PERTEMUAN 1

BAB I SISTEM BILANGAN

1.1 SISTEM BILANGAN RIL 1.1.1 BILANGAN RIL RIL (R) RASIONAL (Q) IRRASIONAL (I) BULAT (J) PECAHAN DESIMAL BERULANG DESIMAL TERBATAS NEGATIF CACAH (W) NOL ASLI (N)

Himpunan Bilangan Asli (N) Himpunan Bilangan cacah (W) W = { 0, 1, 2, 3, … } Himpunan Bilangan Bulat (J) J = { … , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … } Himpunan bilangan rasional (Q) Himpunan bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang mempunyai bentuk p/q atau bilangan yang dapat ditulis dalam bentuk p/q, dimana p dan q adalah anggota bilangan bulat dan q  0 Q = P q |p dan q  J, q  0

Contoh 1.1 Buktikan bahwa bilangan-bilangan 3, (4,7) dan (2,5858…) adalah bilangan-bilangan rasional! Bukti: a) Bilangan 3 dapat ditulis dalam bentuk p/q yaitu 3/1 atau 6/2 dan seterusnya. b) Bilangan 4,7 dapat ditulis dalam bentuk 47/10 c) Bilangan 2,5858… dapat ditulis dalam bentuk p/q dengan cara, x = 2,5858… 100 x = 258,5858… 99 x = 256 x = 256/99

Latihan Buktikan bahwa bilangan 2,342121212121… adalah bilangan rasional! Penyelesaian x = 2,342121212121 100 x = 234,2121212121 10000 x = 23421,21212121 10000 x = 23421,2121212121 … 100 x = 234,2121212121 … 9900 x = 23187 x = 23187/9900 Jadi bilangan 2,3421212121212121 … = 23187/9900

1.1.2 GARIS BILANGAN RIL Garis bilangan ril adalah tempat kedudukan titik-titik. Setiap titik menunjukkan satu bilangan ril tertentu yang tersusun secara terurut. -3 -2 -1 0 1,5 2,5 1.1.3 HUKUM-HUKUM BILANGAN RIL Jika a dan b adalah dua bilangan ril maka berlaku: (i) a + b adalah bilangan ril (ii) a . b adalah bilangan ril (iii) a + b = b + a Hukum Komutatif Penjumlahan (iv) a . b = b . a Hukum komutatif Perkalian

Jika a, b, dan c adalah tiga bilangan ril maka berlaku: (v) (a + b) + c = a + (b + c) adalah bilangan ril (vi) (ab)c = a (bc) adalah bilangan ril (vii) a(b + c) = ab + ac Hukum Komutatif Penjumlahan a + 0 = 0 + a Hukum Penjumlahan Nol (ix) a . 1 = 1 . a = a Hukum Perkalian Satu (x) a.0 = 0.a = 0 Hukum Perkalian Nol (xi) a + (-a) = -a + a Hukum Invers Penjumlahan (xii) a (1/a) = 1 , a  1 Hukum Invers Perkalian

1.2 BILANGAN KOMPLEKS Bentuk umum z = a + ib a dan b adalah bilangan ril a merupakan bagian ril dari bilangan kompleks, ditulis Re(z) b merupakan bagian imajiner dari bilangan kompleks , ditulis Im(z) i merupakan bilangan imajiner = -1 i2 = -1 . -1 = -1 i3 = i2 . i = -i i4 = i2 . i2 = (-1)(-1) = 1 Dari keterangan diatas didapat

1.2.1 SIFAT-SIFAT BILANGAN KOMPLEKSS Misal z1 = x1 + iy1 dan z2 = x2 + iy2, maka berlaku: z1 = z2  x1 = x2 dan y1 = y2 sifat kesamaan z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2) sifat penjumlahan c) z1 - z2 = (x1 + x2) + i(y1 - y2) sifat pengurangan d) z1 . z2 = (x1 x2- y1 y2) + i(x1 y2 – x2y1) sifat perkalian 1.2.2 KONJUGAT Jika z = x + iy, maka konjugat dari z (ditulis ) adalah = x – iy z Jika z = x - iy, Maka = x + iy

1.2.3 PERKALIAN BILANGAN KOMPLEKS DENGAN KONJUGATNYA 1.2.4 PEMBAGIAN DUA BUAH BILANGAN KOMPLEKS

Contoh 1.2 Diketahui z1 = – 5 + 7i z2 = 3 – 2i Tentukan z1 + z2 z1 – z2 z1 . z2 z1 /z2 z1. z2. z2 z1 Penyelesaian z1 + z2 = (– 5 + 7i) + (3 – 2i) = (–5 + 3) + (7i –2i) = –2 + 5i b) z1 – z2 = (– 5 + 7i) – (3 – 2i) = –5 +7i –3+2i)= –8 + 9i c) z1 . z2 = (– 5 + 7i)(3 – 2i) = –15 + 10i + 21i – 14i2= – 1 + 31i

x1 x2 +y1y2 x22 + y22 x2y1 – x1y2 x22 +y22 + i d) z1 z2 = (– 5)(3)+(7)(– 2) 32 + (– 2)2 (3)(7) – (– 5)(– 2) + i = –29 13 + i 11 = e) z1 . z2 = (–5 + 7i)(3 + 2i) = –15 –10i + 21i + 14i2 = –15 – 10i + 21i – 14 = –29 + 11i f) z1 . z2 = (-5 - 7i)(3 - 2i) = – 5(3) – 5(– 2i) – 7i(3) –7i(–2i) = – 15 + 10i – 21i + 14i2 = –15 – 11i –14 = –29 – 11i

Latihan Buktikan bahwa bilangan 3,41414141… adalah bilangan rasional! 2. Selesaikan a) (3 + 5i) + (4 – 7i) b) (–2 – 4i) – (– 5 –8i) c) (2 – i)(5 +8i) d) (3/4 – 2/5 i) – (2/3 + 5/6 i) e) (3/7 – 3i)(2/3 + 3/8i)