Lingkaran L I N G K A R A N

tayangan ini anda dapat Setelah menyaksikan tayangan ini anda dapat Menentukan persamaan lingkaran yang memenuhi kriteria tertentu

Lingkaran tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tetap. Jarak yang sama itu disebut jari-jari dan titik tetap itu disebut pusat lingkaran

Pusat O(0,0) dan jari-jari r Persamaan Lingkaran Pusat O(0,0) dan jari-jari r r = jari-jari x y O P(x,y) r x x2 + y2 = r2

Pengantar untuk Lingkaran

r P(x,y) x y r P(x,y) x y r P(x,y) x y

Soal 1 Persamaan lingkaran pusatnya di O(0,0) dan jari-jari: r = 5 adalah x2 + y2 = 25 r = 2½ adalah x2 + y2 = 6¼ r = 1,1 adalah x2 + y2 = 1,21 r = √3 adalah x2 + y2 = 3

Soal 2 Persamaan lingkaran pusat O(0,0) dan melalui titik (3,-1) adalah….

Penyelesaian Misal persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan jari-jari r adalah x2 + y2 = r2 melalui (3,-1) → 32 + (-1)2 = r2 r2 = 9 + 1 = 10 Jadi, persamaan lingkarannya adalah x2 + y2 = 10

Soal 3 Pusat dan jari-jari lingkaran: x2 + y2 = 16 adalah… jawab: pusat O(0,0) dan r = 4 b. x2 + y2 = 2¼ adalah… jawab: pusat O(0,0) dan r = 1½ c. x2 + y2 = 5 adalah… jawab: pusat O(0,0) dan r = √5

Soal 4 Persamaan lingkaran yang sepusat dengan lingkaran x2 + y2 = 144 tetapi panjang jari-jarinya setengah dari panjang jari-jari lingkaran tersebut adalah….

Penyelesaian Lingkaran x2 + y2 = 144 pusatnya O(0,0) dan jari-jarinya r = √144 = 12 → ½r = 6 Persamaan lingkaran yang r = 6 adalah x2 + y2 = 62 x2 + y2 = 36

Soal 5 Jika titik (2a, -5) terletak pada lingkaran x2 + y2 = 41 maka nilai a adalah….

Penyelesaian Titik (2a, -5) terletak pada lingkaran x2 + y2 = 41, berarti (2a)2 + (-5)2 = 41 4a2 + 25 = 41 4a2 = 41 – 25 = 16 a = 4 → a = 2 atau a = -2

Soal 6 Persamaan lingkaran yang koordinat ujung-ujung diameternya A(2,-1) dan B(-2,1) adalah….

Penyelesaian Diameter = panjang AB = B(-2,1) diameter A(2,-1)

Diameter = panjang AB = 2√5 Jari-jari = ½ x diameter = ½ x 2√5 = √5

B(-2,1) Pusat A(2,-1) Koordinat pusat = = (0,0)

Jadi, persamaan lingkarang yang jari-jari = √5 dan pusat (0,0) adalah x2 + y2 = (√5)2 x2 + y2 = 5

Contoh 7

Jawab :

(x – a)2 + (y - b)2 = r2 Pusat lingkaran (a,b) , r = jari-jari Persamaan Lingkaran Pusat (a,b) dan jari-jari r y (a, b) b x a (0,0) (x – a)2 + (y - b)2 = r2 Pusat lingkaran (a,b) , r = jari-jari

Soal 1 Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran (x – 3)2 + (y – 7)2 = 9 jawab: pusat di (3,7) dan jari-jari r = √9 = 3 b. (x – 8)2 + (y + 5)2 = 6 jawab: pusat di (8,-5) dan jari- jari r = √6

Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran c. (x + 3)2 + (y – 5)2 = 24 jawab: pusat di (-3,5) dan jari-jari r = √24 = 2√6 d. x2 + (y + 6)2 = ¼ jawab: pusat di (0,-6) dan jari- jari r = √¼ = ½

Soal 2 Penyelesaian: Persamaan lingkaran, pusat di (1,5) dan jari-jarinya 3 adalah …. Penyelesaian: (x – a)2 + (y – b)2 = r2 ▪ Pusat (1,5) → a = 1 dan b = 5 ▪ Jari-jari r = 3 → r2 = 9 Persamaannya (x – 1)2 + (y – 5)2 = 9

Soal 3 Penyelesaian: Persamaan lingkaran, pusat di (-1,0) dan jari-jarinya 3√2 adalah …. Penyelesaian: (x – a)2 + (y – b)2 = r2 ▪ Pusat (-1,0) → a = -1 dan b = 0 ▪ Jari-jari r = 3√2 → r2 = (3√2)2 = 18 Persamaannya: (x + 1)2 + y2 = 18

Soal 4 Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (-2,-7) dan melalui titik (10,2) adalah ….

Penyelesaian: Pusat (-2,-7) → a = -2, b = -7 Jari-jari = r = AP AP = Jadi, persamaan lingkarannya (x + 2)2 + (y + 7)2 = 225 → r2 = 225

Soal 5 Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (4,-3) dan melalui titik pangkal adalah ….

Penyelesaian: Pusat (4,-3) → a = 4, b = -3 Jari-jari = r = OP OP = r = Jadi, persamaan lingkarannya (x - 4)2 + (y + 3)2 = 25 → r2 = 25

Soal 6 Persamaan lingkaran yang berpusat di garis x – y = 1, jari-jari √5 dan melalui titik pangkal adalah ….

Penyelesaian Misal persamaan lingkarannya (x – a)2 + (y – b)2 = r2 ▪ melalui O(0,0) → x = 0, y = 0 dan jari-jari r = √5 → r2 = 5 disubstitusi ke (x – a)2 + (y – b)2 = r2 (0 – a)2 + (0 – b)2 = 5 a2 + b2 = 5 …..(1)

▪ Pusat (a,b) pada garis x – y = 1 a – b = 1 → a = b + 1 disubstitusi ke a2 + b2 = 5 (b + 1)2 + b2 = 5 b2 + 2b + 1 + b2 = 5 2b2 + 2b – 4 = 0 → b2 + b – 2 = 0 (b + 2)(b – 1) = 0 b = -2 atau b = 1

▪ b = -2 → a = b + 1 = -2 + 1 = -1 diperoleh pusatnya (-1,-2), r = √5 Jadi, persamaan lingkarannya (x + 1)2 + (y + 2)2 = 5 ▪ atau b = 1 → a = 1 + 1 = 2 diperoleh pusatnya (2,1), r = √5 (x – 2)2 + (y – 1)2 = 5

Soal 7 Persamaan lingkaran yang berpusat pada perpotongan garis y = x dengan garis x + 2y = 6 melalui titik O(0,0) adalah ….

Penyelesaian ▪ pusat pada perpotongan garis y = x dengan garis x + 2y = 6 substitusi y = x ke x + 2y = 6 x + 2x = 6 3x = 6 → x = 2 x = 2 → y = 2 → pusat (2,2)

▪ jari-jari = jarak pusat (2,2) ke O(0,0) Jadi, persamaan lingkarannya (x – 2)2 + (y – 2)2 = 8 x2 – 4x + 4 + y2 – 4x + 4 = 8 x2 + y2 – 4x – 4y = 0 → persamaan lingkaran dalam bentuk umum → r2 = 8

Persamaan Lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0 Pusat (-½A, -½B) r = dalam bentuk umum x2 + y2 + Ax + By + C = 0 Pusat (-½A, -½B) r =

Soal 1 Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x2 + y2 – 2x – 6y – 15 = 0 jawab: A = -2, B = - 6, C = -15 pusat di (-½A,-½B) → (1, 3) jari-jari r = =

Tentukan pusat lingkaran Soal 2 Tentukan pusat lingkaran 3x2 + 3y2 – 4x + 6y – 12 = 0 jawab: x2 + y2 – x + 2y – 4 = 0 Pusat (-½( – ), -½.2) Pusat( , – 1)

Soal 3 Jika titik (-5,k) terletak pada lingkaran x2 + y2 + 2x – 5y – 21 = 0 maka nilai k adalah…

Penyelesaian (-5,k) terletak pada lingkaran x2 + y2 + 2x – 5y – 21 = 0  (-5)2 + k2 +2(-5) – 5k – 21 = 0 25 + k2 – 10 – 5k – 21 = 0 k2 – 5k – 6 = 0 (k – 6)(k + 1) = 0 Jadi, nilai k = 6 atau k = -1

Soal 4 Jarak terdekat antara titik (-7,2) ke lingkaran x2 + y2 – 10x – 14y – 151 = 0 sama dengan….

Penyelesaian Titik T(-7,2) disubstitusi ke x2 + y2 – 10x – 14y – 151 (-7)2 + 22 – 10.(-7) – 14.2 – 151 49 + 4 + 70 – 28 – 151 = - 56 < 0 berarti titik T(-7,2) berada di dalam lingkaran

adalah P(-½(-10), -½(-14)) = P(5, 7) Pusat x2 + y2 – 10x – 14y – 151 = 0 adalah P(-½(-10), -½(-14)) = P(5, 7) QT = PQ - PT = 15 – 13 = 2 Jadi, jarak terdekat adalah 2 Q T(-7,2) r P(5,7)

SELAMAT BELAJAR