BAB III LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN
4.4 Limit fungsi trigonometri Bukti Perhatikan Gambar 4.4 berikut!
P Q T r x y Gambar 4.4
Luas OPQ < Sektor OPQ < OPT (*) (**) (***) (****) Substitusi persamaan (**) s/d (****) ke persamaan (*) didapat, Gunakan teorema apit!
(4.16) (4.17) (4.18) Bukti (terbukti) (4.19) Bukti
Bukti Bukti
Bukti Bukti
3.5 Limit fungsi trigonometri invers (4.22) Bukti (4.22) Bukti
(4.22) Bukti
(4.24) Bukti (4.25) Bukti
(4.26) Bukti (4.27) Bukti
Jika kita lakukan pengamatan terhadap 3.6 Limit tak hingga Jika kita lakukan pengamatan terhadap mungkin akan didapat bahwa f(x) membesar atau mengecil tanpa batas. Sebagai ilustrasi dapat dilihat pada Gambar 4.5 berikut. y x 2 Gambar 4.5
x f(x) 2,1 2,01 2,001 2,0001 2,00001 2,000001 10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000 1,9 1,99 1,999 1,9999 1,99999 1,999999 -10 -100 -1000 -10000 -100000 -1000000
Dari tabel diatas dapat dilihat bahwa pada saat x mendekati titik 2 dari arah kanan maka f(x) membesar tanpa batas (menuju ). Sedangkan pada saat x mendekati 2 dari arah kiri maka f(x) mengecil tanpa batas (menuju –). Selanjutnya dikatakan bahwa limit f(x) untuk x mendekati 2 dari arah kanan adalah atau Sedangkan limit f(x) untuk x mendekati 2 dari arah kiri adalah – Karena limit kiri limit kanan, maka tidak ada (lihat persamaan 4.14)
Untuk memecahkan limit tak hingga perhatikan teorema berikut! Bukti
Jika semua suku dibagi dengan xm maka, Jadi Jika m < n, maka Jika m = n, maka
Jika m > n, maka Contoh 4.11 Penyelesaian