Menerapkan Persamaan & Pertidaksamaan Kuadrat by Gisoesilo Abudi

Hubungan antara Koefisien PK dengan Sifat Akar Misalkan x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0. Jika kedua akarnya sama (x1 = x2), maka : ⇔ D = 0 ⇔ b2 – 4ac = 0 ⇔ b2 = 4ac Jika kedua akarnya berlawanan (x1 = -x2 ), maka : ⇔ x1 + x2 = - b/a ⇔ -x2 + x2 = - b/a ⇔ 0 = - b/a ⇔ b = 0

Hubungan antara Koefisien PK dengan Sifat Akar Jika kedua akarnya berkebalikan (x1 = 1/x2), maka : ⇔ x1 . x2 = c/a ⇔ 1/x2 . x2 = c/a ⇔ 1 = c/a ⇔ c = a Kesimpulan : Akar-akarnya kembar jika dan hanya jika b2 = 4ac Akar-akarnya berlawanan jika dan hanya jika b = 0 Akar-akarnya berkebalikan jika dan hanya jika c = a

Menyusun PK yang diketahui Akar-akarnya Misalkan : Menggunakan Perkalian Faktor Jika diketahui x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat, maka : (x – x1)(x - x2) = 0 Contoh Dengan menggunakan perkalian faktor, susunlah PK yang akar-akarnya : -2 dan 3 c. 1/3 dan – 1/5 -7 dan 0 d. (5 - √3)(5 + √3)

Penyelesaian -2 dan 3 ⇔ x1 = -2 dan x2 = 3 ⇔ (x – (-2)(x – 3) = 0 Jadi PK : x2 – x – 6 = 0 Untuk lebih jelas Anda coba untuk mencari penyelesaian contoh b, c, dan d.

Menyusun PK yang diketahui Akar-akarnya Misalkan : Menggunakan Rumus jumlah dan hasil kali akar-akarnya. Jika diketahui x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat, maka : X2 - (x1 + x2)x + (x1.x2) = 0 Contoh Dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akarnya, susunlah PK yang akar-akarnya : -2 dan 3 c. 1/3 dan – 1/5 -7 dan 0 d. (5 - √3)(5 + √3)

Penyelesaian -2 dan 3 Persamaan kuadratnya : ⇔ x2 – (-2 + 3)x + (-2)(3) = 0 ⇔ x2 – x – 6 = 0 Jadi PK : x2 – x – 6 = 0 Untuk lebih jelas Anda coba untuk mencari penyelesaian contoh b, c, dan d.

Menyusun PK Berdasarkan Akar-akar PK lain Kita dapat menyusun PK, jika akar-akarnya diketahui mempunyai hubungan dengan PK lain. Contoh 1 Susunlah PK yang akar-akarnya lima lebihnya dari akar-akar PK x2 – 8x + 2 = 0 !

Penyelesaian. x2 – 8x + 2 = 0 ⇔ a = 1, b = -8, dan c = 2 Misalkan akar-akar PK : x2 – 8x + 2 = 0 adalah x1 dan x2 Maka : x1 + x2 = - b/a = - (-8/1) = 8 x1 . x2 = c/a = 2/1 = 2 Misalkan akar-akar PK baru yang akan dicari adalah α dan β, maka : α = x1 + 5 dan β = x2 + 5, sehingga α + β = (x1 + 5) + (x2 + 5) = (x1 + x2) + 10 = 8 + 10 = 18 ⇔ x2 – (α + β)x + (α.β) = 0 ⇔ x2 – (18)x + (67) = 0 ⇔ x2 – 18x + 67 = 0 α . β = (x1 + 5) . (x2 + 5) = x1.x2 + 5x1 +5x2 + 5.5 = x1.x2 + 5(x1+x2) + 25 = 2 + 5 . 8 + 25 = 67

Contoh 2 Akar-akar PK x2 – 4x + 5 = 0 adalah p dan q. Susunlah PK baru jika akar-akarnya (p + 2) dan (q + 2) ! Penyelesaian Jika α dan β merupakan akar-akar persamaan baru, maka : α = p + 2 ⇔ p = α – 2 β = q + 2 ⇔ q = β – 2 Karena p merupakan salah satu akar persamaan x2 – 4x + 5 = 0, maka : ⇔ (α – 2)2 – 4(α – 2) + 5 = 0 ⇔ (α2 – 4α + 4) – 4α + 8 + 5 = 0 ⇔ α2 – 4α + 4 – 4α + 13 = 0 ⇔ α2 – 8α + 17 = 0, ⇔ ( α = x), maka x2 – 8x + 17 = 0

Persamaan kuadrat baru Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0, mempunyai akar-akar x1 dan x2, maka : Akar-akar baru Persamaan kuadrat baru x1 + m dan x2 + m a(x – m)2 + b(x – m) + c = 0 x1 – m dan x2 – m a(x + m)2 + b(x + m) + c = 0 mx1 dan mx2 a(mx)2 + b(mx) + c = 0

Aplikasi Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat Contoh Sejumlah siswa akan patungan untuk membeli alat praktek seharga Rp612.000,00. Setelah masing-masing membayar dengan jumlah yang sama, ada 3 temannya yang ingin bergabung. Jika ketiga orang itu ikut bergabung, maka masing-masing akan membayar Rp34.000,00 kurangnya dari yang telah mereka bayar. Tentukan jumlah siswa yang berencana akan membeli alat praktek tersebut !

Penyelesaian Jadi sebelum 3 teman bergabung ada 6 siswa yg patungan Misal jumlah siswa : x Masing-masing siswa membayar sebesar : (612.000 : x) Setelah 3 temannya masuk, maka {612.000 : (x + 3)} Selisih pembayaran = pembayaran mula-mula – pembayaran setelah 3 temannya bergabung. sehi sehingga ⇔ x(x + 3) = 18(x + 3) – 18x ⇔ x2 + 3x = 18x + 54 – 18x ⇔ x2 + 3x - 54 = 0 ⇔ (x + 9)(x – 6) = 0 ⇔ x = -9 atau x = 6 Jadi sebelum 3 teman bergabung ada 6 siswa yg patungan