Review Review Aljabar Linear Matrix Operations Transpose Inverses & Orthogonality Eigenvalues & Rank Idempotent Matrix & Trace

Matrix Operation

Pengertian Matriks Matriks: kumpulan bilangan, simbol, atau ekspresi, berbentuk persegi yang disusun menurut baris dan kolom Bilangan-bilangan yang terdapat di suatu matriks disebut  elemen atau anggota matriks Contoh:

Beberapa Operasi Matriks Misal X dan Y adalah matriks berdimensi n x k, anggota matriks X dan Y adalah xij dan yij; i= 1,2,..,n; j= 1,2,..,k X + Y : matriks beranggota xij + yij X - Y : matriks beranggota xij - yij cX : matriks beranggota cxij Misal X dan Y: matriks berdimensi n x k dan k x m, maka perkalian XY:

Sifat-sifat Operasi Matriks Jika X dan Y: matriks n x k, maka X+Y = Y+X Jika X dan Y: matriks n x k, maka X+(Y+Z) = (X+Y)+Z Jika X dan Y conformable , maka X(YZ) = (XY)Z Jika X matriks n x k, Y dan Z matriks k x m, maka X(Y+Z) = (XY+XZ) Jika X matriks n x k, Y dan Z matriks m x n, maka (Y+Z)X = (YX+ZX) Jika X(n x k), Y(k x m), dan c angka riil, maka X(cY) = c(XY) Jika a dan b angka riil, X(n x k), maka (a+b)X = aX + bX Jika X dan Y: matriks n x k, maka c(X+Y) = cY + cX Jika X matriks n x k, 0 matriks nol, maka X+0 = 0+X = X Jika X matriks n x k, Y negatif matriks X, maka X+Y = 0

Partisi Matriks Bila: Maka: XY=?

Transpose

Pengertian Transpose Transpose dari suatu matriks adalah mengubah komponen-komponen dalam matriks, dari yang baris menjadi kolom, dan yang kolom diubah menjadi baris Contoh:

Sifat-sifat Transpose Jika X(n x k), dan c angka riil, maka (cX)T = cXT Jika X dan Y: matriks n x k, maka (X ± Y)T = XT ± YT Jika X(n x k), maka (XT) T = X Jika X matriks n x k, dan Y matriks k x m, maka (XY)T = YT XT Jika X suatu matriks simetris jika dan hanya jika XT = X Contoh:

Inverses & Orthogonality

Pengertian Invers (Matriks Balikan) Matriks B dikatakan sebagai invers dari matriks A apabila: A B = B A = I atau B = A-1 dan A = B-1 Jika tidak ditemukan matriks B, maka A dapat dikatakan sebagai matriks tunggal (singular) Contoh:

Sifat-sifat Invers Jika matriks X nonsingular, maka X-1 juga nonsingular dan (X-1)-1 = X Jika X dan Y nonsingular (k x k), maka XY juga nonsingular dan (XY)-1 = Y-1X-1 Jika X nonsingular, maka XT juga nonsingular dan (XT)-1 = (X-1)T

Penghitungan Invers suatu Matriks Ordo 2x2 Ordo 3x3

Penghitungan Invers suatu Matriks Ordo 3x3

Penghitungan Determinant suatu Matriks Determinan: suatu fungsi tertentu yang menghubungkan suatu bilangan real dengan suatu matriks bujursangkar Ordo 2x2

Penghitungan Determinant suatu Matriks Ordo 3x3 Metode Penentuan Determinant: Dengan Minor dan Kofaktor Dengan Ekspansi Kofaktor pada Baris Pertama Dengan Ekspansi Kofaktor pada Kolom Pertama Metode Sarrus Determinant matriks segitiga atas

Penghitungan Determinant suatu Matriks Dengan Minor dan Kofaktor

Penghitungan Determinant suatu Matriks Dengan Minor dan Kofaktor

Penghitungan Determinant suatu Matriks Dengan Ekspansi Kofaktor pada Baris Pertama

Penghitungan Determinant suatu Matriks Dengan Ekspansi Kofaktor pada Kolom Pertama

Penghitungan Determinant suatu Matriks Dengan Ekspansi Kofaktor pada Kolom Pertama

Penghitungan Determinant suatu Matriks Metode Sarrus

Penghitungan Determinant suatu Matriks Determinant matriks segitiga atas (multi ordo)

Orthogonality Matrix Implikasi: Jika X matriks(k x k) sedemikian bahwa XTX = I, maka matriks A dikatakan orthogonal Implikasi: Setiap matriks ortogonal adalah square Karena XTX = I, maka X-1 = XT Vektor x dan y (nx1) ortogonal jika dan hanya jika:

Eigenvalues & Rank

Pengertian Eigenvalues Jika A matriks (k x k) dan x vektor nonzero (k x 1) yang memenuhi persamaan Ax = λx, dimana λ adalah skalar. Maka λ adalah suatu eigenvalues dari A yang terkait dengan eigenvactor x Penentuan besaran eigenvalues: Ax = λx (A – λI)x = 0 atau X = (A – λI)-10= 0 Karena x nonzero, maka A – λI harus singular dan, determinant harus = 0. Sehingga eigenvalues suatu matriks dapat dihitung dengan rumus:

Pengertian Eigenvalues Contoh: mengimplikasikan ada dua eigenvalue : = -6 dan =4

Eigenvalues dan Eigenvector Untuk matrix A dengan eigenvalue , maka suatu vektor tidak nol x sedemikian hingga Ax = x , disebut eigenvector (characteristic vector) dari A yang berhubungan dengan .

Eigenvalues dan Eigenvector Dari contoh sebelumnya: eigenvalues  = -6 dan  = 4, eigenvector dari A yang berhubungan dengan  = -6 adalah: Untuk x1=1 maka x2 = –2.

Eigenvalues dan Eigenvector Eigenvectors biasanya dinormalkan sehingga panjangnya 1, yaitu: Untuk contoh sebelumnya diperoleh: Sehingga pemilihan sembarang x1=1 di atas tidak berpengaruh terhadap eigenvector yang berhubungan dengan  = -6.

Eigenvalues dan Eigenvector Untuk eigenvalue  = 4, diperoleh: Dengan sembarang pemilihan x1=1, menghasilkan solusi x2 =1/2.

Eigenvalues and Eigenvectors Normalisasi sehingga panjangnya 1 menghasilkan:

Latihan Tentukan eigenvalues dan eigenvector dari matriks berikut:

Pengertian Rank Rank dari matriks X (dinyatakan dengan r(X): banyaknya vektor linier independen terbesar yang dibentuk oleh vektor-vektor kolom dari A. Sifat: Misal X(n x k) dengan rank k dimana n ≥ k (full rank), maka r(X) = r(X’) = r(X’X) = k Matriks X(k x k) nonsingular jika dan hanya jika r(X) = k Jika matriks X(n x k), matriks P(n x n) dan Q(k x k) nonsingular, maka r(X) = r(PX) = r(XQ) Rank dari suatu diagonal matriks = jumlah kolom nonzero Rank dari XY atau r(XY) ≤ r(X) dan r(XY) ≤ r(Y)

Pengertian Rank Contoh: Karena a3 = ½ a1 + ½ a2, serta a1 dan a2 linear independent maka rank dari A adalah 2 Jika A (nxp) dengan n  p dan rank A = p maka A disebut matriks ber-rank penuh (full rank)

Idempotent Matrix & Trace

Pengertian Idempotent Matrix Matriks A dikatakan idempotent matriks jika A2 = A. Contoh: Misal X(n x k) matriks full rank. Ingin dibuktikan bahwa matriks H(n x n) = X(X'X)-1X' adalah idempotent matriks H2 = [X(X'X)-1X' ] [X(X'X)-1X' ] = X(X'X)-1(X' X)(X'X)-1X' karena (X'X)(X'X)-1 = 1, maka: H2 = X(X'X)-1X' = H

Pengertian Trace Trace dari matriks A(k x k), dinyatakan sebagai tr(X): jumlah seluruh nilai pada diagonal utama. Formula: Contoh:

Sifat Trace Misal c suatu angka riil, maka tr(cX) = ctr(X) tr(X ± Y) = tr(X) ± tr(Y) Jika X(n x p) dan Y(p x n), maka tr(XY) = tr(YX) Contoh (3):