NILAI HARAPAN DAN MOMEN Materi Pokok 09 NILAI HARAPAN DAN MOMEN Nilai harapan peubah acak X Ambil X sebagai sebuah peubah acak dengan fungsi peluang (kepekatan) f (x) maka nilai tengah atau nilai harapan X adalah , bila X diskrit dan , bila X kontinu Nilai harapan peubah acak g (x) Ambil g (x) sebagai fungsi dari peubah acak X dengan fungsi peluang (kepekatan) f (x) maka nilai tengah atau nilai harapan g (x) adalah

Aplikasi Nilai Harapan Peubah Acak Diskrit Ambil fungsi peluang peubah acak X = f (x) dengan f (x) = , untuk x = 1, 2, 3 maka Untuk g (x) = x2 maka nilai harapan Fungsi g (x) = E (g (x)) = E (x2),

Untuk g (x) = (x - )2 = (x - )2 maka E [(x - )2] = E (x2) - 2 = 2 2 = ragam X = varians X

Aplikasi Nilai Harapan Peubah Acak Kontinu Ambil fungsi kepekatan peubah acak X = f (x) dengan Untuk g (x) = x2 maka E [g (x)] = E (x2) E (x2) = 2

Untuk g (x) = (x - )2 = 2 = ragam x = varians x

Momen Peubah Acak Momen ke r peubah acak x disekitar nilai tengah = r Definisi untuk x yang kontinu Momen ke r peubah acak x di sekitar titik asal = 1r = E (xr) dengan r = 0, 1, 2, ……. Hubungan antara ke dua macam momen diberikan sebagai berikut:

Untuk kasus tertentu: Beberapa Teori Nilai Harapan: Jika C adalah konstan, maka E (c X) = C E (X) Jika X dan Y merupakan peubah acak, maka E (X + Y) = E (X) + E (Y) Jika peubah acak X dan Y bebas maka E (XY) = E (X) E (Y)

Varians 2 = E [(x - )2] = E (x2) - 2 = E (x2) – [E (x)]2 dengan,  = E (x) Jika c konstan maka Var (cX) = c2 var (X) E [(x – a)2] adalah minimum bila a =  = E (x) Jika peubah acak X dan Y bebas Var (X + Y) = Var (X) + Var (Y) atau Var (X - Y) = Var (X) + Var (Y) atau Peragam (Kovarians) Dua Peubah Acak X dan Y adalah dua peubah acak dengan fungsi bersama (gabungan) f (x, y) maka peragam (kovarians) dan Y adalah XY = E [(X - X) (Y - Y)]

Peragam (kovarians) dari dua peubah acak X dan Y dengan nilai tengah masing-masing X dan Y diberikan oleh xy = E (XY) - X Y Koefisien Korelasi Peubah Acak X dan Y Misalkan X dan Y merupakan peubah acak dengan peragam (kovarians) xy dan simpangan baku masing-masing X dan Y, maka koefisien korelasi X dan Y adalah Jika X dan Y adalah peubah acak dengan fungsi peluang (kepekatan) f (x, y) maka

Teorema Chebyshev Peluang bahwa setiap peubah acak X akan mengambil suatu nilai di dalam k simpangan baku dari nilai tengah paling sedikit adalah Memperkirakan rataan dan Varians Jika fungsi peubah acak H (x) diuraikan dengan bentuk deret Taylor: H (x) = H() + H1() (x - ) + ½ H11() (x - )2 H1(x), H11(x) …. Adalah turunan pertama, kedua, ….., dari fungsi H(x) E [H(x)] = H() +½ H11() 2 dimana 2 = Var (x)