Dosen Pembimbing Gisoesilo Abudi SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN BINA INSAN MANDIRI BIM STKIP ALJABAR ABSTRAK Dosen Pembimbing Gisoesilo Abudi

SIFAT-SIFAT SEDERHANA DARI GRUP Materi Pokok ALJABAR ABSTRAK OPERASI BINER G R U P SIFAT-SIFAT SEDERHANA DARI GRUP SUB GRUP GRUP SIKLIK

Tujuan Instruksional Umum Setelah mempelajari materi ini, Anda dapat memahami tentang operasi biner, grup dan sifat-sifat sederhana dari grup, subgrup serta tentang grup siklik

Pertemuan Kedua G r u p 3. Contoh Soal 4. Latihan / Tugas 1. Definisi 2. Teorema Ke Materi Ketiga

Teorema Misalkan G suatu grup, maka ∀ a,b ∈ G berlaku (i) (a-1)-1 = a dan (ii) (ab)-1= b-1 a -1. Contoh: Grup P(9) = {1, 2, 4, 5, 7, 8} dengan × mod 9. 1-1 = 1 ; 2-1 = 5 ; 4-1 = 7 5-1 = 2 ; 7-1 = 4 ; 8-1 = 8 (7-1)-1 = 7 ; (5-1)-1 = 5 ; (8-1)-1 = 8

Teorema Apabila G suatu grup, maka ∀ a,b,c ∈ G berlaku : (i) Jika ab = ac, maka b = c (sifat kanselasi kiri) (ii) Jika ac = bc, maka a = b (sifat kanselasi kanan).

Teorema Jika G suatu grup, maka ∀ a,b ∈ G, persamaan-persamaan xa = b (persamaan kiri) dan ay = b (persamaan kanan), masing-masing mempunyai penyelesaian tunggal. Contoh: Diketahui P(9) = {1, 2, 4, 5, 7, 8} dengan × mod 9 adalah suatu grup. 2x = 1 7x = 8 5 . 2x = 5 .1 (?) 4.7x = 4.8 (?) x = 5 x = 5

Defenisi Misalkan G suatu grup, a ∈ G dan m suatu bilangan bulat positif, maka am = a a a ..... a sebanyak m faktor a-m = (a-1)m dengan a-1 adalah invers dari a. a 0 = e (elemen identitas).

Teorema Misalkan G suatu grup, m dan n sembarang bilangan bulat, maka ∀ a ∈ G berlaku : (i) am an = am+n (ii) (am)n = amn am bm = (ab)m Contoh: Diketahui P(15) = {1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14} dengan × mod 15 adalah suatu grup. 28 = 1 ; 2-18 = 4 ; 48 = 1 ; 7-48 = 1 11-25 = 11 ; 1342 = 4 ; 8802 = 4 ; 14-487 = 14

Definisi Misalkan G suatu grup dan a ∈ G. Periode (order) dari a (diberi symbol o(a) atau p(a)atau |a|) adalah suatu bilangan bulat positif terkecil, misalnya m, sedemikian hingga am = e. Jika tak ada bilangan bulat yang demikian, maka dikatakan bahwa order dari a adalah tak hingga.

Contoh Diketahui P(9) = {1, 2, 4, 5, 7, 8} dengan × mod 9 adalah suatu grup. o(1) = 1, o(2) = 6, o(4) = 3, o(5) = 6 , o(7) = 3 , o(8) = 2

Contoh Soal Misalkan a suatu elemen dari suatu grup dengan o(a) = 6. Tentukan o(a2), o(a3), o(a4) dan o(a5). Jawab: o(a) = 6  6 adalah bilangan bulat positif dengan a6 = e. (a2)3 = a6 = e, maka o(a2) =3 (a3)2 = a6 = e, maka o(a3) =2 (a4)3 = (a6 )2 = e, maka o(a4) =3 (a5)6 = (a6 )5 = e, maka o(a5) =6

Contoh Soal Misalkan G suatu grup berhingga dan a ∈ G, buktikan bahwa ada bilangan bulat positif n sedemikian hingga an = e. JAWAB: G suatu grup dan a ∈ G  a2, a3, a4, ... ∈ G. Tetapi, karena G berhingga, maka ada pengulangan penulisan dari elemen-elemen sebagai perpangkatan dari a tersebut. Apa artinya? Yaitu ada bilangan-bilangan bulat m dan k dengan m > k, sedemikian hingga : am = ak am-k = e Jadi n = m – k dan an = e.

Latihan Jika G suatu grup berhingga, tunjukkan bahwa ada suatu bilangan bulat n sedemikian hingga an = e untuk semua a ∈ G. Jika G suatu grup berhingga yang berorder genap, buktikan bahwa banyaknya elemen yang inversnya dirinya sendiri , selain elemen identitas adalah ganjil.

Latihan Jika G grup abelian yang berhingga dan a1, a2, . . . , an adalah elemen-elemennya, tunjukkan bahwa (a1a2 . . . an)2 = e.   Jika G grup abelian berorder ganjil, apakah hasilkali dari semua elemennya?

Latihan Misalkan G suatu grup yang memenuhi (ab)3 = a3b3 dan (ab)5= a5b5, untuk semua a,b ∈ G. Tunjukkan bahwa G suatu grup abelian!

Thank You ! Selamat Belajar