PERTEMUAN 4-5 PROGRAM LINEAR Teknik Riset Operasional PERTEMUAN 4-5 PROGRAM LINEAR OLEH Ir. Indrawani Sinoem, MS. Indrawani Sinoem/TRO/SI/07

Indrawani Sinoem/TRO/SI/07 Teknik Riset Operasional Pengertian 1. Nasendi dan Anwar Program Linear : kelompok teknik analisis kuantitatif yg tergabung dlm TRO yang mengandalkan model-model matematika sebagai wadahnya. Indrawani Sinoem/TRO/SI/07

Indrawani Sinoem/TRO/SI/07 Teknik Riset Operasional 2. Mulyono (1984) Program Linear merupakan salah satu TRO yg digunakan paling luas dan diketahui dgn baik yg merupa- kan metode matematika dlm peng- alokasian sumberdaya yg langka untuk mencapai suatu tujuan (me- maksimumkan keuntungan atau meminimumkan biaya). Indrawani Sinoem/TRO/SI/07

Indrawani Sinoem/TRO/SI/07 3. Thaha (1996) Program Linear : salah satu alat TRO yg paling efektif dlm menjabar kan berbagai situasi kehidupan nyata di bidang meliter, industri, pertanian, transportasi, ekonomi, kesehatan, ilmu-ilmu sosial dan perilaku. Indrawani Sinoem/TRO/SI/07

Indrawani Sinoem/TRO/SI/07 Kesimpulan : Program Linear adalah salah satu teknik analisis kuantitatif yg tergabung dalam TRO yg mengandal-kan model-model matematika atau model-model simbolik untuk pemecah-an masalah pengalokasian sumber-sumber yg terabatas secara optimal. Indrawani Sinoem/TRO/SI/07

Indrawani Sinoem/TRO/SI/07 MODEL PROGRAM LINEAR Model Program Linear tersusun oleh 2 (dua) macam fungsi : 1. Fungsi Tujuan (Objective Function) Fungsi yg menggambarkan tujuan atau sasaran di dlm permasalahan program linear yg berkaitan dgn pengaturan secara optimum SD utk mencapai laba maks/biaya min. Indrawani Sinoem/TRO/SI/07

Indrawani Sinoem/TRO/SI/07 2. Fungsi Kendala/Pembatas Btk penyajian secara matematika batasan-batasan atau kendala- kendala kapasitas yang tersedia, dialokasikan secara optimal ke- berbagai kegiata. Indrawani Sinoem/TRO/SI/07

Indrawani Sinoem/TRO/SI/07 Model Matematika 1. Fungsi Tujuan : Maksimumkan/Minimumkan Z = C1X1+C2X2+ . . . . +CnXn 2. Fungsi Pembatas : a11X11 + a12X12+ . . . +a1nXn ≤ atau ≥ b1 a21X21 + a22X22+ . . . +a2nXn ≤ atau ≥ b2 . . . . am1X21 + am2X22+ . . . +amnXn ≤ atau ≥ bm Syarat Non Negatif : X1,X2, . . . , Xn ≥ 0 Indrawani Sinoem/TRO/SI/07

Penggunaan Sumberdaya Tabel Model Standar Program Linear. Sumberdaya Penggunaan Sumberdaya Kapasitas Sumberdaya 1 2 3 .…… n 1 a11 a12 a13 …… a1n b1 2 a21 a22 a23 a2n b2 .. m am1 am2 am3 bm Penambahan Per unit C1 C2 C3 ….. Cn Maksimumkan/ Var. Kegiatan X1 X2 X3 Xn Minimumkan Indrawani Sinoem/TRO/SI/07

Indrawani Sinoem/TRO/SI/07 Asumsi-asumsi Dasar 1. Linearitas Fungsi tujuan dan semua fungsi pembatas harus linear, artinya per- bandingan antara input yang satu dgn input lainnya atau input dgn output besarnya tetap dan terlepas tidak tergantung pada tingkat pro- duksi. Indrawani Sinoem/TRO/SI/07

Indrawani Sinoem/TRO/SI/07 2. Proporsionalitas Jika peubah pengambil keputusan Xij berubah maka dampak perubah- an akan menyebar dalam proporsi yg sama terhadap fungsi tujuan CjXij dan juga pd fungsi pembatas aijXij. Misal : jika Xij naik 2 kali lipat maka secara proporsi aijXij nya juga akan naik dua kali lipat. Indrawani Sinoem/TRO/SI/07

Indrawani Sinoem/TRO/SI/07 3. Aditivitas Nilai parameter (koefisien peubah pengambil keputusan dalam fungsi tujuan) merupakan jumlah nilai- nilai individu-individu Cj dlm model program linear. 4. Divisibilitas Peubah-peubah pengambil keputus- an Xij jika diperlukan dapat berupa Indrawani Sinoem/TRO/SI/07

Indrawani Sinoem/TRO/SI/07 bilangan pecahan (tidak perlu bil pecahan) 5. Deterministik Semua parameter yg terdapat dlm model program linear (Cj, aij, dan bj) tetap dan diketahui dgn pasti. Indrawani Sinoem/TRO/SI/07

Indrawani Sinoem/TRO/SI/07 Contoh Persoalan Program Linear. 1. Perusahan konveksi “Maju” membuat dua produk, yaitu celana dan baju. Produk tersebut harus diproses me- lalui dua unit pemrosesan, yaitu pe- motongan bahan dan penjahitan ba- han. Pemotongan bahan memper- syaratkan kapasitas waktu 60 jam kerja. Indrawani Sinoem/TRO/SI/07

Indrawani Sinoem/TRO/SI/07 Sedangkan fungsi penjahitan hanya 48 jam kerja. Untuk menghasilkan satu celana dibutuhkan 4 jam kerja pemotongan bahan dan 2 jam kerja penjahitan. Sementara utk meng- hasilkan satu baju dibutuhkan 2 jam kerja pemotongan bahan dan 4 jam kerja penjahitan. Laba tiap celana Rp 8.000.- dan tiap baju Rp 6.000.- Indrawani Sinoem/TRO/SI/07

Indrawani Sinoem/TRO/SI/07 Pertanyaan : Perusahaan yg bersangkutan ingin menentukan kombinasi terbaik dari celana dan baju yg hrs diproduksi dan dijual guna mencapai laba maksimum ! Indrawani Sinoem/TRO/SI/07

Indrawani Sinoem/TRO/SI/07 Merumuskan Model 1. Tabel Persoalan. Sumberdaya Celana (X1) Baju (X2) Kapasitas 1. Pemotongan Bahan 4 2 60 2. Penjahitan 48 Laba/unit 8.000 6.000 Maksimumkan Indrawani Sinoem/TRO/SI/07

Indrawani Sinoem/TRO/SI/07 Model Program Linear 1. Fungsi Tujuan Maksimumkan Z = 8 X1 + 6 X2 (Dlm Rp 1.000) 2. Fungsi Pembatas 2.1. P-Bahan : 4X1+2X2 ≤ 60 2.2. Penjahitan : 2X1+4X2 ≤ 48 X1,X2 ≥ 0 Indrawani Sinoem/TRO/SI/07

Indrawani Sinoem/TRO/SI/07 2. Sebuah perusahaan “X” ingin me- nentukan berapa banyak masing- masing dari 3 (tiga) produk yang berbeda yang akan dihasilkan dgn tersedianya sumberdaya yang ter- batas agar diperoleh keuntungan maksimum. Kebutuhan buruh, bahan mentah, dan sumbangan ke- untungan masing-masing produk Indrawani Sinoem/TRO/SI/07

Tersedia 240 jam kerja buruh dan bhn mentah adalah sebagai berikut : Tersedia 240 jam kerja buruh dan bhn mentah sebanyak 400 kg. Berapa masing-masing produk harus dihasilkan agar perusahaan “X” memperoleh keuntungan maksimum ? Jenis Produk Kebutuhan Sumberdaya Buruh (Jam/unit) Bahan (kg/unit) Keuntungan (Rp/unit) 1 5 4 3.000 2 2 6 5.000 3 4 3 2.000 Indrawani Sinoem/TRO/SI/07

Bahan Mentah (kg/unit) 1. Tabel Persoalan Sumberdaya Kebutuhan Sumberdaya Produk-1 Produk-2 Produk-3 Kapasitas Buruh (Jam/unit) 5 2 4 240 Bahan Mentah (kg/unit) 4 6 3 400 Keuntungan/unit 3.000 5.000 2.000 Maksimumkan Indrawani Sinoem/TRO/SI/07

Indrawani Sinoem/TRO/SI/07 2. Model Program Linear. Fungsi Tujuan : Maksimumkan Z = 3000X1 + 5000X2 + 2000X3 Fungsi Pembatas : - Buruh : 5X1 + 2X2 + 4X3 ≤ 240 - Bahan : 4X1 + 6X2 + 3X3 ≤ 400 X1, X2, X3 ≥ 0 Indrawani Sinoem/TRO/SI/07

Indrawani Sinoem/TRO/SI/07 Contoh-3 Untuk menjaga kesehatan, seseorang harus memenuhi kebutuhan minimum per hari akan beberapa zat makanan. Misalkan hanya 3 (tiga) zat makanan yang dibutuhkan, yaitu : kalsium, protein, vitamin A. Makanan se-seorang hanya terdiri dari 3 (tiga) jenis, yaitu : I, II, III yang harga, zat yang terkandung, kebutuhan min per hari ditunjukkan pada Tabel berikut. Indrawani Sinoem/TRO/SI/07

Indrawani Sinoem/TRO/SI/07 Tabel Kandungan zat pada jenis tiap makanan dan kebutuhan minimum. Kandungan Zat Makanan I II III Kebutuhan Minimum Kalsium 5 1 0 8 Protein 2 2 1 10 Vitamin A 1 5 4 22 Harga/unit 0,5 0,8 0,6 Minimumkan Peubah Kegiatan X1 X2 X3 Indrawani Sinoem/TRO/SI/07

Indrawani Sinoem/TRO/SI/07 Pertanyaan : Berapakah jumlah makanan I, II, III yang harus dihasilkan dengan total biaya yang dikeluarkan minimum ? Model Program Linear 1. Fungsi Tujuan : Minimumkan Z = 0,5 X1 + 0,8 X2 + 0,6 X3 Indrawani Sinoem/TRO/SI/07

Indrawani Sinoem/TRO/SI/07 2. Fungsi Pembatas 2.1. Kalsium : 5X1 + X2 ≥ 8 2.2. Protein : 2X1 +2X2 + X3 ≥ 10 2.3. Vit. A : X1 +5X2 +4X3 ≥ 22 X1, X2, X3 ≥ 0 Indrawani Sinoem/TRO/SI/07

Pemecahan Persoalan PL 1. Metode Aljabar : substitusi antar persamaan linear pada fungsi. 2. Metode Grafik : dengan menggam- bar garis masing-masing fungsi pembatas dan fungsi tujuan pada grafik dua dimensi. Indrawani Sinoem/TRO/SI/07

Indrawani Sinoem/TRO/SI/07 3. Metode Simpleks : metode peme- cahan (analisis) persoalan program linear dengan algoritma simpleks. Untuk persoalan program linear dengan variabel lebih dari 2 (dua) akan lebih baik dan tepat dengan menggunakan metode simpleks. Indrawani Sinoem/TRO/SI/07