Pertidaksamaan Kuadrat by Gisoesilo Abudi

Pengertian Pertidaksamaan kuadrat adalah suatu pertidaksamaan yang mempunyai variabel dengan pangkat tertinggi dua. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat dapat dituliskan dalam bentuk notasi himpunan atau dengan garis bilangan

ax2 + bx + c * 0 Bentuk Umum Dimana : a ≠ 0, a, b, c, Є R Tanda (*) adalah tanda pertidaksamaan yaitu : <, >, ≤, dan ≥

Langkah-langkah Penyelesaian Nyatakan pertidaksamaan kuadrat dalam bentuk persamaan kuadrat (jadikan ruas kanan sama dengan 0) Carilah akar-akar dari persamaan kuadrat tersebut Buatlah garis bilangan yang memuat akar-akar tersebut, tentukan tanda (positif atau negatif) pada masing-masing interval dengan cara menguji tanda pada masing-masing interval. Himpunan penyelesaian diperoleh dari interval yang memenuhi pertidaksamaan tersebut.

Contoh 1 Penyelesaian. x2 + 5x – 14 < 0 Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x2 + 5x – 14 < 0 ! Penyelesaian. x2 + 5x – 14 < 0 ⇔ x2 + 5x – 14 = 0 (Nyatakan dalam persamaan kuadrat) ⇔ (x + 7)(x – 2) = 0 (Persamaan difaktorkan untuk mencari akar) ⇔ x = -7 atau x = 2 Garis bilangan yang memuat (-7) dan 2 -7 2

Pengujian Antara -7 dan 2, diambil 0, maka : Uji beberapa titik, misalnya : Sebelah kiri -7, diambil -10, maka : (-10)2 + 5(-10) – 14 = 36 (positif) Antara -7 dan 2, diambil 0, maka : (0)2 + 5(0) – 14 = -14 (negatif) Sebelah kanan 2, diambil 3, maka : (3)2 + 5(3) – 14 = 10 (positif) Karena tanda pertidaksamaan pada soal adalah <, maka interval yang bertanda negatif yang memenuhi pertidaksamaan. Jadi, HP = {x| -7 < x < 2, x Є R} (+) (-) (+) -7 2

Contoh 2 Penyelesaian. ⇔ 9 - x2 = 0 (Nyatakan dalam persamaan kuadrat) Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 9 - x2 ≥ 0 ! Penyelesaian. 9 - x2 ≥ 0 ⇔ 9 - x2 = 0 (Nyatakan dalam persamaan kuadrat) ⇔ (3 + x)(3 – x) = 0 (Persamaan difaktorkan untuk mencari akar) ⇔ x = -3 atau x = 3 Garis bilangan yang memuat (-3) dan 3 -3 3

Pengujian Antara -3 dan 3, diambil 0, maka : Uji beberapa titik, misalnya : Sebelah kiri -3, diambil -4, maka : 9 - (-4)2 = – 7 (negatif) Antara -3 dan 3, diambil 0, maka : 9 - (0)2 = 9 (positif) Sebelah kanan 3, diambil 4, maka : 9 - (4)2 = -7 (negatif) Karena tanda pertidaksamaan pada soal adalah ≥, maka interval yang bertanda positif yang memenuhi pertidaksamaan. Jadi, HP = {x| -3 ≤ x ≤ 3, x Є R} (-) (+) (-) -3 3

Selamat Mencoba Latihan Agar kalian lebih memahami cara mencari akar-akar pertidaksamaan kuadrat coba Anda kerjakan latihan di buku paket Erlangga. Jika kalian kelas x Kelompok BisMen kerjakan soal latihan halaman 63 no. 1 - 10 Jika kalian kelas x kelompok Teknologi kerjakan soal latihan halaman 81 - 82 no. 4. Selamat Mencoba

Menerapkan Persamaan & Pertidaksamaan Kuadrat by Gisoesilo Abudi

Hubungan antara Koefisien PK dengan Sifat Akar Misalkan x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0. Jika kedua akarnya sama (x1 = x2), maka : ⇔ D = 0 ⇔ b2 – 4ac = 0 ⇔ b2 = 4ac Jika kedua akarnya berlawanan (x1 = -x2 ), maka : ⇔ x1 + x2 = - b/a ⇔ -x2 + x2 = - b/a ⇔ 0 = - b/a ⇔ b = 0

Hubungan antara Koefisien PK dengan Sifat Akar Jika kedua akarnya berkebalikan (x1 = 1/x2), maka : ⇔ x1 . x2 = c/a ⇔ 1/x2 . x2 = c/a ⇔ 1 = c/a ⇔ c = a Kesimpulan : Akar-akarnya kembar jika dan hanya jika b2 = 4ac Akar-akarnya berlawanan jika dan hanya jika b = 0 Akar-akarnya berkebalikan jika dan hanya jika c = a

Menyusun PK yang diketahui Akar-akarnya Misalkan : Menggunakan Perkalian Faktor Jika diketahui x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat, maka : (x – x1)(x - x2) = 0 Contoh Dengan menggunakan perkalian faktor, susunlah PK yang akar-akarnya : -2 dan 3 c. 1/3 dan – 1/5 -7 dan 0 d. (5 - √3)(5 + √3)

Penyelesaian -2 dan 3 ⇔ x1 = -2 dan x2 = 3 ⇔ (x – (-2)(x – 3) = 0 Jadi PK : x2 – x – 6 = 0 Untuk lebih jelas Anda coba untuk mencari penyelesaian contoh b, c, dan d.

Menyusun PK yang diketahui Akar-akarnya Misalkan : Menggunakan Rumus jumlah dan hasil kali akar-akarnya. Jika diketahui x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat, maka : X2 - (x1 + x2)x + (x1.x2) = 0 Contoh Dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akarnya, susunlah PK yang akar-akarnya : -2 dan 3 c. 1/3 dan – 1/5 -7 dan 0 d. (5 - √3)(5 + √3)

Penyelesaian -2 dan 3 Persamaan kuadratnya : ⇔ x2 – (-2 + 3)x + (-2)(3) = 0 ⇔ x2 – x – 6 = 0 Jadi PK : x2 – x – 6 = 0 Untuk lebih jelas Anda coba untuk mencari penyelesaian contoh b, c, dan d.

Menyusun PK Berdasarkan Akar-akar PK lain Kita dapat menyusun PK, jika akar-akarnya diketahui mempunyai hubungan dengan PK lain. Contoh 1 Susunlah PK yang akar-akarnya lima lebihnya dari akar-akar PK x2 – 8x + 2 = 0 !

Penyelesaian. x2 – 8x + 2 = 0 ⇔ a = 1, b = -8, dan c = 2 Misalkan akar-akar PK : x2 – 8x + 2 = 0 adalah x1 dan x2 Maka : x1 + x2 = - b/a = - (-8/1) = 8 x1 . x2 = c/a = 2/1 = 2 Misalkan akar-akar PK baru yang akan dicari adalah α dan β, maka : α = x1 + 5 dan β = x2 + 5, sehingga α + β = (x1 + 5) + (x2 + 5) = (x1 + x2) + 10 = 8 + 10 = 18 ⇔ x2 – (α + β)x + (α.β) = 0 ⇔ x2 – (18)x + (67) = 0 ⇔ x2 – 18x + 67 = 0 α . β = (x1 + 5) . (x2 + 5) = x1.x2 + 5x1 +5x2 + 5.5 = x1.x2 + 5(x1+x2) + 25 = 2 + 5 . 8 + 25 = 67

Contoh 2 Akar-akar PK x2 – 4x + 5 = 0 adalah p dan q. Susunlah PK baru jika akar-akarnya (p + 2) dan (q + 2) ! Penyelesaian Jika α dan β merupakan akar-akar persamaan baru, maka : α = p + 2 ⇔ p = α – 2 β = q + 2 ⇔ q = β – 2 Karena p merupakan salah satu akar persamaan x2 – 4x + 5 = 0, maka : ⇔ (α – 2)2 – 4(α – 2) + 5 = 0 ⇔ (α2 – 4α + 4) – 4α + 8 + 5 = 0 ⇔ α2 – 4α + 4 – 4α + 13 = 0 ⇔ α2 – 8α + 17 = 0, ⇔ ( α = x), maka x2 – 8x + 17 = 0

Persamaan kuadrat baru Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0, mempunyai akar-akar x1 dan x2, maka : Akar-akar baru Persamaan kuadrat baru x1 + m dan x2 + m a(x – m)2 + b(x – m) + c = 0 x1 – m dan x2 – m a(x + m)2 + b(x + m) + c = 0 mx1 dan mx2 a(mx)2 + b(mx) + c = 0

Aplikasi Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat Contoh Sejumlah siswa akan patungan untuk membeli alat praktek seharga Rp612.000,00. Setelah masing-masing membayar dengan jumlah yang sama, ada 3 temannya yang ingin bergabung. Jika ketiga orang itu ikut bergabung, maka masing-masing akan membayar Rp34.000,00 kurangnya dari yang telah mereka bayar. Tentukan jumlah siswa yang berencana akan membeli alat praktek tersebut !

Penyelesaian Jadi sebelum 3 teman bergabung ada 6 siswa yg patungan Misal jumlah siswa : x Masing-masing siswa membayar sebesar : (612.000 : x) Setelah 3 temannya masuk, maka {612.000 : (x + 3)} Selisih pembayaran = pembayaran mula-mula – pembayaran setelah 3 temannya bergabung. sehi sehingga ⇔ x(x + 3) = 18(x + 3) – 18x ⇔ x2 + 3x = 18x + 54 – 18x ⇔ x2 + 3x - 54 = 0 ⇔ (x + 9)(x – 6) = 0 ⇔ x = -9 atau x = 6 Jadi sebelum 3 teman bergabung ada 6 siswa yg patungan