BAB VII INTEGRAL TAK TENTU

7.7. Integrasi fungsi trigonometri invers Bukti dw = du  w = u ∫v dw=vw – ∫w dv Gunakan rumus integral parsial

Contoh 7.19 Penyelesaian

Bukti dw = du  w = u Gunakan rumus integral parsial ∫v dw = vw – ∫w dv

Bukti

Bukti Bukti

Bukti

Bukti

7.8 Integrasi dengan substitusi trigonometri 7.8.1 Integrasi fungsi irrasional Langkah awal untuk menyelesaikan integral fungsi irrasional adalah dengan mengu8bah integran yang berbentuk irrasional menjadi rasional. Biasanya untuk mencapai hal tersebut kita lakukan substitusi trigonometri. Pada pasal ini akan dibahas beberapa fungsi irrasional.

Dari gambar disamping didapat Bukti a x u Dari gambar disamping didapat a sinu = x  a cos u du = dx

Dari gambar disamping didapat (7.17) Bukti x a u Dari gambar disamping didapat a secu = x  a secu tanu du = dx

Dari gambar disamping didapat (7.18) x a u Bukti Dari gambar disamping didapat a tanu = x  a sec2u du = dx

Dari gambar disamping didapat (7.19) Bukti x a u Dari gambar disamping didapat a secu = x  a secu tanu du = dx

Dari gambar disamping didapat (7.20) Bukti a x u Dari gambar disamping didapat a sinu = x  a cos u du = dx

Dari gambar diatas didapat (7.21) Bukti x a u Dari gambar diatas didapat Misal v = sinu  dv = cosu du

Dari gambar disamping didapat Bukti x a u Dari gambar disamping didapat a secu = x  a secu tanu du = dx

7.8.2 Integrasi fungsi yang mempunyai bentuk 1/(x2+a2) Bukti x a u a tanu = x  a sec-1u du = dx

Dari pembahasan yang telah diuraiankan diatas dapat disimpulkan bahwa: a) Jika integran mengandung maka substitusi x = a sinu b) Jika integran mengandung maka substitusi x = a tanu c) Jika integran mengandung maka substitusi x = a secu d) Jika integran mengandung maka substitusi x = a tanu a2 + x2

Jika ax2 +bx+c merupakan faktor terkecil dan d(ax2 +bx+c)  (Ax+B)dx, maka Bukti

Misal, du = dx

Substitusi nilai u, m dan n, didapat,

Contoh 7.20 Penyelesaian A = 1 ; B = -2 ; a = 1 ; b = 2 ; c = 5

7.8.4 Integrasi fungsi irrasional yang sejenis Jika integran hanya memuat bentuk irrasional dari satu jenis fungsi, misalnya f(x), maka kita dapat menggunakan substitusi u = , dimana n adalah kelipatan persekutuan terkecil dari pangkat-pangkat akar. Contoh 7.21 Penyelesaian

7.8.5 Jika adalah satu-satunya bentuk irrasional pada integran Jika adalah satu-satunya bentuk irrasional pada integran, maka kita dapat melakukan substitusi sebagai berikut.

Contoh 7.22 Penyelesaian Misal u = x – 3 → du = dx

7.8.6 Jika adalah satu-satunya bentuk irrasional pada integran Jika adalah satu-satunya bentuk irrasional pada integran, maka lakukan substitusi Contoh 7.23 Penyelesaian