serangkain bilangan random saling bebas dan ekpektasi (harapan) dan variansi dengan maka dan

2.6.2 Linear Combinations of Random Variables (3/5)

2.6.2 Linear Combinations of Random Variables (4/5) Example 21 The standardized scores of the two tests are The final score is

2.6.2 Linear Combinations of Random Variables (5/5) The expected value of the final score is The variance of the final score is

2.6.3 Nonlinear Functions of a Random Variable (1/3) Nonlinear function of a Random Variable A nonlinear function of a random variable X is another random variable Y=g(X) for some nonlinear function g. There are no general results that relate the expectation and variance of the random variable Y to the expectation and variance of the random variable X

2.6.3 Nonlinear Functions of a Random Variable (2/3) For example, Consider What is the pdf of Y? 1 x f(x)=1 E(x)=0.5 1.0 2.718 y f(y)=1/y E(y)=1.718

2.6.3 Nonlinear Functions of a Random Variable (3/3) CDF methd The p.d.f of Y is obtained by differentiation to be Notice that

Determining the p.d.f. of nonlinear relationship between r.v.s: Given and ,what is ? If are all its real roots, that is, then where

Example: determine -> one root is possible in