model penugasan (assignment model) kasus khusus dr model transportasi: sejumlah m sumber ditugaskan ke sejumlah n tujuan (satu sumber utk satu tujuan) sedemikian, sehingga didapat ongkos yg minimum. sumber: pekerjaan atau pekerja tujuan: mesin-mesin jika ada suatu pekerjaan yg tdk dpt ditugaskan pd mesin tertentu, c ij yg berkorespondensi dengannya dinyatakan sbg M (biaya yg sgt tinggi)

penggambaran umum: mesin 12...n pekerjaan 12...m12...m c 11 c 12. c m1 c 12 c 22. c m2... c 1n c 2n. c mn

model matematis: 00, jk pekerjaan ke-i tidak ditugaskan pd mesin ke-j x ij = 11, jk pekerjaan ke-i ditugaskan pada mesin ke-j

model persoalan penugasan: n n minimumkan: z =   c ij x ij i=1 j=1 berdasar pembatas: n  x ij = 1, i = 1,2,…,n j=1 n  x ij = 1, j = 1,2,…,n i=1 x ij = 0 atau 1

jika p i dan q j merupakan konstanta pengurang thd baris i dan kolom j, maka jika dilakukan operasi pengurangan p i dan q j thd matriks ongkos, akan diperoleh “zero entries”, yaitu elemen-elemen biaya dalam matriks yg berharga nol  variabel-variabel yang menghasilkan solusi optimum. contoh: mesin 123 Peker- jaan

solusi awal mesin 123 pekerjaa n Elemen-elemen nol dibuat dgn mengurangkan elemen terkecil masing-masing baris (kolom) dr baris (kolom) yang bersangkutan. Dengan demikian, matriks cij’ yg baru: p1 = 5 p2 = 10 p3 = 13

Matriks terakhir dpt dibuat untuk memperbanyak elemen matriks yg berharga nol dengan cara mengurangkan q 3 = 2 dr kolom ke-3. Hasilnya: penugasan feasible dan optimum: (1,1), (2,3), dan (3,2) biaya penugasan: = 30 sama dengan p1 + p2 + p3 + q3 = = 30

contoh 2: pengurangan

penugasan yang feasibel thd elemen-elemen nol tdk mungkin diperoleh shg diperlukan prosedur sbb: 1.Tariklah garis pada semua baris dan kolom yg mengandung elemen nol dengan jumlah garis minimum, sedemikian shg tidak terdapat lagi nol pd matriks ybs. 2.Tentukan di antara elemen-elemen yg tdk ikut tergaris, satu elemen dengan harga terkecil, kemudian kurangkan sebesar harga elemen ini kepada semua elemen yang tdk tergaris. 3.Tambahkan sebesar harga elemen tsb (pada point 2) kepada semua elemen yang terletak pada perpotongan dua garis. 4.Alokasikan pekerjaan pada elemen-elemen nol tersebut. 5.Jika solusi optimum belum juga ditemukan, ulangi lagi langkah 1 sampai 4 hingga dicapai penugasan yang feasibel.

penugasan yang optimum: (1,1), (2,3), (3,2), (4,4) biaya total: = 21