DIFFERENSIASI GARIS SINGGUNG TURUNAN NOTASI TURUNAN DIFFERENSIABILITAS DAN KONTINUITAS

Garis singgung adalah garis yang menyinggung suatu titik tertentu pada suatu kurva. Pengertian garis singgung tersebut dapat dilihat pada Gambar 5.1 A l Gambar 5.1

Akan tetapi jika terdapat dua buah titik pada suatu kurva maka berkemungkinan garis singgung yang menyinggung salah satu titik akan memotong kurva pada titik lainnya. Perhatikan Gambar 5.2 A B l Gambar 5.2

Untuk mendapatkan pengertian yang lebih jelas mengenai garis singgung kita perlu mendefinisikan kemiringan garis singgung l pada titik A(x1,f(x1)) yang terletak pada grafik fungsi. Selanjutnya pada grafik fungsi tersebut kita pilih suatu titik B(x,f(x)). Jika kita hubungkan titik A dan B maka akan terbentuk garis l1 yang mempunyai kemiringan ,

l1 l Gambar 5.3 y A B Kemiringan garis l1 = m1 Kemiringan garis l = m x x x1 h Gambar 5.3

Jika f(x) kontinu pada selang [A,B] maka kita dapat mendekatkan titik B ke titik A dengan jalan memperkecil jarak antara x dan x1 . Dalam bentuk limit hal tersebut dapat ditulis dalam menjadi, (5.2) Persaman (5.2) adalah kemiringan garis l1 jika x mendekati x1. Jika kita perhatikan Gambar 5.3 maka kita dapat melihat bahwa kemiringan garis l1 jika x mendekati x1 adalah mendekati kemiringan garis l . Dalam bentuk limit dapat ditulis menjadi (5.3)

Persamaan 5.3 s.d. 5.5 adalah kemiringan garis l pada titik (x, f(x)) Contoh 5.1 Diketahui f(x) = 3x2 + 5 Tentukan kemiringan dan persamaan garis singgung yang melalui titik (a,a2) Penyelesaian

Jadi m = 6x (*) Persamaan garis singgung : y = mx + n (**) Karena garis singgung melalui titik (a,a2 ) , maka persamaan (*) menjadi m = 6a persamaan (**) menjadi a2 = 6a2 + n. Sehingga n = – 5a2 Persamaan garis singgung menjadi : y = 6ax – 5a2

5.2 Turunan Turunan adalah hasil dari proses differensiasi suatu fungsi. Untuk mendapatkan pengertian yang jelas dari turunan dan differensiasi perhatikan Gambar 5.4 berikut. Differensiasi dapat dimisalkan sebagai suatu mesin yang memproses masukan f(x) menjadi turunan f(x) atau f’(x). Gambar 5.4 f(x) f’(x) Differensiasi Selanjutnya turunan didefinisikan sebagai kemiringan garis yang menyinggung kurva f(x) di titik (x,f(x)). Berdasarkan persamaan 5.3 dan Gambar 5.3 maka definisi turunan dapat ditulis dalam bentuk,

(5.6) Jika persamaan 5.6 dapat dipenuhi berarti f(x) dapat didifferensiasikan (differensiable) pada x. Maka dikatakan f(x) mempunyai turunan pada x. Contoh 4.2 Jika f(x) = 2x2 + 5x – 7, tentukan f’(x), f’(c) dan f’(3) Penyelesaian f(x) = 2x2 + 5x – 7 f(x+x) = 2(x+x)2 + 5(x+x) – 7 = 2x2 + 4xx +2(x)2 + 5x + 5x – 7 f(x+x) – f(x) = 4xx + 2(x)2 + 5x

5.3 Notasi turunan Pada pasal terdahulu kita telah menggunakan notasi turunan dengan lambang f’ yaitu lambang turunan dari suatu fungsi f yang diperkenalkan pertama kali oleh matematikawan Perancis Louis Lagrange (1646 – 1716). Selain notasi tersebut masih terdapat notasi lain yang sering digunakan yaitu notasi double “d”. Jadi kita juga dapat menulis lambang turunan sebagai dy/dx, dy/dz, … dimana x dan z adalah peubah-peubah bebas dan y sebagai peubah tak bebas. Hubungan antara notasi-notasi turunan yang disebut diatas adalah sebagai berikut, Jika terdapat suatu persamaan y = f(x), maka dy/dx = f’(x).

5.4 Differensiabilitas dan kontinuitas Jika f adalah fungsi yang differensiabel pada x maka f dikatakan kontinu pada x. Bukti Pada uraian terdahulu telah dijelaskan bahwa suatu fungsi f dikatakan differensiable jika memenuhi persamaan 5.6 yaitu,

Sebaliknya jika f adalah fungsi yang kontinu pada x, maka tidak secara otomatis f differensiable pada x.