MOHAMMAD ALI WARDOYO, S.Si QUANTITY AND UNIT MOHAMMAD ALI WARDOYO, S.Si NIP. 19680803200501 1 006

Learning Objectives After studing this chapter, you are expected to be able to: Measure some physical quantities, Define basic quantity and derived quantities, and Do two or more vector addition

Concept Map Basic Quantity unit Dimension Derived Quantity has consists of Basic Quantity unit Dimension vector Quantity consists of Derived Quantity Scalar Quantity SI unit non – SI unit

A. Standard Quantities and Unit Basic Quantities and Derived Quantities Basic quqntity is a quantity with defined unit

Dimension The dimension of quantity describes how it composed from basic quntities.

Derived quantity is a quantity with unit derived from basic quantities. Standard Unit

Example 1.1 Show the dimension of : Volume Density Acceleration Solution : Volume = length x widh x weight = [length][length] [length] = [L][L][L] = [L]3

Density = = = [M][L]-3 Acceleration =

Example 1.2 Is the formula for distance s = ½ at2, with a is acceleration and t is time, dimension correct ?

B. Measuring Instruments Instrument for Measuring Length Ruler and Vernier Caliper

Scientific Notation n is integer

Micrometer

Instrument for Measuring Mass

Instrument for Measuring Time

ANGKA PENTING(significant figure) Adalah semua angka yang didapat dari hasil mengukur Dalam angka penting terdapat 2 angka : Angka taksiran adalah angka yang didapat dari menaksir (angka yang terletak paling belakang). Angka pasti / eksak adalah semua angka yang terdapat didepan angka taksiran .

Aturan angka penting (Rules for Significant Figure): Semua angka bukan nol adalah angka penting. misal : 845,7 kg memiliki 4 ap. Angka nol yang terletak diantara dua angka bukan nol adalah angka penting. misal : 76,005 kg memiliki 5 ap Angka nol pada deretan akhir sebuah bilangan yang  10 termasuk angka penting, kecuali jika angka sebelum nol diberi garis bawah. misal : 2500 memiliki 4 ap 2500 memiliki 3 ap

Untuk bilangan desimal yang lebih kecil dari 1, angka nol di kiri dan di kanan koma desimal bukan angka penting. misal : 0,0009 memiliki 1 ap 0,0800 memiliki 3 ap Bilangan-bilangan puluhan, ratusan, ribuan, dan seterusnya yang memiliki angka-angka nol pada deretan akhir harus dituliskan dalam notasi ilmiah. misal : 20.000 di tulis 2 x 104 memiliki 1 ap. 34000 ditulis 3,4 x 104 memiliki 2 ap

Uji Kemampuan Tentukan jumlah angka penting dari hasil pengukuran berikut ini 32,45 kg 8,0006 kg 0,00076 kg 0,000030 m

jawab 32,45 memiliki 4 angka penting 8,0006 memiliki 5 angka penting

Berhitung dengan Angka Penting (Calculation Using Significant Figure) Penjumlahan atau Pengurangan (Addition and Subtraction) Hasil penjumlahan atau pengurangan angka penting hanya boleh memiliki satu angka yang ditaksir. misal : 52700 7 diragukan 9540 0 diragukan + 62240 62200 (3 ap)

638,4 cm 4 diragukan 625 cm 5 diragukan 13,4 cm 13 cm (2 ap)

Hitunglah penjumlahan atau pengurangan bilangan-bilangan penting berikut. 24,686 m + 2,343 m + 3,21m 3,67 x 104 g + 2,54 x 103 g 297,15 m – 5665 m 0,012 kg + 30 g

X Perkalian atau Pembagian (Multiplication and Division) Hasil perkalian atau pembagian, hanya boleh memiliki banyak angka penting sebanyak bilangan yang jumlah angka pentingnya paling sedikit. misal : 0,5242 m 4 ap 4,1 m 2 ap 2,14022 m2 2,1 m2 (2 ap) X

273600 kg 6 ap 900 m3 2 ap : 304 kg/m3 300 kg.m-3(2 ap) Hasil perkalian atau pembagian antara bilangan penting dan bilangan eksak atau sebaliknya, memiliki angka penting sebanyak bilangan pentingnya.

Misal : 8,75 cm 3 ap 12 (eksak) 105,00 cm 105 cm (3 ap) X

Pemangkatan (Power) Hasil memangkatkan suatu bilangan penting hanya boleh memiliki angka penting sebanyak bilangan yang dipangkatkan. misal : (1,5 m)3 = 3,373 m3 3,4 m3

Penarikan Akar (Root) Hasil penarikan akar suatu bilangan penting hanya boleh memiliki angka penting sebanyak bilangan penting yang ditarik akarnya. misal :

Uji Kemampuan Hitung operasi perkalian atau pembagian bilangan-bilangan berikut : 2,5 m x 3,14 m 2,5 m x 4,2 m x 0,3052 m 323,75 N : 5,0 m2

dimensi Dimensi suatu besaran menunjukkan cara besaran itu tersusun dari besaran-besaran pokok.

Cara menentukan dimensi suatu besaran Misal : volume = panjang x lebar x tinggi = [L] [L] [L] = [L]3

Uji Kemampuan Tentukan dimensi dari besaran-besaran berikut: Momentum = massa x kecepatan Tekanan = gaya : luas Berat = massa x percepatan Berat jenis = berat : volume

Manfaat Analisis Dimensi Membuktikan dua besaran yang setara. Misal : Buktikan bahwa usaha dan energi kinetik adalah dua besaran yang setara

Bukti : dimensi usaha = [M] [L]2[T]-2 dimensi energi kinetik Ek = ½ mv2 = [M] {[L] [T]-1}2 = [M] [L]2 [T]-2 Karena usaha dan enrgi kinetik mempunyai dimensi yang sama, maka usaha dan energi keniktik adalah besaran yang setara.

Uji Kemampuan Momentum dan impuls adalah besaran vektor, dimana momentum adalah hasil kali massa dengan kecepatan dan impuls adalah hasil kali gaya dengan waktu. Buktikan bahwa momentum dan impuls adalah dua besaran vektor yang setara.

Menentukan persamaan pasti salah atau mungkin benar. misal :  = v/T ruki :  = panjang gelombang termasuk besaran panjang, maka dimensinya [L]. ruka : v/T = kecepatan / periode = [L] [T]-1/[T]1 = [L] [T]-2 Karena dimensi Ruki  Ruka, maka persamaan  = v/T pasti salah.

Untuk menentukan dimensi konstanta dan menurunkan persamaan. Misal : Gaya gesekan yang dialami oleh sebuah bola dengan jari-jari r yang bergerak dengan kelajuan v di dalam sejenis zat cair kental dirumuskan F = kvr, dengan k adalah suatu konstanta. Tentukan dimensi dan satuan k

Penyelesaian

Uji Kemampuan Selidiki dengan analisis dimensi apakah persamaan berikut pasti salah atau mungkin benar ? a = m/F s = vt + ½ at2 Gaya tarik-menarik antara dua benda yang massanya m1 dan m2, dan terpisah sejauh r dapat dinyatakan dengan : dengan G adalah suatu konstanta. Tentukan dimensi dan satuan G.

Cek Kemampuan Nyatakan sin , cos , dan tan  dalam perbandingan dua sisi dari segitiga ABC di samping. C  A B

Untuk segitiga siku-siku di samping, tentukan nilai sin , cos , dan tan  13 A B 5

Vektor Berdasarkan nilai dan arahnya besaran dibagi menjadi dua, yaitu : Besaran Skalar adalah besaran yang hanya memiliki besar dan cukup dinyatakan dengan angka dan satuan. misal : massa, volume, suhu, dll Besaran vektor adalah besaran yang selain memiliki besar juga memiliki arah. misal : perpindahan, kecepatan, gaya, dll

Menggambar sebuah vektor Suatu vektor gaya F berarah mendatar ke kanan memiliki besar 20 newton, yang dapat digambarkan dengan panjang 2 cm. Berdasarkan keterangan ini, gambar vektor-vektor berikut: Gaye P yang besarnya 10 N dan membentuk sudut 30o terhadap F. Gaya Q yang besarnya 30 N dan membentuk sudut 120o terhadap F.

Bagaimana Menyatakan suatu Vektor? Anak Panah menyatakan arah vektor. Panjang vektor menyatakan besar vektor Lambang vektor dicetak tebal (bold) A atau di atas huruf diberi anak panah Besar vektor ditulis dengan tanda harga mutlak Q 60 m A P

Penyelesaian Gaya P = 10 N = 1cm dan arah 30o berlawanan arah jarum jam. P 30o F

Gaya Q = 30 N = 3 cm dan arahnya 120o. F

Uji Kemampuan Sebuah vektor perpindahan A yang besarnya 75 m dan berarah mendatar ke kiri (sumbu X negatif) digambarkan dengan panjang 3 cm. Gambarlah vektor-vektor perpindahan berikut: Perpindahan B besarnya 50 m berarah 45o terhadap A. Perpindahan C besarnya 100 m berarah 100o terhadap A. Perpindahan D besarnya 125 m berarah -30o terhadap A.

Perkalian antara Vektor dan Skalar (Multiplication Between Vector and Scalar) Dua vektor adalah sama jika kedua vektor tersebut memiliki besar dan arah yang sama walaupun pangkal vektornya berbeda. Misal : A D

Dua vektor yang berbeda adalah dua vektor yang besarnya sama tetapi arahnya berbeda. Misal : A C

Dua vektor disebut berlawanan jika besarnya sama tetapi arahnya berlawanan. Misal : A -A

Bagaimana jika kita mengalikan bilangan biasa (skalar) dengan sebuah vektor ? Misal : B = kA dengan : k = bilangan biasa (skalar) A = sebuah vektor Maka hasilnya adalah : B adalah vektor yang besarnya k kali vektor A, dengan ketentuan : B searah dengan A jika k bernilai positif. B berlawanan dengan A jika k bernilai negatif.

Contoh : E = 1,5 A A 2 cm 3 cm E =1,5A

F = -2A A 2 cm 4 cm F = -2A

Uji Kemampuan A Vektor A di gambarkan seperti gambar di samping. Gambarlah vektor-vektor berikut: B = A C = -A D = 1,7A E = -0,5A acuan 30o 3 cm A

Melukis Penjumlahan atau Selisih Dua Vektor Metode segitiga Penjumlahan (F1 + F2) F1 + F2 F1 F2 F1 F2

Pengurangan (A – B = C) A B -B (A – B = C) A

Uji Pemahaman B Diketahui vektor-vektor A, B, dan C seperti pada gambar di samping. Lukis vektor-vektor berikut : A + B A + C A – B A - C 50o A -20o C

Menemukan B A Tujuhan menemukan sifat penjumlahan dan selisih vektor. Alat dan Bahan Kertas, pensil, dan mistar Langkah Kerja 1. Pada selembar kertas kosong, salinlah gambar vektor A dan B seperti gambar di bawah ini: B 2 cm A 3 cm

Pada kertas tersebut : Lukislah jumlah vektor P = A + B dengan metode segitiga, tetapi vektor A dilukis lebih dahulu. Lukislah jumlah vektor Q = B + A dengan metode segitiga, tetapi vektor B dilukis lebih dahulu. Siapkan kertas kosong lain, salin kembali gambar vektor A dan B. Kemudian lukislah masing-masing vektor selisih C = A – B dan D = B –A. Pertanyaan dan Kesimpulan: Bandingkan vektor P dan Q yang telah kamu lukis pada langkah kerja 2. Apakah pada penjumlahan vektor berlaku hukum komutatif ? Berikan komentar kamu. Bandingkan vektor selisih C dan D yang telah kamu lukis pada langkah kerja 3. Apakah pada selisih vektor berlaku hukum komutatif ? Berikan komentar kamu.

Penyelesaian P = A + B P = A + B B A

Q = B + A A B Q = B + A

C = A – B D = B - A A B -B C A -A D B

Kesimpulan Vektor P = vektor Q artinya pada penjumlahan vektor berlaku hukum komutatif. Vektor C  vektor D artinya pada pengurangan vektor tidak berlaku hukum komutatif.

Metode Poligon (segi banyak) C B B C R = A + B + C C A B A R = B + C + A

Uji Pemahaman Diketahui vektor-vektor A, B, dan C seperti gambar di bawah ini. Lukislah vektor P, Q dan R dengan menggunakan metode poligon, jika : P = A + B + C Q = A – B + C R = A – B - C B 2 cm 50o A 4 cm -200 2,5 cm C

Metode Jajarangenjang misal : F1 meja F2 R = F1 + F2 F2 F1

ada 3 vektor A B B C D=A+B R=D+C=(A+B)+C A C

Dua metode untuk menentukan (besar dan arah) vektor resulthan (vektor jumlah), yaitu: Dengan metode grafik (dengan cara mengukur) Dengan metode analitis

Menentukan vektor resulthan dengan metode grafis. misal : Tentukan besar dan arah vektor resulthan dari perpindahan A sepanjang 15 m dengan arah -20o terhadap sumbu x positif dan vektor perpindahan B sepanjang 20 m dengan arah 40o terhadap sumbu x positif.

Penyelesaian skala 5 m : 1 cm x A panjang R = 6,2cm B x R B A dan arah θ = 15o maka besar vektor: R = 6,2 x 5 = 31m x -20o A B 40o x R B θ -20o 40o A

Uji Pemahaman Vektor A memiliki besar A = 3 m dan berarah 30o terhadap sumbu x positif. Vektor B memiliki besar B = 2 m dan berarah 45o terhadap sumbu x positif. Tentukanlah besar dan arah dari : a. A + B b. A – B dengan menggunakan metode grafik.

Menentukan Vektor resulthan dengan metode Analitis (dengan Rumus) Ada 2 yaitu: 1. menggunakan rumus kosinus 2. menggunakan vektor komponen

Tujuan Meneliti apakah hukum berhitung berlaku pada penjumlahan vektor Alat dan Bahan Kertas grafik dan mistar Masalah Seekor semut berjalan 400 m ke timur (vektor A) kemudian ia berbelok ke utara dan berjalan sejauh 300 m (vektor B). Misal vektor perpindahannya adalah C dimana C = A + B Menemukan

Langkah kerja 1. Tetapkan titik O sebagai titik awal berangkat. Lukislah vektor A dan B. 2. Lukislah vektor C = A + B dengan Poligon. 3. Tentukan besar vektor resulthan C dengan metode grafis dan tentukan dengan berhitung secara aljabar biasa. Pertanyaan dan Kesimpulan Apakah penjumlahan vektor C = A + B mematuhi hukum berhitung pada aljabar? Nyatakan kesimpulan anda.

Menentukan Resulthan dua Vektor dengan Rumus Kosinus Dari gambar di samping : OC2 = OA2 + AC2-2OA.AC COS OAC = OA2 + AC2 – 2OA.AC COS (1800-) = OA2 + AC2 – 2OA.AC (-COS ) OC2 = OA2 + AC2 + 2OA.AC COS  C B F2 R = F1 + F2  OAC   O A F1

Karena OC = R, OC= F1 dan AC= F2 maka :

Arah vektor resulthan

Contoh Dua vektor F1 dan F2 memiliki pangkal berimpit, dan masing-masing besarnya 3 N dan 4 N. Jika sudut apit antara kedua vektor 60o, tentukan : a. vektor resulthan R = F1 + F2 b. vektor selisih S = F1 – F2

Penyelesaian Vektor resulthan R = F1 + F2 F2 R 60o F1

Vektor selisih S = F1 – F2  = 180o- 60o = 120o Maka: F2 F1  S -F2

Menemukan Tujuhan Menemukan nilai minimum dan maksimum dari vektor resulthan Masalah Diberikan dua buah vektor F1 dan F2 yang membentuk sudut  Langkah kerja Dengan menggunakan rumus kosinus, tentukan nilai R = F1 + F2 jika: a.  = 0o b.  = 90o c.  = 180o Kesimpulan

Nilai R dengan  =0o

Nilai R dengan  = 90o

Nilai R dengan  = 180o

Kesimpulan Nilai Rmin adalah: Rmin = F1 – F2 pada saat  = 180o Nilai Rmax adalah : Rmax =F1 + F2 pada saat  = 0o Jadi batas vektor resulthan adalah: Rmin R  Rmax

Contoh Dapatkah kumpulan dari gaya-gaya berikut membentuk keseimbangan? a. 4 N, 5 N, dan 9 N b. 4 N, 5 N, dan 5 N c. 4 N, 5 N, dan 10 N

Jawab Gaya terbesar = 9 N Jumlah kedua gaya lainnya: 4 N + 5 N = 9 N karena gaya terbesar = jumlah kedua gaya lainnya maka ketiga gaya masih mungkin membentuk keseimbngan. Gaya terbesar = 5 N karena gaya terbesar  jumlah kedua gaya lainnya maka ketiga gaya masih mungkin membentuk keseimbangan Gaya terbesar = 10 N karena gaya terbesar  jumlah kedua gaya lainnya maka ketiga gaya tidak mungkin membentuk keseimbangan.

Uji kemampuan Dapatkah kumpulan dari perpindahan –perpindahan berikut memungkinkan suatu mobil kembali ke titik awal berangkatnya? a. 2 m, 10 m, 8 m b. 5 m, 20 m, 14 m c. 10 m, 10 m, 10 m d. 150 m, 250 m, 450 m

Menentukan Resulthan dengan Cara Vektor Komponen Dari perbandingan sinus dan kosinus pada segitiga OAB diperoleh: Y B FY F θ O FX X A

Uji Kemampuan Tentukan komponen-komponen dari vektor perpindahan 8 m yang membentuk sudut 143o terhadap arah mendatar (sin 37o = 0,6)

Besar dan arah vektor resulthan Besar resulthan Dirumuskan: Arah vektor resulthan:

Uji Kemampuan Tentukan besar dan arah vektor-vektor yang komponen-komponennya diberikan sebagai berikut: Ax = 3 cm dan Ay = 1 cm Fx = -403 N dan Fy = -40 N Bx = 12 m dan By = -13 N Px = -20 N dan Py = 20 N

Vektor satuan Adalah suatu vektor yang besarnya 1 satuan. vektor-vektor satuan pada sumbu x, y, z i = j = k = 1 y j x i k z

Menyatakan sebuah vektor dengan vektor satuan Misal: Dari gambar diperoleh: V = Vxi + Vyj + Vzk Besar vektor V dirumuskan: y Vy V j Vx x i k Vz z

Perkalian Vektor Perkalian titik vektor (perkalian skalar) adalah perkalian antara dua vektor yang menghasilkan besaran skalar. misal: usaha (W = F.s = Fs cos θ) dirumuskan: A . B = AB cos θ untuk vektor satuan: i.i = j.j = k.k = 1 i.j= i.k = j.k = 0

Jika : A = Ax i+ Ay j+ Azk B = Bx i+ By j+ Bzk Maka besarnya A.B dirumuskan: A.B = AxBx + AyBy+AzBz

Contoh Diket: vektor A = (4i + 6j – 3k) satuan dan vektor B = (2i – 2j – 8k) satuan. Tentukan hasil perkalian kedua vektor dengan cara perkalian skalar! Diket: A = (4i + 6j – 3k) B = (2i – 2j – 8k) Ditanya: A.B

Penyelesaian Jawab: A.B = (4i + 6j – 3k) (2i – 2j – 8k) = 4i.2i + 6j.(-2J) + (-3k)(-8k) = 8 - 12 + 24 = 20 satuan

Perkalian silang vektor (perkalian vektor) adalah perkalian antara dua buah vektor yang menghasilkan besaran vektor. dirumuskan:

A x B k B j i - B x A Hasil perkalian silang vektor satuan: i x i= j x j = k x k = 0 A x B k B θ A j + i - B x A

A x B = (Axi + Ayj + Azk) x (Bxi + Byj + Bzk) Misal: A x B = (Axi + Ayj + Azk) x (Bxi + Byj + Bzk) A x B = (AyBz – AzBy)i – (AzBx – AxBz)j – (AxBy – AyBx)k cara Sarrus: i j k A x B = Ax Ay Az Bx By Bz