PERSAMAAN DIFERENSIAL Definisinya : Suatu persamaan yang mempunyai satu atau lebih turunan dari sebuah fungsi yang tidak diketahui. Persamaan Umum: Persamaan Homogen Linear Persamaan diferensial linear orde ke –n dimana n≥2

Bentuk notasi operator: Persamaan Linear Orde ke-2 Bentuk rumusannya: Dua asumsi penyederhanaan: 1. dan = konstanta k(x) identik dengan nol

Solusi dari persamaan diatas: Persamaan diferensial homogen linear orde ke dua Solusi dari persamaan diatas: Persamaan Pelengkap dimana merupakan solusi Persamaan dalam bentuk operator: …………….(1)

Persamaan diatas akan nol apabila: ……………(2) Persamaan(2) disebut persamaan pelengkap Teorema A Akar-akar Real yang Berbeda Solusi Umumnya:

Teorema B Akar Tunggal Berulang Solusi Umumnya: Teorema C Akar-Akar Gabungan Kompleks Akar gabungan kompleks= (α±β) Persamaan dengan Orde yang Lebih Tinggi Akar-akar persamaan pelengkap

Solusi umum: Contoh: Contoh Soal: Tentukan solusi umum untuk: Penyelesaian:

Persamaan pelengkap: dengan akar-akar 2i,-2i,1 dan -1 maka solusi umumnya Persamaan Tak Homogen Rumusan persamaan linear tak homogen umum: Penyelesaian Umum: Solusi umum

Solusi khusus yp untuk tak homogen Solusi Total Penyelesaian persamaan diatas mengunakan 2 metode: Metode Koefisien Tak Tentu Metode Variasi Parameter Definisi : Solusi khusus didapat dengan menduga bentuk yp jika bentuk k(x) diketahui. Bentuk k(x) polinomial, eksponensial , sinus dan cosinus

Jika k(x)= Cobalah yp = bmxm+….+b1x+b0 Bmxm+…..+B1x+B0 beαx Beαx b cos βx +c sin βx B cos βx + C sin βx Modifikasi: Jika sebuah suku di dalam fungsi k(x) merupakan solusi untuk persamaan homogen, kalikan solusi coba-coba tersebut dengan x ( atau pangkat x yang lebih tinggi ) Ilustrasi tabel diatas :

2. 3. 4. 5. 6. Contoh soal : Selesaikan Penyelesaian: Persamaan pelengkap mempunyai akar-akar -2 dan 1 Solusi Umum

Solusi khusus : Substitusi persamaan ini ke persamaan diferensial diatas hasilnya : Solusi Metode Variasi Parameter Solusi khusus untuk persamaan tak homogen :

dimana : Contoh soal: Tentukan Solusi untuk Peny elesaian: Solusi umum: Solusi khusus : dimana:

Didapat: dan maka Jadi : Aplikasi Persamaan Orde Kedua Tinjau rangkaian listrik pada gambar di bawah ini dengan sebuah resistor, induktor dan capasitor.

Hukum kirchhoff dalam muatan Q (Coulomb) ……..(1) Arus diukur dalam Amper , dan per(1) di Deferensialkan terhadap t yaitu:

Contoh : Tentukan muatan Q dan arus I sebagai fungsi-fungsi dari waktu t di dalam sebuah rangkaian RLC jika R=16 Ώ, L = 0,02 H, C = 2 x 10-4 F dan E = 12 V. Asumsikan Q =0 dan I = 0 di t=0 (ketika saklar tertutup) Peny: Berdasarkan hukum kirchhoff dalam rumus (1) …….(1)

Pers pelengkap: maka: solusi khusus dari persamaan tak homogen

maka: Solusi umumnya : Syarat awal Q=0 dan I=0 pada saat t=0 maka : C1= -2,4x10-3 I = dQ/dt C2= -3,2x10-3 maka:

I=dQ/dt maka :

Pembahasan soal-soal : Selesaikan persamaan diferensial dengan koefisien tak tentu berikut ini: pada x=0 pada x=π/3 ketika x =0 Selesaikan PD berikut dengan variasi parameter: 5. 6. Tentukan muatan Q pada kapasitornya sebagai fungsi waktu jika S adalah rangkaian tertutup pada waktu t=0. Dimana E=1V, R=106Ω, C=10-6F. Asumsikan kapasitor tersebut awalnya belum bermuatan.