Distribusi Variabel Acak ( Diskrit )

Hubungan Beberapa Distribusi Diskrit

Distribusi Peluang Diskrit Distribusi Bernoulli Distribusi Binomial Distribusi Poisson Distribusi Geometrik Distribusi Binomial Negatif (Pascal) Distribusi Hipergeometrik

Distribusi Bernoulli Definisi : Variabel acak X dikatakan berdistribusi Bernoulli dengan parameter p, dan ditulis dalam bentuk : X ~ BIN (1, p) X 1 P(X=x) p 1 - p Probability mass function (pmf) untuk distribusi Bernoulli berdasarkan tabel di atas adalah

Distribusi Bernoulli Karakteristik distribusi Bernoulli : Notasi : X ~ BIN (1, p) Rata-rata : µ = p Varians : σ 2 = p (1 – p)

Distribusi Bernoulli Contoh : Sebuah dadu diundi. Jika diketahui munculnya angka 2 atau 4 dikatakan sukses, tentukan fungsi peluang, rata-rata, dan varians-nya. Penyelesaian : p = P(sukses) = P(muncul angka 2 atau 4) = 2/6 = 1/3 Rata-rata : µ = p = 1/3 Varians : σ 2 = p (1 – p) = 1/3 (2/3) = 2/9

Contoh: 1. Jika dalam suatu permainan sebuah dadu, kejadian dadu bernilai 4 atau 6 disebut sukses, dan kejadian lainnya disebut gagal, tentukan: a. Fungsi peluangnya b. Rata-rata dan variansnya c. FPM

Jawab: Peristiwa sukses jika dadu bernilai 4 atau 6 Peristiwa gagal jika dadu bernilai 1,2,3,5 Peluang sukses = Peluang gagal =

a. b. c.

2. Jika fungsi pembangkit moment suatu variabel acak adalah: Tentukan simpangannya Jawab: Simpangan:

Undian Bernoulli (Bernoulli Trial) n kali trial hingga sukses pertama kali Distribusi Geometrik Trial jml sukses dalam n kali trial Distribusi Binomial 10/9/01

Distribusi Binomial Distribusi Binomial merupakan proses Bernoulli yang dilakukan sebanyak n kali Misal Xi ~ BIN (1, p), dan X1, X2, … , Xn saling bebas, maka Xi ~ BIN (n, p) dimana

Distribusi Binomial Karakteristik distribusi Binomial : Notasi : X ~ BIN (n, p) µ = ? σ 2 = ?

Distribusi Binomial

Distribusi Binomial Contoh : Pada perusahaan A, 20 persen karyawannya dikategorikan sebagai pekerja yang baik. Jika dipilih 15 karyawan secara acak, berapakah peluang : 4 orang karyawan berkategori baik Paling sedikit 2 orang berkategori baik Tidak lebih dari 1 orang berkategori baik

Distribusi Binomial Jawab : Diketahui : n = 15 ; p = 0.2  1 – p = 0.8 4 orang karyawan berkategori baik  x = 4 Paling sedikit 2 orang berkategori baik  x > 2

Distribusi Binomial c. Tidak lebih dari 1 orang berkategori baik  x < 1 P( x < 1) = P(x = 0) + P(x=1) = 0.035 + 0.132 = 0.167

Contoh: Bila tentukan P(0<X<2) ~ 1.

2. Jika tentukan a. Rata-rata dan variansnya b. ~ 3. dan ~ tentukan

jika Jadi minimal rata-ratanya coklat yang ada di biskuit adalah 7. 0.74 0.41 0.017 0.007 Jadi minimal rata-ratanya coklat yang ada di biskuit adalah 7.

Distribusi Binomial Negatif / Pascal Pada percobaan Binomial, yang dicari adalah peluang sejumlah sukses atau gagal dari n kali ulangan (misalkan peluang paling sedikit terjadi sukses 3 kali dari n ulangan, dll). Jika ingin diketahui peluang sukses yang ke-k dari n kali percobaan, maka percobaan tersebut adalah percobaan binomial negatif.

Distribusi Binomial Negatif / Pascal Distribusi Binomial Negatif adalah pengamatan terhadap percobaan Bernoulli untuk mengamati k “sukses” dengan P(sukses) = p Notasi : X ~ PAS( p,k )

Contoh: Misalkan pada percobaan pelemparan mata uang 4x, maka peristiwa yang mungkin terjadi adalah sebanyak 16 (ruang sampel = ). Ingin diketahui: peluang munculnya sisi muka (M) yang ke dua kali terjadi pada lemparan ke -4

Ilustrasi : Lemparan 1: Lemparan 2: Lemparan 3: Lemparan 4: Tiga lemparan pertama harus menghasilkan satu M, dimana saja satu M harus terjadi dari sisa lemparan (4-1) Lemparan 2: Lemparan 3: Lemparan 4: Lemparan ke 4 sudah pasti M (yang terjadi ke 2 kalinya) M

Ruang sampel: Variabel acak X menyatakan banyaknya ulangan yang berakhir tepat pada sukses yang ke-k, jika X=4 dan k=2 maka kejadiannya : {MBBM,BMBM,BBMM}

Peristiwa:

Distribusi Binomial Negatif / Pascal Contoh : Ani dan Santi bermain “ular tangga” berulang kali hingga salah satu diantara mereka menang 5 kali. Misal permainan mereka saling bebas dan peluang Santi memenangkan sebuah permainan adalah 0.58. Berapa peluang bahwa permainan dihentikan setelah pengulangan ke-7 ?

Distribusi Binomial Negatif / Pascal Jawab : Misal X adalah jumlah pengulangan permainan hingga Santi menang 5 kali, dan Y adalah jumlah pengulangan permainan hingga Ani menang 5 kali. Maka X dan Y ~ PAS (5, 0.58) Peluang bahwa permainan dihentikan setelah pengulangan ke-7 adalah Berapa peluang Santi menang ? Misal A = Santi menang

Trial Geometrik: Coba terus sampai berhasil!! p = 3/4 q = 1 - p = 1/4 1x s f(1)= 3/4 2x g s f(2)= 1/4 x 3/4 = 3/16 3x g s f(3)= 1/4 x 1/4 x 3/4 = 3/64 4x g s f(4)= 1/4 x 1/4 x 1/4 x 3/4 = 3/256 Probabilitas kumulatif s/d 4x =255/256 = 0.9961 10/9/01

f(x) = (1- p)x-1p Distribusi Geometrik Variabel random X berdistribusi geometrik dengan parameter p apabila fungsi peluangnya f(x) = (1- p)x-1p untuk 0<p<1 dan x=1,2,3,4,…… dan (1- p)x-1p = 1  x=1 10/9/01

Distribusi Geometrik Distribusi Geometrik berasal dari distribusi Binomial dengan penekanan pada pengamatan kejadian “sukses” pertama Notasi : X ~ GEO( p ) x = 1,2, …

Distribusi Geometrik Contoh : 1 set kartu (52 buah) dikocok, satu kartu diambil secara acak dengan pengembalian, pengambilan kartu dianggap sukses jika diperoleh kartu “As”. Berapa peluang bahwa kartu “As” baru didapat setelah pengambilan kartu ke-10? Jawab : Misal X jumlah pengocokkan sampai diperoleh “As” pertama, maka X ~ GEO (1/13)

Distribusi Geometrik maka peluang bahwa kartu “As” baru didapat setelah pengambilan kartu ke-10 adalah

Distribusi Hypergeometrik Misalkan dalam suatu populasi yang berukuran N terdapat N1 item cacat dan N2 item tidak cacat. Sebuah sampel diambil dengan ukuran sampel n, ternyata x diantaranya merupakan item cacat, maka peluang cacat pada sampel akan berdistribusi Hypergeometrik ( X ~ HYP( n, N1, N2 )) dengan fungsi peluang :

Distribusi Hypergeometrik

Distribusi Hypergeometric Contoh Terdapat 20 bola dalam sebuah kotak. 12 hitam dan 8 putih. 5 bola diambil acak tanpa pengembalian. X adalah jumlah bola hitam yang terambil dalam sampel 10/9/01

Distribusi Hypergeometric Berapa peluang X? N = 20, N1 = 12 (bola hitam), n = 5 (sampel) P[X=0] = C(12,0)C(8,5)/C(20,5) = 0.0036 P[X=1] = C(12,1)C(8,4)/C(20,5) = 0.0542 P[X=2] = C(12,2)C(8,3)/C(20,5) = 0.2384 P[X=3] = C(12,3)C(8,2)/C(20,5) = 0.3973 P[X=4] = C(12,4)C(8,1)/C(20,5) = 0.2554 P[X=5] = C(12,5)C(8,0)/C(20,5) = 0.0511 10/9/01

SOAL Suatu kotak mengandung 7 komponen yang terdiri dari 4 komponen merek A dan 3 komponen merek B. Jika 3 komponen diambil secara random dari kotak, berapa probabilitas bahwa tepat terdapat 2 komponen merek A yang terambil?

distribusi Poisson dengan parameter Distribusi Poisson dapat dibentuk dari pendekatan distribusi binomial . Jika percobaan binomial dilakukan sampai mendekati tak hingga kali ( ), dan peluang sukses sangat kecil ( ), maka distribusi binomial akan mendekati distribusi Poisson dengan parameter

Distribusi Poisson Konsep dasar Distribusi Poisson berawal dari distribusi Binomial, oleh karena itu distribusi Poisson disebut sebagai pendekatan/hampiran dari distribusi Binomial Jika X ~ BIN (n, p) , n  ∞ ; np = λ  X ~ POI (λ) µ = ? σ 2 = ?

Distribusi Poisson Deret MacLaurin :

Distribusi Poisson Contoh : Dalam tabel aktuaria perusahaan asuransi “T” ditentukan bahwa peluang seorang pria berumur 25 tahun akan meninggal tahun depan adalah 0.0002. Jika perusahaan asuransi “T” tahun ini menjual 4000 polis terhadap pria berumur 25 tahun, berapa peluang mereka akan membayar tepat 1 polis? Jawab : λ = 4000 (0.0002) = 0.8

Contoh 1. Misalkan X adalah variabel acak berdistribusi Poisson dengan parameter λ. Jika P(X=0)=0.2, maka tentukan P(X=2). Jawab:

Contoh 2. Misalkan dalam pembuatan biskuit Goodtime, jumlah coklat yang jatuh pada biskuit mengikuti distribusi Poisson. Konsumen menginginkan agar peluang sedikitnya dua coklat ada pada biskuit ini lebih besar dari atau sama dengan 0.99. Tentukan berapa nilai terkecil untuk rata-rata coklat yang ada setiap biskuit Goodtime ini.

Jawab: Misalkan variabel acak X adalah jumlah coklat yang ada pada biskuit, maka:

Tabel Jumlah peluang Poisson