Regresi linier berganda dan regresi (trend) non linier Dosen : LIES ROSARIA., ST., MSI

Regresi linier berganda Adalah regresi linier dimana variabel terikatnya (Y) dihubungkan/dijelaskan oleh lebih dari satu variabel bebas (X1, X2, X3,..., Xk) namun masih menunjukkan diagram hubungan yang linier. Bentuk umum: Y = a + b1X1 + b2X2 + ... + bkXk + e Keterangan: Y = variabel terikat a, b1, b2,..., bk = koefisien regresi X1, X2,..., Xk = variabel bebas e = kesalahan pengganggu (disturbance terma), artinya nilai-nilai dari variabel lain yang tidak dimasukkan ke dalam persamaan. Nilai ini biasanya diabaikan dalam perhitungan.

Nilai dari koefisien a, b1 dan b2 dapat dicari dengan : 1 Nilai dari koefisien a, b1 dan b2 dapat dicari dengan : 1. Metode Persamaan Normal b0 n + b1 X1 + b2 X2 + ... + bk Xk = Y b0 X1 + b1 X1 X1 + b2 X1 X2 + ... + bk Xk X1 = X1 Y b0 X2 + b1 X1 X2 + b2 X2 X2 + ... + bk Xk X1 = X2 Y . . . . . b0 Xk + b1 X1 Xk + b2 X2 Xk + ... + bk Xk = Xk Y Misalkan: k = 2, maka persamaan menjadi : Y = a + b1X1 + b2X2 Dihitung dengan persamaan normal menjadi: b0 a + b1 X1 + b2 X2 = Y b0 X1 + b1 X1 X1 + b2 X1 X2 = X1 Y b0 X2 + b1 X1 X2 + b2 X2 X2 = X2 Y

Persamaan di atas dapat dinyatakan dengan matriks berikut: a X1 X2 X1 X12 X1X2 X2 X1X2 X22 b0 b1 b2 = Y X1 Y X2 Y Variabel tersebut diselesaikan dengan cara: b0 = det A0 det A ; b1 = det A1 det A ; b2 = det A2 det A Dimana: A = a X1 X2 X1 X12 X1X2 X2 X1X2 X22 det A = (a)(X12)(X22) + (X1)(X1X2)(X2) + (X2)(X1)(X1X2) – (X2)(X12)(X2) – (X1X2)(X1X2)(a) – (X22) (X1)(X1) A b H

A0 = Y X1 X2 X1 Y X12 X1X2 X2 Y X1X2 X22 det A0 = (Y)(X12)(X22) + (X1)(X1X2)(X2Y) + (X2)(X1Y)(X1X2) – (X2Y)(X12)(X2) – (X1X2)(X1X2)(Y) – (X22) (X1Y)(X1) A1 = a Y X2 X1 X1Y X1X2 X2 X2Y X22 det A1 = (a)(X12)(X22) + (Y)(X1X2)(X2) + (X2)(X1)(X2Y) – (X2)(X1Y)(X2) – (X2Y)(X1X2)(a) – (X22) (X1)(Y) A2 = a X1 Y X1 X12 X1Y X2 X1X2 X2Y det A2 = (a)(X12)(X2Y) + (X1)(X1Y)(X2) + (Y)(X1)(X1X2) – (X2)(X12)(Y) – (X1X2)(X1Y)(a) – (X2Y) (X1)(X1)

Dihitung dengan persamaan kuadrat terkecil (least square) menggunakan rumus: b1 = 𝑥22 𝑥 1𝑦 − 𝑥2𝑦 𝑥1 𝑥2 𝑥12 𝑥22 − 𝑥1𝑥2 2 b2 = 𝑥12 𝑥 2𝑦 − 𝑥1𝑦 𝑥1 𝑥2 𝑥12 𝑥22 − 𝑥1𝑥2 2 a = 𝑌 − 𝑏1𝑋1 − 𝑏2𝑋2 𝑛 Dimana: 𝑥12 = 𝑋12 − 𝑋1 2 𝑛 𝑥22 = 𝑋22 − 𝑋2 2 𝑛 𝑦2 = 𝑌2 − 𝑌 2 𝑛 𝑥1𝑦 = 𝑋1𝑌 − 𝑋1 𝑌 𝑛 𝑥2𝑦 = 𝑋2𝑌 − 𝑋2 𝑌 𝑛 𝑥1𝑥2 = 𝑋1𝑋2 − 𝑋1 𝑋2 𝑛

CONTOH SOAL Dalam suatu penelitian yang dilakukan terhadap 10 rumah tangga yang dipilih secara acak, diperoleh data konsumsi rumah tangga perbulan (Y), harga bahan pokok (X1) dan tabungan rumah tangga (X2) sebagai berikut: Jika diketahui X1 = 10 dan X2 = 11, berapa nilai Y? Konsumsi Rumah tangga dalam 100ribu rupiah (Y) Harga Bahan Pokok dalam 100ribu rupiah X1 Tabungan rumah tangga dalam 100ribu rupiah X2 23 1 8 7 2 3 15 4 17 6 22 5 10 14 20 19

PENYELESAIAN Y X1 X2 X1Y X2Y X1X2 X12 X22 Y2 23 1 8 184 64 529 7 2 3 14 21 6 4 9 49 15 60 30 16 225 17 102 68 24 36 289 138 48 22 5 154 110 35 25 484 10 40 12 100 84 42 18 196 20 140 80 28 400 19 114 57 361 170 51 41 915 760 205 307 197 3162

𝑥12 = 𝑋12 − 𝑋1 2 𝑛 = 307− 51 2 10 = 46,9 𝑥22 = 𝑋22 − 𝑋2 2 𝑛 = 197− 41 2 10 = 28,9 𝑦2 = 𝑌2 − 𝑌 2 𝑛 = 3162− 170 2 10 = 272 𝑥1𝑦 = 𝑋1𝑌 − 𝑋1 𝑌 𝑛 = 915− 51 170 10 = 48 𝑥2𝑦 = 𝑋2𝑌 − 𝑋2 𝑌 𝑛 = 760− 41 170 10 = 63 𝑥1𝑥2 = 𝑋1𝑋2 − 𝑋1 𝑋2 𝑛 = 205− 51 41 10 = -41 Maka: b1 = 𝑥22 𝑥 1𝑦 − 𝑥2𝑦 𝑥1 𝑥2 𝑥12 𝑥22 − 𝑥1𝑥2 2 = 28,9 48 − 63 −41 46 28,9 − −41 2 = 1,23 b2 = 𝑥12 𝑥 2𝑦 − 𝑥1𝑦 𝑥1 𝑥2 𝑥12 𝑥22 − 𝑥1𝑥2 2 = 46,9 63 − 48 −41 46 28,9 − −41 2 = 2,35 a = 𝑌 − 𝑏1𝑋1 − 𝑏2𝑋2 𝑛 = = 170 − 1,23 51 − 2,35 41 10 = 1,078 Persamaannya menjadi: Y = 1,078 + 1,23 X1 + 2,35 X2 Sehingga, untuk X1 = 10 dan X2 = 11 maka Y = 1,078 + 1,23 (10) + 2,35 (11) = 39,27

Menggunakan Matriks (Persamaan normal): b0 a + b1 X1 + b2 X2 = Y b0 X1 + b1 X1 X1 + b2 X1 X2 = X1 Y b0 X2 + b1 X1 X2 + b2 X2 X2 = X2 Y Menjadi persamaan: b0 (10) + b1 (51)+ b2 (41) = 170 b0 (51)+ b1 (307)+ b2 (205) = 915 b0 (41)+ b1 (205)+ b2 (197) = 760 Dalam bentuk matriks: 10 51 41 51 307 205 41 205 197 𝑏0 𝑏1 𝑏2 = 170 915 760 Sehingga: A = 10 51 41 51 307 205 41 205 197 ; A0 = 170 51 41 915 307 205 760 205 197 A1 = 10 170 41 51 915 205 41 760 197 ; A2 = 10 51 170 51 307 915 41 205 760

det A = (10)(307)(197) + (51)(205)(41) + (41)(51)(205) - (41)(307)(41) - (205)(205)(10) - (197)(51)(51) = 13386 det A0 = (170)(307)(197) + (51)(205)(760) + (41)(915)(205) - (760)(307)(41) - (205)(205)(170) - (197)(915)(51) = 14430 det A1 = (10)(915)(197) + (170)(205)(41) + (41)(51)(760) - (41)(915)(41) - (760)(205)(10) - (197)(51)(170) = 16455 det A2 = (10)(307)(760) + (51)(915)(41) + (170)(51)(205) - (41)(307)(170) - (205)(915)(10) - (760)(51)(51) = 31515 b0 = det 𝐴0 det 𝐴 = 14430 13386 =1,078 b1 = det 𝐴1 det 𝐴 = 16455 13386 = 1,229 b2 = det 𝐴2 det 𝐴 = 31515 13386 = 2,354 Y = 1,078 + 1,23 X1 + 2,35 X2

Persamaan di atas diartikan: Nilai b0 = 1,078  tanpa adanya harga bahan pokok dan tabungan rumah tangga, maka konsumsi rumah tangga perbulan adalah sebesar Rp.107.800,- Nilai b1 = +1,23  tanda (+) menunjukkan hubungan antara konsumsi rumah tangga dan harga bahan pokok adalah positif, atau setiap kenaikan harga bahan pokok sebesar 1% akan meningkatkan pendapatan konsumsi rumah tangga sebesar 1,23%. Nilai b2 = +2,35  tanda (+) menunjukkan hubungan antara konsumsi rumah tangga dan tabungan rumah tangga adalah positif, atau setiap kenaikan harga bahan pokok sebesar 1% akan meningkatkan pendapatan konsumsi rumah tangga sebesar 2,35%.

Regresi non linier (tren) REGRESI KUADRATIS ATAU REGRESI PARABOLA Regresi dengan variabel X yang berpangkat dua. Bentuk regresi kuadratis adalah: Y = a + bX + cX2 Keterangan: Y = variabel terikat X = variabel bebas a, b, c = konstanta n . a + b X + c X2 =  Y a X + b X2 + c2 X3 = X Y a X2 + b X3 + c X4 = X2 Y

CONTOH SOAL Diketahui data dari tabel X dan Y sebagai berikut: Buatlah garis regresinya dengan bentuk kuadratis (Y = a + bX + X2) Berapa nilai ramalan Y apabila X = 4 X 1 2 3 5 6 7 9 10 Y 4 8

Penyelesaian Persamaan regresi kuadratis : Y = a + bX + cX2 XY X2Y 1 4 16 2 6 8 36 12 24 3 7 9 27 81 49 21 63 5 25 125 625 45 225 216 1296 64 48 288 343 2401 729 6561 324 10 100 1000 10000 30 300 43 305 2449 20981 320 245 1571 Persamaan regresi kuadratis : Y = a + bX + cX2 n . a + b X + c X2 =  Y  7a + 43b + 305c = 48 ...(1) a X + b X2 + c X3 = X Y  43a +305b + 2449c = 245 ...(2) a X2 + b X3 + c X4 = X2 Y  305a + 2449b + 20981c = 1571 ...(3)

Substitusi persamaan (1) dan (2): (1) × 43  301a + 1849 b + 13115c = 2064 (2) × 7  301a + 2135b + 17143c = 1715 - 286b – 4028c = 349 ...(4) Substitusi persamaan (1) dan (3): (1) × 305  2135a + 13005b + 93025c = 14640 (2) × 7  2135a + 17143b + 146867c = 10997 - 4028b – 53842c = 3643 ...(5) Substitusi persamaan (4) dan (5): (4) × 4028  -1152008b – 13224784c = 1405772 (5) × 349  - 1152008b – 18790858c = 1271407 2566074c = 134365 c = 0,05 masukkan ke persamaan (4): - 286b – 4028(0,05) = 349  b = -1,92 masukkan ke persamaan (1): - 7a + 43(-1,92) + 305(0,05) = 48  a = 16,47 Sehingga persamaan kuadratisnya: Y = 16,47 – 1,92X + 0,05X2 Ramalan Y untuk X = 4  Y = 16,47 – 1,92(4) + 0,05(4)2 = 9,59

REGRESI EKSPONENSIAL ATAU LOGARITMA Regresi dengan variabel X yang berpangkat konstanta b atau konstanta b berpangkat X. Bentuk umum regresi eksponensial: Y = abx Keterangan: Y = variabel terikat X = variabel bebas a,b = konstanta atau penduga Untuk menentukan nilai a dan b, bentuk persamaan di atas harus ditransformasikan ke dalam bentuk linier dengna menggunakan logaritma menjadi: log Y = log a + b log X Misalkan: log Y = Y1, log a = a1, log X = X1 Didapatkan: b = 𝑛 𝑋1𝑌1 − 𝑋1 𝑌1 𝑛−𝑋12 − 𝑋1 2 ; a1 = 𝑌 1−𝑏 𝑋 1

CONTOH SOAL Diketahui data dari tabel X dan Y sebagai berikut: Buatlah garis regresinya dengan eksponensial Berapa nilai ramalan Y apabila X = 4 X 1 2 3 5 6 7 9 10 Y 4 8

Penyelesaian X Y X1 = Log X Y1 = Log Y X12 Y12 1 4 0,60206 0,362476 2 6 0,30103 0,778151 0,090619 0,605519 3 7 0,477121 0,845098 0,227645 0,714191 5 9 0,69897 0,954243 0,488559 0,910579 8 0,90309 0,815572 10 43 48 5,054613 6,006921 4,037112 4,712648 b = 𝑛 𝑋1𝑌1 − 𝑋1 𝑌1 𝑛−𝑋12 − 𝑋1 2 = 8 3,772 − 5,054613 6,006921 8 4,037112 − 5,054613 2 = -0,022 a1 = 𝑌 1−𝑏 𝑋 1 = 6,006921 8 - (-0,22) 5,054613 8 = 0,737 Maka persamaan eksponensialnya: Y = abx = 5,458x -0,022 Untuk X = 4, maka ramalan nilai Y = 5,458(4) -0,022 = 5,294