HITUNG INTEGRAL INTEGRAL TAK TENTU

INTEGRAL CALCULUS INTEGRAL TAK TENTU

Ntuk menyatakan f(x) kembali, digunakan integral dengan lambang INTRGRAL TAK TE NTU Pengertian Hitung Integral Hitung Integral adalah kebalikan dari hitung deferensial Misal : y = F(x) = x2 3x2 = f(x) dF(x)= f(x) dx Ntuk menyatakan f(x) kembali, digunakan integral dengan lambang Sehingga dF(x)=f(x)dx F(x)= Hal.: 3 INTEGRAL

To state f(x) again, used integral that denoted INDEFINITE INTEGRAL Definition of Integral Calculus Integral Calculus is the opposite of differential calculus Example : y = F(x) = x2 3x2 = f(x) dF(x)= f(x) dx To state f(x) again, used integral that denoted So dF(x)=f(x)dx F(x)= Hal.: 4 INTEGRAL

INTRGRAL TAK TENTU Dengan lambang integral di tulis : Misal : f(x) = 4x3 maka kemungkinan untuk F(x) adalah X4 karena turunannya 4x3 = F’(x) X4 + 1 karena turunannya 4x3 = F(‘x) X4 + 5 karena turunannya 4x3 = F’(x) X4 + 50 karena turunannya 4x3 = F’(x) X4 + c karena turunannya 4x3 = F’(x) Jadi anti turunan dari 4x3 adalah x4 di tambah bilangan c ( c = Konstanta) Dengan lambang integral di tulis : Secara um8um di tulis : Hal.: 5 INTEGRAL

INDEFINITE INTEGRAL And integral symbol written by : Example : f(x) = 4x3 then the possibility for F(x) is X4 because its derivative 4x3 = F’(x) X4 + 1 because its derivative 4x3 = F(‘x) X4 + 5 because its derivative 4x3 = F’(x) X4 + 50 because its derivative 4x3 = F’(x) X4 + c because its derivative 4x3 = F’(x) So the anti derivative of 4x3 is x4 added number c ( c = constant) And integral symbol written by : Generally written : Hal.: 6 INTEGRAL

INTEGRAL TAK TENTU Rumus – rumus Pengintegralan a. b. c. d. e. Hal.: 7

INDEFINITE INTEGRAL The theorems of integral a. b. c. d. e. Hal.: 8

Integral Tak Tentu 2. Integralkanlah (5x – 1)2 Penyelesaian = = = = = Contoh: Tentukan dari Penyelesaian 2. Integralkanlah (5x – 1)2 Penyelesaian = = = = = 12x3 – 6x2 + x + c = Hal.: 9 INTEGRAL

INDEFINITE INTEGRAL 2. Integral this (5x – 1)2 Solution = = = = = Example: Determine from Solution 2. Integral this (5x – 1)2 Solution = = = = = 12x3 – 6x2 + x + c = Hal.: 10 INTEGRAL

Integral Tak Tentu = = 4x3 + 2x2 + 10x – 5lnx + c 4. Tentukan Penyelesaian = = 4x3 + 2x2 + 10x – 5lnx + c 4. Tentukan Penyelesaian = = = Hal.: 11 INTEGRAL

INDEFINITE INTEGRAL = = 4x3 + 2x2 + 10x – 5lnx + c 4. Find Solution = 3. Determine Solution = = 4x3 + 2x2 + 10x – 5lnx + c 4. Find Solution = = = Hal.: 12 INTEGRAL

INTEGRAL TERTENTU Bentuk umum intergral tertentu a disebut batas bawah b disebut batas bawah F(x) : fungsi hasil integral dari f(x) F(b) : Nilai fungsi F(x) untuk x = b F(a) : Nilai fungsi F(x) untuk x = a Hal.: 13 INTEGRAL

DEFINITE INTEGRAL General form of certain integral a called lower limit b called lower limit F(x) : integral result function of f(x) F(b) : Function value F(x) for x = b F(a) : Function value F(x) for x = a Hal.: 14 INTEGRAL

INTEGRAL TERTENTU Sifat-sifat intergral tertentu 1. 2. 3. 4. Hal.: 15

INDEFINITE INTEGRAL The characteristics of certain integral 1. 2. 3. 4. Hal.: 16 INTEGRAL

INTEGRAL TERTENTU Contoh : 2. Tentukan nilai dari Penyelesaian = = = = = 4 - = = 2 = Hal.: 17 INTEGRAL

INDEFINITE INTEGRAL Example : 2. Find value of Solution Solution = = = 1. Find the value of 2. Find value of Solution Solution = = = = = 4 - = = 2 = Hal.: 18 INTEGRAL

LUAS DAEARAH DAN ISI BENDA PUTAR Penggunaan Integral LUAS DAEARAH DAN ISI BENDA PUTAR

LUAS DAEARAH DAN ISI BENDA PUTAR Integral Applying LUAS DAEARAH DAN ISI BENDA PUTAR

Penggunaan Integral 9 Hal.: 21 INTEGRAL

Integral Applying 9 Hal.: 22 INTEGRAL

Indikator Hasil Belajar Penggunaan Integral Menggunakan integral untuk menghitung luas daerah dan volume benda putar. Kompetensi Dasar Setelah pembelajaran siswa diharapkan dapat : menggambarkan suatu daerah yang dibatasi oleh beberapa kurva. menentukan luas daerah dengan menggunakan limit jumlah. merumuskan integral tentu untuk luas daerah dan menghitungnya. merumuskan integral tentu untuk volume benda putar dari daerah yang diputar terhadap sumbu koordinat dan menghitungnya. Indikator Hasil Belajar Hal.: 23 INTEGRAL

Integral Applying Using integral to calculate place area and volume of rotate object. Base Competence After studying, the students hopefully can: Describing a place that limited by several curves. Determining place area by using addition limit. Making formula of certain integral for place area and calculate them. Making formula of certain integral for rotate object volume of rotated place towards the coordinate axis and calculate them. Indicators Hal.: 24 INTEGRAL

Penggunaan Integral Media Presentasi Pembelajaran ini disusun untuk membantu guru dalam pembelajaran penggunaan integral untuk menghitung luas daerah dan volume benda putar. Pembahasan luas daerah diawali dari luas sebagai limit jumlah, dilanjutkan dengan integral tentu, dan diakhiri penggunaan integral tentu untuk menghitung luas daerah. Pembahasan volume benda putar dikaji dari bentuk partisi setelah diputar yang meliputi bentuk : cakram, cincin, dan kulit tabung. Agar dapat memahami keseluruhan materi, maka pembahasan harus dilakukan secara berurutan dimulai dari kompetensi, pendahuluan, luas daerah, dan volume benda putar. Di akhir kegiatan diberikan soal latihan. Sebaiknya dalam penggunaan media ini guru juga menyiapkan soal latihan untuk menambah pemahaman konsep dan melatih keterampilan siswa. Untuk beberapa slide guru perlu menekan tombol klik kiri agar prosedur yang diinginkan dalam slide tersebut berjalan secara berurutan. Hal.: 25 INTEGRAL

Integral Applying This media of learning presentation is arranged to help teachers in applying integral lesson to calculate place area and volume rotate object. Discussion of place area started from area as addition limit, continue with certain integral, and ended with applying certain integral to calculate place area. The discussion of rotate object is learned in particial form after rotating in form: disk, ring, and tube shell . To understand all materials, the discussion must be done orderly from competence, preface, place area, and volume of rotated object. In the end of activity, we give exercises. It will be better to the teachers to prepare exercises to add concept understanding and train the skill of students. For several slides teachers need to press the button click left to make the wanted procedure in that slide run orderly. Hal.: 26 INTEGRAL

Runtuhnya Jembatan Tacoma, Washington Jembatan Tacoma yang panjangnya 1,8 km di buka pada 1Juli 1940. Empat bulan kemudian jembatan tersebut runtuh karena badai yang berkekuatan 68 km/jam. Next Back Hal.: 27 INTEGRAL

The Collapse Bridge Tacoma, Washington The length of Tacoma bridge was 1,8 km opened on July 1st 1940. Four months later, the bridge fell out because of the storm which had the strength 68 km/hour. Next Back Hal.: 28 INTEGRAL

Penggunaan Integral Pilar-pilar jembatan pada gambar di atas membentuk partisi-partisi yang akan kita temukan dalam pokok bahasan menghitung luas daerah dengan menggunakan integral. Next Back Hal.: 29 INTEGRAL

Integral Applying The bridge pillars in the above picture formed partion that we would find in the main discussion to calculate place area by using integral. Next Back Hal.: 30 INTEGRAL

Penggunaan Integral Bola lampu di samping dapat dipandang sebagai benda putar jika kurva di atasnya diputar menurut garis horisontal. Pada pokok bahasan ini akan dipelajari juga penggunaan integral untuk menghitung volume benda putar. Hal.: 31 INTEGRAL

Integral Applying The lamp beside can be seen as rotate object if the above curve is rotated according to horizontal line. In this main discussion will also learn integral applying to calculate volume of rotate object. Hal.: 32 INTEGRAL

Luas Sebagai Limit Jumlah Luas Daerah Menentukan luas daerah dengan limit jumlah dapat diilustrasikan oleh gambar di samping. Langkah utama yang dilakukan adalah memartisi, mengaproksimasi, menjumlahkan, dan menghitung limitnya. X Y Home Next Back Hal.: 33 INTEGRAL

Width as Addition limit Determining place area and addition limit can be illustrated by picture beside. The Main steps are dividing, approximating, adding, and calculating the limit. X Y Home Next Back Hal.: 34 INTEGRAL

Luas Sebagai Limit Jumlah Luas Daerah Langkah menghitung luas daerah dengan limit jumlah adalah: Bagilah interval menjadi selang yang sama panjang. Partisilah daerah tersebut. Masing-masing partisi buatlah persegi panjang. Perhatikan persegi panjang pada interval [xi-1 , xi]. y Li a x xi x Next Back Home Hal.: 35 INTEGRAL

Width as Addition limit Steps to calculate place area by addition limit are: Divide the interval into distance with the same size. Divide that area. Make rectangular shape to Each part . See the rectangular shape in interval [xi-1 , xi]. y Li a x xi x Next Back Home Hal.: 36 INTEGRAL

Luas Sebagai Limit Jumlah Luas Daerah Langkah menghitung luas daerah ( lanjutan ) : Tentukan luas persegi panjang ke-i (Li) Jumlahkah luas semua persegi panjang Hitung nilai limit jumlahnya y a x Li x xi Luas sebuah persegi panjang: Li = f(xi) x Jumlah luas persegi panjang :L   f(xi) x Limit jumlah : L = lim  f(xi) x ( n  ∞ ) Next Back Home Hal.: 37 INTEGRAL

Width as Addition limit Steps to calculate the place area ( continuation ) : Determine the area of rectangular the-i (Li) Add all area of rectangular shape Calculate the total of limit value y a x Li x xi Area of a rectangular shape: Li = f(xi) x Total area of rectangular shape :L   f(xi) x Total limit : L = lim  f(xi) x ( n  ∞ ) Next Back Home Hal.: 38 INTEGRAL

Luas Sebagai Limit Jumlah Luas Daerah Contoh 1. Tentukan luas daerah yag dibatasi oleh kurva y = x2, sumbu X, dan garis x = 3 dengan menggunakan cara limit jumlah. Jawab Bagilah interval [0, 3] menjadi n buah selang yang sama panjang; yaitu 3/n. Partisi daerah tersebut menurut persegi panjang luar. Tentukan ukuran persegi panjang pada interval [xi , xi+1] dan hitunglah luasnya. x0 = 0 x1 = 3/n x2 = (3/n) × 2 = 6/n Jadi xi = 3i/n dan xi + 1 = 3(i +1)/n y Li x 3 xi+1 xi x1 x2 x3 3/n Next Back Home Hal.: 39 INTEGRAL

Width as Addition limit Area width Example 1. Determine place area that limited by curve y = x2, axis X, and line x = 3 by using addition limit step. Answer Divide the interval [0, 3] into n distance with the same size; is 3/n. Divide the place according to outside rectangular shape. Determine the size of rectangular shape in interval [xi , xi+1] and calculate the area. x0 = 0 x1 = 3/n x2 = (3/n) × 2 = 6/n Then xi = 3i/n and xi + 1 = 3(i +1)/n y Li x 3 xi+1 xi x1 x2 x3 3/n Next Back Home Hal.: 40 INTEGRAL

Jadi luas daerah = 9 satuan Luas Sebagai Limit Jumlah Luas Daerah Jumlahkan luas semua partisi x 3 Li 3/n xi+1 xi x1 x2 x3 y Tentukan limitnya Jadi luas daerah = 9 satuan Next Back Home Hal.: 41 INTEGRAL

Width as addition limit Area width Add all part area x 3 Li 3/n xi+1 xi x1 x2 x3 y Find the limit Then the area = 9 units Next Back Home Hal.: 42 INTEGRAL

Integral Tentu Luas Daerah Perhatikan gambar di bawah ini! Misalkan selang [a, b] dibagi menjadi n bagian (lebar tidak harus sama) dengan lebar selang ke-i adalah xi = xi – xi-1. Pada selang [xi-1, xi] diambil titik sampel xk maka jumlah Riemann dituliskan sebagai : y a x b xi-1 xi xk  xi Selanjutnya didefinisikan bahwa: Bentuk disebut dengan integral tertentu (Integral Riemann) Next Back Home Hal.: 43 INTEGRAL

Definite Integral Area width See the picture below! For example the distance [a, b] divided into n part (wide is not must be the same) and the wide of distance the-i is xi = xi – xi-1. At the distance [xi-1, xi] taken the sample point xk then total Riemann written as : y a x b xi-1 xi xk  xi Next defined that: Form Called certain integral (Integral Riemann) Next Back Home Hal.: 44 INTEGRAL

Teorema Dasar Kalkulus Integral Tentu Luas Daerah Misalkan f adalah fungsi yang kontinyu pada selang [a, b] dan misalkan F adalah anti turunan dari f pada selang tersebut, maka berlaku : Untuk meringkas penulisan, F(b) – F(a) dinotasikan sebagai Teorema Dasar Kalkulus Hitunglah nilai dari Contoh 2. Jawab = = 2(2)3 – 2(2)2 – [2(-1)3 – 2(-1)2] = 16 – 8 + 2 - 2 = 8 Next Back Home Hal.: 45 INTEGRAL

Theorem of base calculus Definite Integral Area width For example f is a continue of function in distance [a, b] and example F is anti derivative of f in that range, then: To shorten the theorem, F(b) – F(a) denoted as Theorem of base calculus Calculate value of Example 2. Answer = = 2(2)3 – 2(2)2 – [2(-1)3 – 2(-1)2] = 16 – 8 + 2 - 2 = 8 Next Back Home Hal.: 46 INTEGRAL

Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Secara geometri definisi integral Riemaan di atas dapat diartikan sebagai luas daerah di bawah kurva y = f(x) pada interval [a, b]. Jumlah Luas Partisi Berubah Menjadi Integral y y Tentukan limitnya n   x a x b a b x Next Back Home Hal.: 47 INTEGRAL

Calculating width by Integral Area width Geometrically, the definition of the above integral Riemaan can be defined as place area under the curve y = f(x) in the interval [a, b]. Total of part area Changes into Integral y y Determine the limit n   x a x b a b x Next Back Home Hal.: 48 INTEGRAL

Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Kegiatan pokok dalam menghitung luas daerah dengan integral tentu adalah: Gambar daerahnya. Partisi daerahnya Aproksimasi luas sebuah partisi Li  f(xi) xi Jumlahkan luas partisi L   f(xi) xi 5. Ambil limitnya L = lim  f(xi) xi 6. Nyatakan dalam integral xi y Li x xi a Next Back Home Hal.: 49 INTEGRAL

Calculating width by Integral Area width Base activities in calculating area by integral are: Picture area. Part of area Approximation of part area Li  f(xi) xi 4. Add the wide of part L   f(xi) xi 5. Take the limit L = lim  f(xi) xi 6. State in integral xi y Li x xi a Next Back Home Hal.: 50 INTEGRAL

Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2, sumbu x, dan garis x = 3 Contoh 3. Langkah penyelesaian : Gambarlah daerahnya Partisi daerahnya Aproksimasi luasnya Li  xi2 xi 4. Jumlahkan luasnya L   xi2 xi Ambil limit jumlah luasnya L = lim  xi2 xi Nyatakan dalam integral dan hitung nilainya Jawab y xi Li x 3 xi Next Back Home Hal.: 51 INTEGRAL

Calculating width by Integral Area width Calculate the close area wide that limited curve y = x2, axis x, and line x = 3 Example 3. Solution steps : Draw the area Divide the area Approximate the width Li  xi2 xi 4. Add the width L   xi2 xi Take limit of width L = lim  xi2 xi State in integral and calculate the value Answer y xi Li x 3 xi Next Back Home Hal.: 52 INTEGRAL

Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = 4x - x2, sumbu x, dan garis x = 5 Contoh 4. Jawab Langkah penyelesaian: Gambar dan Partisi daerahnya Aproksimasi : Li  (4xi - xi2)xi dan Aj  -(4xj - xj2)xj 4. Jumlahkan : L  (4xi - xi2)xi dan A   -(4xj - xj2)xj 5. Ambil limitnya L = lim  (4xi - xi2)xi dan A = lim  -(4xj - xj2)xj Nyatakan dalam integral y xi Li xj x 5 4 xj xi Aj Next Back Home Hal.: 53 INTEGRAL

Calculating width by Integral Area width Calculate the close area width that limited by curve y = 4x - x2, axis x, And line x = 5 Example 4. Answer Solution steps: Draw and divide the area Approximate : Li  (4xi - xi2)xi and Aj  -(4xj - xj2)xj 4. Add : L  (4xi - xi2)xi and A   -(4xj - xj2)xj 5. Take the limit L = lim  (4xi - xi2)xi and A = lim  -(4xj - xj2)xj State in integral y xi Li xj x 5 4 xj xi Aj Next Back Home Hal.: 54 INTEGRAL

Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah y x 5 4 xi Li xi xj Aj xj Next Back Home Hal.: 55 INTEGRAL

Calculating width by Integral Area width x 5 4 xi Li xi xj Aj xj Next Back Home Hal.: 56 INTEGRAL

LUAS DAERAH ANTARA DUA KURVA Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah LUAS DAERAH ANTARA DUA KURVA Perhatikan kurva y = f(x) dan y = g(x) dengan f(x) > g(x) pada selang [a, b] di bawah ini. Dengan menggunakan cara : partisi, aproksimasi, jumlahkan, ambil limitnya, integralkan, maka dapat ditentukan luas daerah antara dua kurva tersebut. Langkah penyelesaian: Partisi daerahnya Aproksimasi : Li  [ f(x) – g(x) ] x 4. Jumlahkan : L   [ f(x) – g(x) ] x 5. Ambil limitnya : L = lim  [ f(x) – g(x) ] x 6. Nyatakan dalam integral tertentu y x Li x b a x Next Back Home Hal.: 57 INTEGRAL

AREA WIDTH BETWEEN TWO CURVES Calculating width by Integral Area width AREA WIDTH BETWEEN TWO CURVES Look at curve y = f(x) and y = g(x) with f(x) > g(x) in distance [a, b] below. By using steps : Divide, approximate, add, take the limit, integrate, then we can determine area width between two curves. Solution steps: Divide the area Approximate : Li  [ f(x) – g(x) ] x 4. Add : L   [ f(x) – g(x) ] x 5. Take the limit : L = lim  [ f(x) – g(x) ] x 6. State in certain integral y x Li x b a x Next Back Home Hal.: 58 INTEGRAL

Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2 dan garis y = 2 - x Contoh 5. Langkah penyelesaian: Gambar daerahnya Tentukan titik potong kedua kurva x2 = 2 – x  x2 + x – 2 = 0  (x + 2)(x – 1) = 0 diperoleh x = -2 dan x = 1 Partisi daerahnya Aproksimasi luasnya Li  (2 - x - x2)x 4. Jumlahkan luasnya L   (2 - x - x2)x 5. Tentukan limit jumlah luasnya L = lim  (2 - x - x2)x 6. Nyatakan dalam integral tertentu Jawab y 1 2 3 4 5 x Li x x 1 2 -1 -2 -3 Next Back Home Hal.: 59 INTEGRAL

Calculating width by Integral Area width Calculate the closed area width that limited curve y = x2 and line y = 2 - x Example 5. Solution steps: Draw the area Determine the intersection point of two curves x2 = 2 – x  x2 + x – 2 = 0  (x + 2)(x – 1) = 0 gotten x = -2 and x = 1 Divide the area Approximate the width Li  (2 - x - x2)x 4. Add the width L   (2 - x - x2)x 5. Determine the limit of width L = lim  (2 - x - x2)x 6. State in certain integral Answer y 1 2 3 4 5 x Li x x 1 2 -1 -2 -3 Next Back Home Hal.: 60 INTEGRAL

Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah x 1 2 -1 -2 -3 y 3 4 5 Li x Next Back Home Hal.: 61 INTEGRAL

Calculating width by Integral Area width x 1 2 -1 -2 -3 y 3 4 5 Li x Next Back Home Hal.: 62 INTEGRAL

Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Untuk kasus tertentu pemartisian secara vertikal menyebabkan ada dua bentuk integral. Akibatnya diperlukan waktu lebih lama untuk menghitungnya. y x Li x Ai x a b Luas daerah = Next Back Home Hal.: 63 INTEGRAL

Calculating width by Integral Area width For specific case, the vertically division causes two integral form. So it is needed longer time to calculate them. y x Li x Ai x a b Area width = Next Back Home Hal.: 64 INTEGRAL

Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Jika daerah tersebut dipartisi secara horisontal, maka akan diperoleh satu bentuk integral yang menyatakan luas daerah tersebut. Sehingga penyelesaiannya menjadi lebih sederhana dari sebelumnya. y d y Li x c Luas daerah = Next Back Home Hal.: 65 INTEGRAL

Calculating width by Integral Area width If the area is divided horizontally, then will be gotten one integral form that state the width of area. So the solution will be simpler than before. y d y Li x c Area width = Next Back Home Hal.: 66 INTEGRAL

Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Hitunglah luas daerah yang dibatasi kurva y2 = x, garis x + y = 6, dan sumbu x Contoh 6. Jawab Langkah penyelesaian: Gambar daerahnya Tentukan titik potong kedua kurva y2 = 6 – y  y2 + y – 6 = 0  (y + 3)(y – 2) = 0 diperoleh y = - 3 dan y = 2 Partisi daerahnya Aproksimasi luasnya Li  (6 - y - y2)y 4. Jumlahkan luasnya L   (6 - y - y2)y 5. Tentukan limitnya L = lim  (6 - y - y2)y 6. Nyatakan dalam integral tertentu y 6 2 y y Li x 6 Luas daerah = Next Back Home Hal.: 67 INTEGRAL

Calculating width by Integral Area width Calculate the area width that limited by curve y2 = x, line x + y = 6, and axis x Example 6. Answer Solution steps: Draw the area Determine the intersection point of two curves y2 = 6 – y  y2 + y – 6 = 0  (y + 3)(y – 2) = 0 gotten y = - 3 and y = 2 Divide the area Approximate the width Li  (6 - y - y2)y 4. Add the width L   (6 - y - y2)y 5. Determine the limit L = lim  (6 - y - y2)y 6. State in certain integral y 6 2 y y Li x 6 Area width = Next Back Home Hal.: 68 INTEGRAL

Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah 2 y 6 x Li y Luas daerah = Luas daerah = Luas daerah = Luas daerah = Home Back Next Hal.: 69 INTEGRAL

Calculating width by Integral Area width 2 y 6 x Li y Area width = Area width = Area width = Area width = Home Back Next Hal.: 70 INTEGRAL

Volume Benda Putar Pendahuluan Suatu daerah jika di putar mengelilingi garis tertentu sejauh 360º, maka akan terbentuk suatu benda putar. Kegiatan pokok dalam menghitung volume benda putar dengan integral adalah: partisi, aproksimasi, penjumlahan, pengambilan limit, dan menyatakan dalam integral tentu. Gb. 4 Home Next Back Hal.: 71 INTEGRAL

Volume 0f Rotated Object Surface If an area is rotated around the certain line at 360º, then will be formed a rotated object. Base activity in calculating volume of rotated object by integral are: Division, approximation, addition, limit taking, and state in certain integral. Gb. 4 Home Next Back Hal.: 72 INTEGRAL

Volume Benda Putar Pendahuluan Dalam menentukan volume benda putar yang harus diperhatikan adalah bagaimana bentuk sebuah partisi jika diputar. Berdasarkan bentuk partisi tersebut, maka metode yang digunakan untuk menentukan volume benda putar dibagi menjadi : 1. Metode cakram 2. Metode cincin 3. Metode kulit tabung y x 1 2 -2 -1 3 4 Next Back Home Hal.: 73 INTEGRAL

Volume 0f Rotated Object Surface In determining volume rotated object, the things that must be concerned is the shape of partisian if it is rotated. Base on that partisian, so the method used to determine volume of rotated object divided into : 1. Disk method 2. Ring method 3. Tube outer method y x 1 2 -2 -1 3 4 Next Back Home Hal.: 74 INTEGRAL

Volume Benda Putar Metode Cakram Metode cakram yang digunakan dalam menentukan volume benda putar dapat dianalogikan seperti menentukan volume mentimun dengan memotong-motongnya sehingga tiap potongan berbentuk cakram. Next Back Home Hal.: 75 INTEGRAL

Volume 0f Rotated Object Disk Method Disk method that is used in determining volume of rotated object and can be analogized like determining cucumber volume by cutting them, so each of them form in disk. Next Back Home Hal.: 76 INTEGRAL

Volume Benda Putar Metode Cakram Bentuk cakram di samping dapat dianggap sebagai tabung dengan jari-jari r = f(x), tinggi h = x. Sehingga volumenya dapat diaproksimasi sebagai V  r2h atau V   f(x)2x. Dengan cara jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam integral diperoleh: V    f(x)2 x V = lim   f(x)2 x y x a x h=x x y x Next Back Home Hal.: 77 INTEGRAL

Volume 0f Rotated Object Disk Method Disk shape beside can be considered as tub with radius of r = f(x), height h = x. So the volume can be approximated as V  r2h or V   f(x)2x. By adding, taking the limit, and state in integral gotten: V    f(x)2 x V = lim   f(x)2 x y x a x h=x x y x Next Back Home Hal.: 78 INTEGRAL

Volume Benda Putar Metode Cakram Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2 + 1, sumbu x, sumbu y, garis x = 2 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º. Contoh 7. Jawab 1 Langkah penyelesaian: Gambarlah daerahnya Buat sebuah partisi Tentukan ukuran dan bentuk partisi Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam bentuk integral. y y x 2 h=x x x x x Next Back Home Hal.: 79 INTEGRAL

Volume 0f Rotated Object Disk Method Calculate the volume of rotated object that occurs in area which limited by curve y = x2 + 1, axis x, axis y, line x = 2 rotated around the axis x at 360º. Example 7. Answer 1 Solution steps: Draw the area Make a partisian Determine size and partisian form Approximate the volume of partisian volume that rotated, add, take the limit and stated in integral form. y y x 2 h=x x x x x Next Back Home Hal.: 80 INTEGRAL

Volume Benda Putar Metode Cakram V  r2h V  (x2 + 1)2 x V   (x2 + 1)2 x V = lim  (x2 + 1)2 x y h=x x Next Back Home Hal.: 81 INTEGRAL

Volume 0f Rotated Object Disk Method V  r2h V  (x2 + 1)2 x V   (x2 + 1)2 x V = lim  (x2 + 1)2 x y h=x x Next Back Home Hal.: 82 INTEGRAL

Volume Benda Putar Metode Cakram Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2, sumbu y, garis y = 2 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º. Contoh 8. Jawab Langkah penyelesaian: Gambarlah daerahnya Buatlah sebuah partisi Tentukan ukuran dan bentuk partisi Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam bentuk integral. y 2 y y x y h=y y x Next Back Home Hal.: 83 INTEGRAL

Volume 0f Rotated Object Disk Method Calculate the rotated object that occurs if the area is limited by curve y = x2, axis y, line y = 2 is rotated around the axis y at 360º. Example 8. Answer Solution steps: Draw the area Make a partisian Determine the size and partisian form Approximate the rotated partisian volume, add, take the limit, and state in integral form. y 2 y y x y h=y y x Next Back Home Hal.: 84 INTEGRAL

Volume Benda Putar Metode Cakram V  r2h V  (y)2 y V   y y V = lim  y y x y h=y 2 Next Back Home Hal.: 85 INTEGRAL

Volume 0f Rotated Object Disk Method V  r2h V  (y)2 y V   y y V = lim  y y x y h=y 2 Next Back Home Hal.: 86 INTEGRAL

Volume Benda Putar Metode Cincin Metode cincin yang digunakan dalam menentukan volume benda putar dapat dianalogikan seperti menentukan volume bawang bombay dengan memotong-motongnya yang potongannya berbentuk cincin. Next Back Home Hal.: 87 INTEGRAL

Volume 0f Rotated Object Ring Method Ring method that is used in determining the rotated object volume can be analogized like in determining volume of bombay onion by cutting it in ring shape. Next Back Home Hal.: 88 INTEGRAL

Volume Benda Putar Metode Cincin Menghitung volume benda putar dengan menggunakan metode cincin dilakukan dengan memanfaatkan rumus volume cincin seperti gambar di samping, yaitu V= (R2 – r2)h Gb. 5 h r R Next Back Home Hal.: 89 INTEGRAL

Volume 0f Rotated Object Ring Method Calculating the volume of rotated object by using ring method that is done by ring volume formula as in the picture beside, it is V= (R2 – r2)h Gb. 5 h r R Next Back Home Hal.: 90 INTEGRAL

Volume Benda Putar Metode Cincin Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2 dan garis y = 2x diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º. Contoh 9. Langkah penyelesaian: Gambarlah daerahnya Buat sebuah partisi Tentukan ukuran dan bentuk partisi Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam bentuk integral. Jawab y y y = 2x 4 2 x 2x x x2 x x Next Back Home Hal.: 91 INTEGRAL

Volume 0f Rotated Object Ring Method Calculate the rotated object volume that occurs if the area is limited by curve y = x2 and line y = 2x is rotated around the axis x at 360º. Example 9. Solution steps: Draw the area Make a partisian Determine the size and partisian form Approximate the volume of rotated partisian, add, take the limit, and state it in integral form. Answer y y y = 2x 4 2 x 2x x x2 x x Next Back Home Hal.: 92 INTEGRAL

Volume Benda Putar Metode Cincin V  (R2 – r2) h V   [ (2x)2 – (x2)2 ] x V   (4x2 – x4) x V    (4x2 – x4) x V = lim   (4x2 – x4) x 4 y y = 2x 2 x x r=x2 R=2x y x Next Back Home Hal.: 93 INTEGRAL

Volume 0f Rotated Object Ring Method V  (R2 – r2) h V   [ (2x)2 – (x2)2 ] x V   (4x2 – x4) x V    (4x2 – x4) x V = lim   (4x2 – x4) x 4 y y = 2x 2 x x r=x2 R=2x y x Next Back Home Hal.: 94 INTEGRAL

Volume Benda Putar Metode Kulit Tabung Metode kulit tabung yang digunakan untuk menentukan volume benda putar dapat dianalogikan seperti menentukan volume roti pada gambar disamping. Next Back Home Hal.: 95 INTEGRAL

Volume 0f Rotated Object Tube Shell Method Method of tube shell that is used to determine the volume of rotated object can be analogized like in determining bread volume in the picture beside. Next Back Home Hal.: 96 INTEGRAL

Volume Benda Putar Metode Kulit Tabung h h V = 2rhΔr Δr 2r Next Back Home Hal.: 97 INTEGRAL

Volume 0f Rotated Object Tube Shell Method V = 2rhΔr Δr 2r Next Back Home Hal.: 98 INTEGRAL

Volume Benda Putar Metode Kulit Tabung Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2 , garis x = 2, dan sumbu x diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º. Contoh 10. Jawab Langkah penyelesaian: Gambarlah daerahnya Buatlah sebuah partisi Tentukan ukuran dan bentuk partisi. Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam bentuk integral. y 1 2 3 4 x x2 x 1 2 x Next Back Home Hal.: 99 INTEGRAL

Volume 0f Rotated Object Tube Shell Method Calculate the rotated object volume that occurs if the area is limited by curve y = x2 , line x = 2, and axis x is rotated around axis y at 360º. Example 10. JAnswer Solution steps: Draw the area Make a partisian Determine the size and partisian form. Approximate the rotated partisian volume, add , take the limit, and state it in integral form. y 1 2 3 4 x x2 x 1 2 x Next Back Home Hal.: 100 INTEGRAL

Volume Benda Putar Metode Kulit Tabung x 1 2 x x2 y 3 4 x 1 2 y 3 4 x r = x h = x2 V  2rhx V  2(x)(x2)x V   2x3x V = lim  2x3x Next Back Home Hal.: 101 INTEGRAL

Volume 0f Rotated Object Tube Shell Method x 1 2 x x2 y 3 4 x 1 2 y 3 4 x r = x h = x2 V  2rhx V  2(x)(x2)x V   2x3x V = lim  2x3x Next Back Home Hal.: 102 INTEGRAL

Volume Benda Putar Metode Kulit Tabung Jika daerah pada contoh ke-10 tersebut dipartisi secara horisontal dan sebuah partisi diputar mengelilingi sumbu y, maka partisi tersebut membentuk cincin. Volume benda putar tersebut dihitung dengan metode cincin adalah sebagai berikut. V  (R2 – r2)y V  (4 - x2)y V   (4 – y)y V = lim  (4 – y)y x 1 2 y 3 4 y r=x R = 2 y 1 2 3 4 x 1 2 -2 -1 Home Back Next Hal.: 103 INTEGRAL

Volume 0f Rotated Object Tube Shell Method If an area in the-10th example be partisans horizontally and a partisans is rotated around the axis y, then it is called ring shape partisans. And the volume of that rotated object is calculated by ring method as follow. V  (R2 – r2)y V  (4 - x2)y V   (4 – y)y V = lim  (4 – y)y x 1 2 y 3 4 y r=x R = 2 y 1 2 3 4 x 1 2 -2 -1 Home Back Next Hal.: 104 INTEGRAL

Petunjuk : Kesempatan menjawab hanya 1 kali Penggunaan Integral Latihan Latihan (6 soal) Petunjuk : Kesempatan menjawab hanya 1 kali Home Next Back Hal.: 105 INTEGRAL

Clue : Chance to answer only once Integral Applying Exercises Exercise (6 terms) Clue : Chance to answer only once Home Next Back Hal.: 106 INTEGRAL

Penggunaan Integral Latihan Soal 1. Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat dinyatakan dalam bentuk integral sebagai .... X Y 2 4 A D B E C Home Back Next Hal.: 107 INTEGRAL

Integral Applying Exercises Term 1. The area width in the shaded-in picture below can be stated in integral form as.... X Y 2 4 A D B E C Home Back Next Hal.: 108 INTEGRAL

Penggunaan Integral Latihan Soal 1. Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat dinyatakan dalam bentuk integral sebagai .... X Y 2 4 A D B E C Jawaban Anda Benar  L  (4 – x2) x L   (4 – x2) x L = lim  (4 – x2) x ( Jawaban D ) Home Next Back Hal.: 109 INTEGRAL

Integral Applying Exercises Term 1. The area width in the shaded-in picture below can be stated in integral form as... X Y 2 4 A D B E C Your answer is Correct  L  (4 – x2) x L   (4 – x2) x L = lim  (4 – x2) x ( Key answer D ) Home Next Back Hal.: 110 INTEGRAL

Penggunaan Integral Latihan Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat dinyatakan dalam bentuk integral sebagai .... Soal 1. A B C D E X Y 2 4 x x 4 - x2 Jawaban Anda Salah  L  (4 – x2) x L   (4 – x2) x L = lim  (4 – x2) x ( Jawaban D ) Home Next Back Hal.: 111 INTEGRAL

Integral Applying Exercises The area width in the shaded-in picture below can be stated in integral form as.... Term 1. A B C D E X Y 2 4 x x 4 - x2 Your answer is wrong  L  (4 – x2) x L   (4 – x2) x L = lim  (4 – x2) x ( Answer D ) Home Next Back Hal.: 112 INTEGRAL

Penggunaan Integral Latihan Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan …. A B C D E Soal 2. 4,5 satuan luas 6 satuan luas 7,5 satuan luas 9 1/3 satuan luas 10 2/3 satuan luas X Y Home Back Next Hal.: 113 INTEGRAL

Integral Applying Exercises The area width in the shaded-in picture below is equal to …. A B C D E Term 2. 4,5 in width unit 6 in width unit 7,5 in width unit 9 1/3 s in width unit 10 2/3 in width unit X Y Home Back Next Hal.: 114 INTEGRAL

Penggunaan Integral Latihan Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan …. A B C D E Soal 2. 4,5 satuan luas 6 satuan luas 7,5 satuan luas 9 1/3 satuan luas 10 2/3 satuan luas X Y Jawaban Anda Benar  L  (4 – x2) x L   (4 – x2) x L = lim  (4 – x2) x ( Jawaban E ) Home Next Back Hal.: 115 INTEGRAL

Integral Applying Exercises The area width in the shaded-in picture below is equal to…. A B C D E Term 2. 4,5 In width unit 6 In width unit 7,5 In width unit 9 1/3 In width unit 10 2/3 In width unit X Y Your answer is correct  L  (4 – x2) x L   (4 – x2) x L = lim  (4 – x2) x ( Answer E ) Home Next Back Hal.: 116 INTEGRAL

Penggunaan Integral Latihan Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan …. A B C D E Soal 2. 4,5 satuan luas 6 satuan luas 7,5 satuan luas 9 1/3 satuan luas 10 2/3 satuan luas X Y 2 -2 x x Jawaban Anda Salah  L  (4 – x2) x L   (4 – x2) x L = lim  (4 – x2) x ( Jawaban E ) Home Next Back Hal.: 117 INTEGRAL

Integral Applying Exercises The area width in the shaded-in picture below is equal to…. A B C D E Term 2. 4,5 in width unit 6 in width unit 7,5 in width unit 9 1/3 in width unit 10 2/3 in width unit X Y 2 -2 x x Your answer is wrong  L  (4 – x2) x L   (4 – x2) x L = lim  (4 – x2) x ( Answer E ) Home Next Back Hal.: 118 INTEGRAL

Penggunaan Integral Latihan Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan …. A B C D E Soal 3. 5 satuan luas 7 2/3 satuan luas 8 satuan luas 9 1/3 satuan luas 10 1/3 satuan luas X Y Home Back Next Hal.: 119 INTEGRAL

Integral Applying Exercises The area width in the shaded-in picture below is equal to…. A B C D E Term 3. 5 in width unit 7 2/3 in width unit 8 in width unit 9 1/3 in width unit 10 1/3 in width unit X Y Home Back Next Hal.: 120 INTEGRAL

Penggunaan Integral Latihan Soal 3. Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan …. X Y 2 A 5 satuan luas D 9 1/3 satuan luas B 7 2/3 satuan luas E 10 1/3 satuan luas C 8 satuan luas Jawaban Anda Benar  L  (8 – x2 -2x) x ( Jawaban D ) Home Next Back Hal.: 121 INTEGRAL

Integral Applying Exercises Term 3. The area width in the shaded-in picture below is equal to…. X Y 2 A 5 in width unit D 9 1/3 in width unit B 7 2/3 in width unit E 10 1/3 in width unit C 8 in width unit Your answer is correct  L  (8 – x2 -2x) x ( answer D ) Home Next Back Hal.: 122 INTEGRAL

Penggunaan Integral Latihan Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan …. A B C D E Soal 3. 5 satuan luas 7 2/3 satuan luas 8 satuan luas 9 1/3 satuan luas 10 1/3 satuan luas X Y 2 Jawaban Anda Salah  L  (8 – x2 -2x) x ( Jawaban D ) Home Next Back Hal.: 123 INTEGRAL

Integral Applying Exercises The area width in the shaded-in picture below is equal to…. A B C D E Term 3. 5 in width unit 7 2/3 in width unit 8 in width unit 9 1/3 in width unit 10 1/3 in width unit X Y 2 Your answer is wrong  L  (8 – x2 -2x) x ( Answer is D ) Home Next Back Hal.: 124 INTEGRAL

Penggunaan Integral Latihan Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y2 dan garis x + y = 2 adalah …. A B C D E Soal 4. 2,5 satuan luas 4,5 satuan luas 6 satuan luas 10 2/3 satuan luas 20 5/6 satuan luas Home Back Next Hal.: 125 INTEGRAL

Integral Applying Exercises The area width that is limited by curve x = y2 and line x + y = 2 is…. A B C D E Term 4. 2,5 in width unit 4,5 in width unit 6 in width unit 10 2/3 in width unit 20 5/6 in width unit Home Back Next Hal.: 126 INTEGRAL

Penggunaan Integral Latihan Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y2 dan garis x + y = 2 adalah …. A B C D E Soal 4. 2,5 satuan luas 4,5 satuan luas 6 satuan luas 10 2/3 satuan luas 20 5/6 satuan luas X Y -2 1 Jawaban Anda Benar ( Jawaban B )  L  [(2 – y ) – y2 ] y Home Next Back Hal.: 127 INTEGRAL

Integral Applying Exercises The area width that is limited by curve x = y2 and line x + y = 2 is…. A B C D E Soal 4. 2,5 in width unit 4,5 in width unit 6 in width unit 10 2/3 in with unit 20 5/6 in width unit X Y -2 1 Your answer is correct ( asnwer is B )  L  [(2 – y ) – y2 ] y Home Next Back Hal.: 128 INTEGRAL

Penggunaan Integral Latihan Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y2 dan garis x + y = 2 adalah …. A B C D E Soal 4. 2,5 satuan luas 4,5 satuan luas 6 satuan luas 10 2/3 satuan luas 20 5/6 satuan luas X Y -2 1 Jawaban Anda Salah ( Jawaban B )  L  [(2 – y ) – y2 ] y Home Next Back Hal.: 129 INTEGRAL

Integral Applying Exercises The area width that is limited by curve x = y2 and line x + y = 2 is…. A B C D E Term 4. 2,5 in width unit 4,5 in width unit 6 in width unit 10 2/3 in width unit 20 5/6 in width unit X Y -2 1 Your answer is wrong ( answer is B )  L  [(2 – y ) – y2 ] y Home Next Back Hal.: 130 INTEGRAL

Penggunaan Integral Latihan Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu Y sebesar 360. Jika digunakan metode kulit tabung, maka bentuk integral yang menyatakan volume benda putar tersebut adalah .... A B C D E Soal 5. X Y 4 2 Home Back Next Hal.: 131 INTEGRAL

Integral Applying Exercises The shaded-in area in the picture below is rotated around the axisY at 360. If it is applied by tube shell, then the integral form which states the volume of that rotated object is.... A B C D E Term 5. X Y 4 2 Home Back Next Hal.: 132 INTEGRAL

Penggunaan Integral Latihan Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu Y sebesar 360. Jika digunakan metode kulit tabung, maka bentuk integral yang menyatakan volume benda putar tersebut adalah .... A B C D E Soal 5. X Y 4 2 Jawaban Anda Benar ( Jawaban D )  V  2xx x Home Next Back Hal.: 133 INTEGRAL

Integral Applying Exercises The shaded-in area in the picture below is rotated around the axis Y at 360. If it is applied by method of tube shell, then the integral form which states the volume of rotated object is.... A B C D E Term 5. X Y 4 2 Your answer is correct ( answer is D )  V  2xx x Home Next Back Hal.: 134 INTEGRAL

Penggunaan Integral Latihan Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu Y sebesar 360. Jika digunakan metode kulit tabung, maka bentuk integral yang menyatakan volume benda putar tersebut adalah .... A B C D E Soal 5. X Y 4 2 x Jawaban Anda Salah ( Jawaban D )  V  2xx x Home Next Back Hal.: 135 INTEGRAL

Integral Applying Exercises The shaded-in area in the picture below is rotated around the axis Y at 360. If it is applied method of tube shell, then the integral form which states the volume of that rotated object is.... A B C D E Term 5. X Y 4 2 x Your answer is wrong ( answer is D )  V  2xx x Home Next Back Hal.: 136 INTEGRAL

Penggunaan Integral Latihan Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu X sebesar 360. Volume benda putar yang terjadi adalah …. A B C D E Soal 6. 4 satuan volum 6 satuan volum 8 satuan volum 12 satuan volum 15 satuan volum X Y 4 2 Home Back Next Hal.: 137 INTEGRAL

Integral Applying Exercises The shaded-in area in the picture below is rotated around the axis X at 360. So the volume of rotated object is…. A B C D E Term 6. 4 in volume unit 6 in volume unit 8 in volume unit 12 in volume unit 15 in volume unit X Y 4 2 Home Back Next Hal.: 138 INTEGRAL

Penggunaan Integral Latihan Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu X sebesar 360. Volume benda putar yang terjadi adalah …. A B C D E Soal 6. 4 satuan volum 6 satuan volum 8 satuan volum 12 satuan volum 15 satuan volum X Y 4 2 Jawaban Anda Benar ( Jawaban C )  V  (x)2 x Home Back Next Hal.: 139 INTEGRAL

Integral Applying Exercises The shaded-in area in the picture below is rotated around the axis X at 360. The volume of rotated object is…. A B C D E Term 6. 4 in volume unit 6 in volume unit 8 in volume unit 12 in volume unit 15 in volume unit X Y 4 2 Your answer is corret ( the answer is C )  V  (x)2 x Home Back Next Hal.: 140 INTEGRAL

Penggunaan Integral Latihan Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu X sebesar 360. Volume benda putar yang terjadi adalah …. A B C D E Soal 6. 4 satuan volum 6 satuan volum 8 satuan volum 12 satuan volum 15 satuan volum X Y 4 2 x Jawaban Anda Salah ( Jawaban C )  V  (x)2 x Home Back Next Hal.: 141 INTEGRAL

Integral Applying Exercises The shaded-in area in the picture below is rotated around the axis X at 360. So the Volume of rotated object is…. A B C D E Term 6. 4 in volume unit 6 in volume unit 8 in volume unit 12 in volume unit 15 in volume unit X Y 4 2 x Your answer is wrong ( the answer is C )  V  (x)2 x Home Back Next Hal.: 142 INTEGRAL

Media Presentasi Pembelajaran Penggunaan Integral Selesai Terima Kasih Hal.: 143 INTEGRAL

THE END THANK YOU Hal.: 144 INTEGRAL