BAB X TRANSFORMASI LINIER

10.2 Kernel dan Jangkauan (Range) Definisi Jika T : V  W adalah sebuah transformasi linier, maka himpunan vektor-vektor pada V yang dipetakan oleh T ke 0 disebut Kernel dari T (kernel of T ) dan dinotasikan dengan ker(T). Himpuan semua vektor pada W yang merupakan bayangan dari T dari setidaknya satu buah vektor pada V disebut jangkauan (range) dari T dan dinotasikan dengan R(T).

Contoh 10.11 Tentukan kernel dan range (T) jika Penyelesaian

x5 = 0 x3 = –3x4 + 2x5 = –3x4 x1 = –1/2x2 –2x3 –4x4 = –1/2x2 + 2x4 – 4x5 = –1/2x2 + 2x4 Tentukan x2 = 2s x4 = t Sehingga x3 = –3t x1 = –s + 2t

10.3 Transformasi Linier Satu ke Satu Definisi Sebuah transformasi linier T : V  W disebut sata ke satu (one to one) apabila T memetakan vektor-vektor yang berbeda pada V ke vektor-vektor yang berbeda pada W.

Contoh 10.12 Misal T : Pn  Pn+1 adalah transformasi linier T(p) = T(p(x)) = x p(x). Jika p = p(x) = c0 + c1x + … + cnxn dan q = q(x) = d0 + d1x + … + dnxn, adalah polinomial-polinomial yang berbeda, maka perbedaan itu terletak pada setidaknya pada satu koeffisien. Sehingga, T(p) = xp(x) = c0x + c1x2 + … + cnxn+1 T(q) = xq(x) = d0x + d1x2 + … + dnxn+1, juga dipastikan memiliki perbedaan setidaknya pada satu koeffisien. Karena T memetakan polinomial p dan q yang berbeda ke polinomial T(p) dan T(q) yang juga berbeda, maka T adalah satu ke satu.

Contoh 10.13 Transformasi Linier yang Bukan Satu ke Satu Misal D : C1 (–, )  F (–, ) adalah transformasi differensiasi yang memetakan sebuah fungsi f = f(x) ke fungsi turunan pertamanya; yaitu, D(f) = f (x) Misal f = x2 dan q = x2 + 1, maka D(x2) = 2x dan D(x2 + 1) = 2x Karena D memetakan dua fungsi yang berbeda ke fungsi turunan yang sama, maka transformasi linier D : C1 (–, )  F (–, ) bukan satu ke satu.

Teorema 10.4 Pernyataan-pernyataan yang Ekivalen Jika T : V  W adalah sebuah transformasi linier , maka pernyataan-pernyataan berikut ekivalen. (a) T adalah satu ke satu (b) Kernel dari T hanya mengandung vektor nol; yaitu ker(T) = {0} (c) nulitas (T) = 0

Contoh 10.14 Penerapan teorema 10.4 Pada setiap bagian dibawah ini, tentukan apakah transformasi linier yang diberikan adalah satu ke satu dengan cara menentukan kernelnya atau nulitasnya dan menerapkan teorema 10.4. (a) T : ℝ2  ℝ2 merotasikan setiap vektor sebesar sudut  (b) T : ℝ3  ℝ3 adalah proyeksi ortogonal pada bidang xy (c) T : ℝ6  ℝ4 adalah perkalian dengan matriks

Penyelesaian (a) ker(T) = {0} (b) ker(T) mengandung vektor-vektor tak-nol, maka T bukan satu ke satu. (c) Bentuk matriks A menjadi matriks diperluas berikut. Dengan melakukan OBE didapat,

Dari hasil OBE, x1 = 2x2 + 4x4 + 5x5 – 3x6 Jika x2 = s , x3 = t , x4 = u , x5 = v , x6 = w, maka x1 = 2s + 4u + 5v – 3w nulitas (T) = dimensi kernel (T) = 4 Karena nulitas (T)  0, maka T bukan satu ke satu

Contoh 10.15 Transformasi yang bukan satu ke satu Misal TA : ℝ4  ℝ4 adalah perkalian dengan Tentukan, apakah TA satu ke satu Penyelesaian Karena det A = 0, maka TA bukan satu ke satu

Latihan Pada setiap bagian berikut, tentukan ker(T), dan tentukan juga apakah transformasi linier T yang diberikan adalah satu ke satu. (a) T : ℝ2  ℝ2, dimana T(x, y) = (y, x) (b) T : ℝ2  ℝ2, dimana T(x, y) = (0, 2x + 3y) (c) T : ℝ2  ℝ2, dimana T(x, y) = (x + y, x – y) (d) T : ℝ3  ℝ2, dimana T(x, y, z) = (x + y + z, x – y – z)

2. Pada setiap bagian di bawah ini, misalkan T : ℝ2  ℝ2 adalah perkalian dengan A. Tentukan apakah T memiliki sebuah inverse. Jika ya, tentukan

3. Pada setiap bagian di bawah ini, misalkan T : ℝ3  ℝ3 adalah perkalian dengan A. Tentukan apakah T memiliki sebuah inverse. Jika ya, tentukan