OPTIMASI MULTIVARIAT DENGAN KENDALA PERSAMAAN Oleh : Hafidh Munawir

BENTUK-BENTUK FUNGSI MULTIVARIAT DARI SEGI BENTUK GRAFIK I. Fungsi Linier : Y = ao + a1X1 + a2X2 Contoh: Y = 50 + 0,50 X1 + 0,60 X2 II. Bentuk Non- Linier: 2.1. Fungsi Kuadrat : Y = 12X1 + 18X2 - 2X12 - X1.X2 – 2X22 2.2. Fungsi Eksponen : Y = ao.a1X1.a2X2 Y = 5. 0,8X1. 0,4X2

Y = ao.X1a1.X2a2 .eb1X1.eb2X2 Y = 50.X10,7.X20,4. e 0,6X1.e.0,5X2 Lanjutan: 2.3. Fungsi Pangkat : Y = ao.X1a1.X2a2 Contoh: Y = 50.X10,7.X20,4 2.4. Fungsi Transedental : Y = ao.X1a1.X2a2 .eb1X1.eb2X2 Y = 50.X10,7.X20,4. e 0,6X1.e.0,5X2

BENTUK-BENTUK FUNGSI DARI SEGI KENDALA Fungsi Tak Berkendala Fungsi Berkendala

PENGERTIAN FUNGSI TAK BERKENDALA Contoh : Fungsi Keuntungan : π = Keuntungan Q1 = Output Q1 Q2 = Output Q2

Dari fungsi ini : Variabel Q1 dan Q2 independen (tidak saling tergantung) Besaran Q1 dan Q2 tidak ada pembatas Titik optimum fungsi adalah titik ”Optimum Bebas”

Titik optimum bebasnya dicapai diwaktu π’ = 0

Substitusi (1) & (2), didapat :

PENGERTIAN FUNGSI BERKENDALA Q1 + Q2 = 950 …Pers.pembatas Perusahaan memproduksi 2 macam produksi (Q1&Q2) dengan tujuan memaksimumkan keuntungan; ……… Fungsi Tujuan

Lanjutan: Masalah yang dihadapi adalah terbatasnya modal, sehingga jumlah produksi dibatasi (kuota produksi) 950 satuan. Jika jumlah produksi dibatasi (kuota produksi = 950 satuan), berapa jumlah Q1 dan Q2 untuk mencapai keuntungan maksimum....?

Lanjutan: Keuntungan Maksimum tersebut disebut ‘Titik Optimum Terkendala” atau “Maksimum Terkendala” Salah satu Cara menentukan titik optimum terkendala yaitu dengan Metode pengali Lagrange (Lagrange Multipliers)

Persamaan lagrange Persamaan dengan kendala U = f (x, y)………Fungsi Tujuan ax + by = c…...Pers.Kendala. Persamaan fungsi diatas kemudian diubah menjadi persamaan lagrange Persamaan Lagrange: Z = f(x,y) + λ (c – ax – by)

Langkah2 metode lagrange Membentuk persamaan kendala menjadi persamaan lagrange Mencari turunan pertama untuk semua variabel : Zx = 0, Zy = 0, dan Zλ = 0 Eliminasikan persamaan turunan pertama diatas sehingga mendapatkan nilai x0, y0, dan λ0 Menentukan nilai kritis dengan masukkan nilai x0, y0, λ0 ke dalam persamaan awal f(x,y) atau persamaan lagrange Menentukan apakah nilai kritis maks/min/saddle point Jika Zxx > 0, Zyy > 0, dan D > 0  minimum Jika Zxx < 0, Zyy < 0, dan D > 0 maksimum Jika D < 0  titik pelana (saddle point)

Contoh Soal : Diketahui Fungsi Tujuan (Fungsi Biaya): C = 6x2 + 3y2 Dengan Kendala: x + y = 18 Tentukan : Nilai x*, y* yang Meminimisasi Biaya, dan Besarnya Biaya Minimum C*; Buktikan C* adalah Optimum Minimum.

Jawaban: Fungsi Lagrange: C = 6x2 + 3y2 + λ ( 18 – x – y) Turunan Pertama = 0 dC/ dx = Zx = 12x – λ = 0……….(1) dC/ dy = Zy = 6y - λ = 0…………(2) dC/ d λ = Zλ = 18 –x – y = 0 .....…(3)

MENENTUKAN TITIK KRITIS Eliminasi pers (1) dan (2); persamaan (3) dan (4): (1) Zx=0=12x-λ (2) Zy=0=6y-λ Jadi : 12x-6y=0 ..............(4) (3) 18 - x -y = 0 x 6  108 – 6x – 6y = 0 (4) 12x-6y = 0 x 1  12x – 6y = 0 Jadi : 108-18x = 0 x = 6 ; y = 12, λ = 72 f(x,y) = 6x2 + 3y2 = 6*36 + 3*144 = 216+432 = 648 Titik kritis (6,12,648)

Menentukan maks/min/saddle Zxx = 12; Zyy = 6; Zxy = 0; Zyx = 0 D= 12*6 – 0*0 = 72 Karena Zxx > 0, Zyy > 0, dan D > 0  minimum Nilai minimum = 648 Titik kritis/titik minimum = (6,12,648)

Seorang konsumen memiliki fungsi utilitas : Lanjutan: Fungsi Utilitas Contoh Soal : Optimasi Fungsi Multivariat Berkendala: Seorang konsumen memiliki fungsi utilitas : U = Q1 . Q2 + 2 Q1 … Fungsi Tujuan (Fungsi Utilitas) Nilai U adalah positif untuk Semua nilai Q1 dan Q2. Persamaan Kendala (Garis Anggaran): P1.Q1 + P2.Q2 = M........4Q1 + 2Q2 = 60. Tentukan Jumlah Q1 dan Q2 yang memaksimum Utilitas....?

Persamaan Kendala Anggaran (Persamaan Pembatas): Q2 BL: Pers.Kendala (garis Anggaran) Q2* I : Fungsi Tujuan (Fungsi Utilitas tertentu) Q1 Q1*

Metode Pengali Lagrange Menentukan Fungsi Lagrange: U = Q1.Q2 + 2Q1 + λ ( 60 – 4Q1- 2Q2). Turunan Petama Fungsi = 0. dU/dQ1 = f1 = Q2 + 2 – 4 λ = 0 ……(1) dU/dQ2 = f2 = Q1 - 2 λ = 0 ...….(2) dU/d λ = f λ = 60 – 4Q1 – 2Q2 = 0….(3)

Subtitusikan (1) ke (2): Eliminasi pers.(1) dan (2) dengan cara menyamakan λ : (1)....dU/dQ1 = Q2 + 2 – 4 λ = 0 …......( x1) (2)....dU/dQ2 = Q1 - 2 λ = 0 ……...(x2) Jadi : (1)....Q2 + 2 – 4 λ = 0 (2)....2Q1 - 4 λ = 0. jadi: Q2 + 2 – 2Q1 = 0 Q2 = 2Q1 – 2 ……………(a)

Substitusikan (a) ke Persamaan kendala: Substitusikan (a) ke persamaan (3): dU/d λ = 60 – 4Q1 – 2Q2 = 0…….(3) Jadi: 60 – 4Q1 – 2 (2Q1 – 2) = 0 60 – 8Q1 + 4 = 0………Q1* = 8. (3)…....60 – 4(8) – 2Q2 = 0 28 – 2Q2 = 0 ……..Q2* = 14.

II. KOMBINASI INPUT DENGAN BIAYA TERKECIL Formulasi Masalahnya adalah: Meminimisasi biaya: C = P1.X1 + P2.X2………Fungsi Tujuan (Persamaan Biaya Tetrtentu/ Isocost) Dengan Kendala Quota Produksi: Q0 = f ( X1, X2 )…………Pers.Kendala (Fungsi Produksi Tertentu/ Isoquant)

Fungsi Lagrange: C = P1.X1 + P2.X2 + λ [ Qo – f (X1,X2)] Menentukan Turunan Pertama Fungsi: dC/dX1 = f1 = 0 …………..(1) dC/dX2 = f2 = 0 …………..(2) dC/d λ = f3 = 0 ………….(3)

SOAL JAWAB LATIHAN OPTIMASI FUNGSI BERKENDALA 1. Minimisasi biaya dengan kendala output: Diketahui Tungsi tujuan: TC = 4Q12 +5Q22-6Q2; dan persamaan kendala: Q1 + 2Q2 = 18; Tentukan: a.Jumlah Q1 dan Q2 yang meminimum biaya; b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah optimum minimum.

Lanjutan: soal latihan 2. Minimisasi Biaya Kendala Output: Diketahui TC = 6Q12 + 3Q22; dengan kendala : Q1 + Q2 =18; Tentukan: a.Jumlah Q1 dan Q2 yang meminimum biaya; b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah optimum minimum.

Lanjutan: soal latihan 3. Minimisasi Biaya kendala output: Diketahui fungsi tujuan: TC=Q12+2Q22-Q1.Q2; dengan kendala: Q1+Q2=8. Tentukan: a.Jumlah Q1 dan Q2 yang meminimum biaya; b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah optimum minimum.

Lanjutan: Soal latihan 4. Optimum produksi kendala Cost: Diketahui TP=-5X12 +10X1.X2-7X22+40X1; kendala X1+X2=1. Tentukan: a.Jumlah Q1 dan Q2 yang memaksimum TP; b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah optimum maksimum.

Lanjutan: soal latihan 5. Maksimisasi produksi kendala Biaya: Diketahui fungsi tujuan: TP=X12+5X1.X2-4X22, dengan kendala: 2X1+3X2=74. Tentukan: a.Jumlah Q1 dan Q2 yang memaksimum TP; b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah optimum maksimum.

Lanjutan: Soal jawab 6. Maksimimisasi Utilitas Kendala Anggaran: Diketahui fungsi utilitas U=Q1.Q2; dengan kendala: 15Q1+5Q2=150. Tentukan: a.Jumlah Q1 dan Q2 yang memaksimum U; b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah optimum maksimum.

Lanjutan: Soal jawab 7. Maksimisasi Utilitas kendala anggaran: Diketahui fungsi tujuan: U = 4Q1.Q2 – Q22 ; dan Kendala: 2Q1 + 5Q2 = 11. Tentukan : a.Jumlah Q1 dan Q2 yang memaksimum U; b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah optimum maksimum.

Lanjutan: soal latihan 8. Optimasi utilitas kendala anggaran: Diketahui fungsi tujuan: U = 27 + 6Q1.Q2 – 2Q12 – Q22. dengan kendala: Q1+Q2 = 9. Tentukan: a.Jumlah Q1 dan Q2 yang memaksimum Utilitas; b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah optimum maksimum.

Lanjutan: soal latihan 9. Optimasi utilitas kendala anggaran: Diketahui fungsi tujuan :U = 16Q1 + 26Q2 – Q12 – Q22. Kendala: 3Q1 + 4Q2 = 26. Tentukan: a.Jumlah Q1 dan Q2 yang memaksimum Utilitas; b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah optimum maksimum.

10. Optimum Utilitas kendala anggaran: Lanjutan: Soal jawab 10. Optimum Utilitas kendala anggaran: Diketahui fungsi tujuan :U = Q12 +2Q22 +5Q1.Q2. Dengan kendala:5Q1 + 10Q2 = 90. Tentukan: Jumlah Q1 dan Q2 yang memaksimum Utilitas; Tentukan U optimum; Buktikan bahwa U Optimum Maksimum.

Lanjutan: soal latihan 11. Optimasi utilitas kendala anggaran: Fungsi Utilitas : U = 4Q1Q2 – Q12 – 3Q22 Fungsi Anggaran : 2Q1 + 3Q2 = 45 Tentukan: a. Q1 dan Q2 yang memaksimumkan utilitas b. Tentukan U optimum,buktikan bahwa U optimum adalah optimum maksimum.

Selamat mengerjakan dan berdiskusi