Bunga Tunggal dan Bunga Majemuk Actuarial Methods Bunga Tunggal dan Bunga Majemuk

Tingkat diskonto dan faktor diskonto Faktor diskonto dan tingkat diskonto atas satu satuan waktu Diskonto tunggal atas beberapa satuan waktu Instrument diskonto Tingkat diskonto efektif dan nominal Hubungan antara bunga yang dapat dibayar tiap bulan dan tunggakan Majemuk berlanjut: Kekuatan bunga

Faktor diskonto dan tingkat diskonto atas satu satuan waktu Misalnya kuantitas 𝑐 0 diakumulasikan hingga 𝑐 1 dalam satu satuan waktu. Kita tahu bahwa kuantitas 𝑐 1 − 𝑐 0 merupakan bunga pada depeosito 𝑐 0 . Atau juga bisa disebut diskonto pada pembayaran kembali 𝑐 1 . Tingkat bunga 𝑖= 𝑐 1 − 𝑐 0 𝑐 0 dan tingkat diskonto 𝑑= 𝑐 1 − 𝑐 0 𝑐 1 = 𝑖 1+𝑖 . Dengan demikian 𝑐 1 = 𝑐 0 (1+𝑖), 𝑐 0 = 𝑐 1 (1−𝑑) dan 𝑖 𝑐 0 =𝑑 𝑐 1 Formula akhir diperoleh: Suku bunga × nilai sekarang = tingkat diskonto × nilai masa depan Catatannya 𝑐 0 = 1 1+𝑖 𝑐 1 =𝑣 𝑐 1 dimana 𝑣= 1 1+𝑖 merupakan diskonto faktor

Lanjutan Oleh karena itu 𝑐 0 merupakan nilai sekarang (saat waktu 𝑡 0 ) dari 𝑐 1 saat 𝑡 1 +1, dan nilai sekarang = faktor diskon × nilai masa depan Hal ini akan membingungkan untuk membedakan “tingkat diskonto (d)” dan “faktor diskonto (v)”, namun di dalam suatu konteks biasanya memyediakan beberapa bantuan. Istilah yang biasa digunakan dalam keuangan adalah tingkat diskonto. Catatannya bahwa tingkat diskonto (seperti tingkat bunga) biasanya dinyatakan dalam presentase. Petunjuk hubungan diantara 𝑑, 𝑣 dan 𝑖 akan diberikan sebagai berikut: 𝑣=1−𝑑, 𝑑= 𝑖 1+𝑖 , 𝑣= 1 1+𝑖 , 𝑑=𝑖𝑣 interpretasi formula 𝑑=𝑖𝑣 : sebuah dinkonto 𝑑 diterima saat waktu 0 sama halnya pembayaran bunga pada 𝑖 diterima saat waktu 1 didiskontokan kembali pada nilai waktu 0.

Lanjutan - Contoh Misalnya 100 pound diinvestasikan untuk satu tahun pada bunga 8% per tahun. Kemudian pembayaran kembali (pound) diperoleh 𝑐 1 = 1+0.08 ×100=108. Nilai sekarang pada jumlah 108 pound dalam satu tahun adalah 𝑐 0 = 1 1+0.08 ×108=100. Diskonto faktor = 1 1.08 = 25 27 ≈0.9259. Tingkat diskonto = 8 108 = 2 27 ≈0.074 atau 7.4%.

Diskonto tunggal atas beberapa satuan waktu Jika 𝑐 𝑛 merupakan jumlah yang harus dibayarkan setelah 𝑛 waktu dan tingkat diskonto tunggal terhadap 𝑑 satuan waktu yang telah dipakai, kemudian jumlah yang diinvestisikan sekarang adalah 𝑐 0 =(1−𝑛𝑑) 𝑐 𝑛 . Jika 𝑖 merupukan bunga tunggal per satuan waktu, diperoleh: 1−𝑛𝑑= 1 1+𝑛𝑖 , 𝑖= 𝑑 1−𝑛𝑑 , 𝑑= 𝑖 1+𝑛𝑖

Lanjutan - Contoh Sebuah tagihan komersial yang jatuh tempo pada 30 September dan nilai jatuh temponya 100000 pound yang merupakan harga pada 1 Agustus saat 5% per tahun pada diskonto tunggal. Tentukan jumlah diskontonya? Jawab Jangka waktunya 61 hari. Menggunakan 𝑐 0 = 𝑐 𝑛 (1−𝑛𝑑) menunjukkan jumlah pada diskonto 𝑐 𝑛 𝑛𝑑=100000× 61/365 ×0.05=835.62 Bunga pada 835.62 pound dalam 61 hari menghasilkan laba pada pokok 100000−835.62. Ini merupakan tingkat bunga tunggal per tahun dari, 365 61 835.62 100000−835.62 = 100000×0.05 100000−835.62 = 0.05 1−(61/365)×0.05 =0.054

Lanjutan Cara lainnya dapat menggunakan 1+𝑛𝑖 1−𝑛𝑑 =1 dengan 𝑖= 𝑑 1−𝑛𝑑 =0.0504. Dengan catatan tingkat bunga tunggal tidak sama dengan tingkat diskonto 𝑑=0.05. Maturitas (maturity) adalah waktu di mana suatu instrumen keuangan, seperti promes atau obligasi, menjadi jatuh tempo. Nilai Nominal (face value) adalah nilai pokok dari suatu obligasi yang akan diterima oleh pemegang obligasi pada saat obligasi tersebut jatuh tempo. (www.kamusbisnis.com)

Instrument Diskonto Kupon merupakan pembayaran bunga yang dibuat oleh penerbit. Hal ini berdasarkan face value atau nominal value. face value biasanya dibayarkan kembali saat jatuh tempo, tetapi terkadang dibayarkan dalam beberapa pembayaran. Jumlah kupon diakumulasikan dari face value. Yield merupkan tingkat bunga yang dapat dihasilkan pada suatu investasi. Hal ini diakibatkan oleh harga pasar saat ini untuk suatu ivestasi. Hal ini berbeda degan kupon yang didasarkan pada tingkat kupon dan face value.

Lanjutan Instrumen diskonto merupakan instrumen keuangan yang tidak dapat mempengaruhi sebuah kupon. Karena hal ini tidak disertai bunga, maka terjual saat kurang dari face value. Dengan kata lain terjual saat diskonto. Pada kasus ini, Treasure Bill dapat terjual, karena hanya sekali pembayaran, sehingga bunga tunggal digunakan untuk mengkalkulasikannya. Treasury Bills (T-Bills) adalah obligasi berjangka pendek (jatuh tempo kurang dari satu tahun) yang dijamin oleh Pemerintah AS. (www.kamusbisnis.com)

Contoh Treasure Bill 100 juta pound diterbitkan untuk 90 hari. Cari harga penjualan untuk memperoleh yield 10%. Jawaban: Dengan menggunakan 𝑐 𝑛 = 𝑐 0 (1+𝑛𝑖) ditunjukkan oleh tagihan yang akan terjual untuk 𝑐 0 = 𝑐 𝑛 1+𝑛𝑖 = 10,000,000 1+ 90 365 ×0.1 =9,759,358.29 Sehingga maturity proceeds berarti face value. Market price menunjukkan nilai sekarang.

Formula kunci Formula kunci untuk bunga tunggal dan diskonto tunggal 𝑐 𝑛 = (1+𝑛𝑖) 𝑐 0 dan 𝑐 0 =(1−𝑛𝑑) 𝑐 𝑛 . Hasil lain merupakan konsekuensi terhadap kedua formula.

Formula dengan kata-kata Lanjutan Berikut merupakan hasil dari berbagai buku yang memberi penjelasan dengan kata-kata: Formula Matematika Formula dengan kata-kata 𝑐 0 = 𝑐 𝑛 1+𝑛𝑖 𝑀𝑎𝑟𝑘𝑒𝑡 𝑝𝑟𝑖𝑐𝑒= 𝑚𝑎𝑡𝑢𝑟𝑖𝑡𝑦 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑒𝑑𝑠 1+(𝑦𝑖𝑒𝑙𝑑×𝑗𝑎𝑛𝑔𝑘𝑎 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑠𝑡𝑎𝑠𝑖) 𝑖= 𝑑 1+𝑛𝑑 𝑦𝑖𝑒𝑙𝑑= 𝑡𝑖𝑛𝑔𝑎𝑡 𝑑𝑖𝑠𝑘𝑜𝑛𝑡𝑜 1−(𝑡𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑡 𝑑𝑖𝑠𝑘𝑜𝑛×𝑗𝑎𝑛𝑔𝑘𝑎 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑠𝑡𝑎𝑠𝑖) 𝑑= 𝑖 1+𝑛𝑖 𝑡𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑡 𝑑𝑖𝑠𝑘𝑜𝑛𝑡𝑜= 𝑦𝑖𝑒𝑙𝑑 1+(𝑦𝑖𝑒𝑙𝑑×𝑗𝑎𝑛𝑔𝑘𝑎 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑠𝑡𝑎𝑠𝑖) 𝑐 0 = 𝑐 𝑛 (1−𝑛𝑑) 𝑚𝑎𝑟𝑘𝑒𝑡 𝑝𝑟𝑖𝑐𝑒=𝑓𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒×(1−𝑡𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑡 𝑑𝑖𝑠𝑘𝑜𝑛𝑡𝑜×𝑗𝑎𝑛𝑔𝑘𝑎 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑠𝑡𝑎𝑠𝑖) 𝑐 𝑛 − 𝑐 𝑛 = 𝑐 𝑛 𝑑𝑛 𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑑𝑖𝑠𝑘𝑜𝑛𝑡𝑜=𝑓𝑎𝑐𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒×𝑡𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑡 𝑑𝑖𝑠𝑘𝑜𝑛𝑡𝑜×𝑗𝑎𝑛𝑔𝑘𝑎 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑠𝑡𝑎𝑠𝑖

Lanjutan-Contoh Treasure bill 10 juta pound diterbitkan untuk 90 hari. Jika yield 10%, berapa jumlah diskonto dan laju diskont nya? Jawab: Formula kunci nya adalah 𝑐 𝑛 =(1+𝑛𝑖) 𝑐 0 dan 𝑐 0 =(1−𝑛𝑑) 𝑐 𝑛 . Dalam pertanyaan ini diberikan 𝑐 𝑛 , n dan 𝑖, oleh karena itu kita dapat cari jumlah yang diminta 𝑐 0 dan 𝑑. Dimana, dari 1−𝑛𝑑 1+𝑛𝑖 =1, kita dapat 𝑑= 𝑖 1+𝑛𝑖 = 0.1 1+0.1×90/365 = 365 3740 =0.09759 atau 9.76% per tahun Oleh kareana itu jumlahan dari diskontonya adalah 𝑐 𝑛 − 𝑐 0 =𝑛𝑑 𝑐 𝑛 = 90 365 × 365 3740 ×10,000,000= 90,000,000 374 =240,641.71

thx