1. 7 Faktorisasi Persamaan Kuadrat, ax2 + bx + c dengan a 1 a.x2 + b.x + c  diuraikan ax2 + f1. x + f2. x + c Contoh 1 : faktorkan 6x2 + 11. x + 3  (a.x2 + b.x + c) Untuk kasus ini, a = 6; b = 11; c = 3. Faktor 18 yang mungkin = (1,18); (2,9); (3,6) c positif diperlukan faktor f1 dan f2 ditambahkan/maksudnya : f1 + f2 = 11 = b  Faktor yang diperlukan adalah (2,9), c positif,  Kedua faktor mempunyai tanda yang sama dengan b yaitu positif  f1 = 2; f2 = 9  6.x2 + 11.x + 3 = 6.x2 + 2.x + 9.x + 3 = (6.x2 + 9.x) + (2.x + 3) = 3.x .(2.x + 3) + 1.(2.x + 3) = (2.x + 3).(3.x + 1)

Contoh 2 : 3.x2 – 14.x + 8  (a.x2 + b.x + c) a = 3 ; b = -14 ; c = 8 . Faktor 24 yang mungkin = (1,24) ; (2,12) ; (4,6) c positif. Total faktor yang diperlukan b, yaitu 14 (2,12) c positif. Faktor mempunyai tanda yang sama dengan b, yaitu (-)  f1 = -2; f2 = -12.  3.x2 - 14.x + 8 = 3.x2 - 2.x - 12.x + 8 = (3.x2 - 12.x) - (2.x - 8) = 3.x .(x - 4) - 2.(x - 4) = (x - 4).(3.x - 2) Contoh 3 : 8.x2 + 18.x – 5  (a.x2 + b.x + c) Pada kasus ini, a = 8; b = 18; c = -5, ac = 40 Faktor 40 yang mungkin = (1,40); (2,20); (4,10); (5,8) Faktor yang diperlukan oleh b adalah 18   (2,20) c negatif. Faktor numerik terbesar mempunyai tanda b, yaitu positif. c negatif. tanda f1 dan f2 berbeda. f1 = 20; f2 = -2.

 8.x2 + 18.x – 5 = 8.x2 + 20.x –2.x –5 = 4.x.(2.x + 5) – 1.(2x + 5) = (2x + 5) (4x –1)   Uji Untuk Faktor : Jika b2 – 4.a.c adalah kuadrat sempurna a.x2 + b.x + c dapat difaktorisasi kedua faktor linear. Jika b2 – 4.a.c bukan kuadrat sempurna tidak ada faktor linearnya persamaan a.x2 + b.x + c.

2. Evaluasi Polinomial dan Faktorisasi   Notasi Fungsi 3.x2 + 5.x – 9 adalah fungsi x dan dapat dinotasikan dengan f(x), misal f(x) = 3.x2 + 5.x – 9 Jika x = 2, fungsi mempunyai nilai 12 + 10 – 9 = 13 Kita dapat menulis sebagai f(2) = 13.   Fungsi Polinomial Fungsi polinomial dalam x adalah persamaan mencakup pangkat x, biasanya disusun dengan pangkat yang semakin kecil (atau seringkali semakin besar). Derajat polinomial ditentukan oleh pangkat tertinggi x yang ada pada persamaan tersebut. Contoh: 5.x4 + 7.x3 + 3.x – 4 adalah polinomial derajat 4

dan 2.x3 + 4.x2 – 2.x + 7 adalah polinomial derajat 3, dan seterusnya. Polinomial derajat rendah sering mempunyai nama-nama alternatif. Misal: 2.x – 3 adalah polinomial derajat 1 atau persamaan linear,   3.x2 + 4.x +2 adalah polinomial derajat 2 atau persamaan kuadrat Polinomial derajat 3 disebut persamaan kubik, Polinomial derajat 4 disebut persamaan kuartik.

2.3 Evaluasi Polinomial secara “Terstruktur” f(x) = 5.x3 + 2.x2 –3.x + 6. Untuk menulis dalam bentuk terstruktur, susun koefisiennya dan satu faktor x dari suku pertama, dan tambahkan koefisien di suku selanjutnya. Langkah-langkah : 5.x + 2  Kemudian yang di dalam kurung, dikalikan x dan ditambah koefisien selanjutnya (5.x + 2).x – 3  Ulangi proses ini, lampirkan semua dalam kurung ganda, kalikan dengan x dan tambahkan koefisien selanjutnya.  Sehingga f(x) = 5.x3 + 2.x2 – 3.x + 6 =  dalam bentuk terstruktur. f(4) = =  f(4) = 346

catatan : Suku polinomial harus disusun dengan tingkat pangkat yang semakin kecil b. Jika ada pangkat yang hilang dari polinomial, ini pasti termasuk dengan koefisien terstruktur yang diambil keluar. Sehingga jika f(x) = 3.x4 + 2.x2 – 4.x + 5 f(x) =

2.4 Teorema Sisa Teorema sisa menyatakan bahwa jika polinomial f(x) dibagi (x – a), hasil baginya adalah polinomial g(x) dengan derajat satu pangkat, yaitu di bawah f(x) dengan sisa R masih dapat dibagi (x – a). Yaitu : f(x) = (x-a).g(x) + R Jika x = a, f(a) = 0.g(x) + R, yaitu R = f(a). Jadi , (x3 + 3.x2 – 13.x – 10) : (x - 3) akan memberikan sisa R = f(a) = f(3) = ..... Untuk f(x) = x3 + 3.x2 – 13.x – 10 =  f(3) = 5

Kita dapat membandingkan dengan kondisi biasanya untuk pembagian panjang. (x3 + 3.x2 – 13.x – 10) : (x – 3) = ....... Berikut langkah tersebut: (x3 + 3.x2 – 13.x – 10) : (x – 3) = x2 + 6.x + 5 dengan sisa 5

2.5 Teorema Faktor Jika f(x) adalah polinomial dan substitusi x = a memberikan sisa nol yaitu f(a), maka (x – a) adalah faktor f(x). Contoh, jika f(x) = x3 + 2.x2 – 14.x + 12 = dan kita mengganti x = 2, f(2) = 0, sehingga pembagian f(x) dengan (x – 2) menghasilkan sisa nol yaitu, (x – 2) adalah faktor f(x). Faktor sisa dapat ditentukan dengan pembagian panjang f(x) dengan (x - 2). F(x) = (x – 2).(......)  (x2 + 4.x – 6)  f(x) = (x – 2).( x2 + 4.x – 6) Faktor kuadratik yang dipunyai seringkali dapat difaktorkan lebih lanjut menjadi dua faktor linear, sehingga kita dapat menerapkan uji ‘b2 – 4.a.c’ yang telah kita gunakan sebelumnya. Pada kasus ini, (b2 – 4.a.c) =......?

Untuk b2 – 4.a.c = 16 – 4.1.(-6) = 16 + 24 = 40  ini bukan kuadrat sempurna sehingga tidak ada faktor linear. Sehingga kita tidak dapat memfaktorkan lebih lanjut.  f(x) = (x – 2).( x2 + 4.x – 6) Contoh: uji apakah (x – 3) faktor f(x) = x3 – 5.x2 – 2.x + 24 dan jika ya, tentukan faktor yang ada. f(x) = x3 – 5.x2 – 2.x + 24 =  f(3) = 0  tidak ada sisa jadi (x – 3) adalah faktor f(x). Sekarang pembagian panjang menghasilkan faktor kuadratik, sehingga hitung bahwa:

 jadi f(x) = (x – 3). (x2 – 2. x – 8) Sekarang ujilah apakah x2 – 2  jadi f(x) = (x – 3).(x2 – 2.x – 8) Sekarang ujilah apakah x2 – 2.x – 8 dapat difaktorkan lebih lanjut. b2 – 4.a.c = 4 – (4.1.-8) = 4 + 32 = 36 = 62  kuadrat sempurna jadi dapat difaktorkan lebih lanjut. x2 – 2.x – 8 = (x – 4).(x + 2)

kumpulkan hasilnya bersama-sama f(x) = x3 – 5.x2 – 2.x + 24 = (x – 3).( x2 – 2.x – 8) = (x – 3).(x – 4).(x + 2) Jika kita tak menentukan faktor pertama, dapat diproses sebagai berikut : a. Kita menulis fungsi kubik pada bentuk terstruktur b. Dengan cara coba-coba, kita substitusikan nilai x, misalnya x = 1, x = –1, x = 2, x = -2 dan seterusnya sampai kita tentukan substitusi x = k yang memberikan sisa nol. Maka (x – k) adalah faktor f(x). Contoh : f(x) = x3 + 5.x2 – 2.x – 24 =

Sekarang substitusikan nilai x = k untuk x sehingga f(k) = 0 f(1) = -20 (x – 1) bukan faktor f(-1) = -18 (x + 1) bukan faktor f(2) = 0  (x – 2) bukan f(x) akhirnya menghasilkan  f(x) = (x – 2).(x2 + 7.x + 12) dengan cara yang sama menjadi : f(x) = (x – 2).(x + 3).(x + 4)