RUANG DIMENSI TIGA OLEH TIM MGMP MAT SMAN 1 GLENMORE

STANDAR KOMPETENSI Setelah pembelajaran materi ini diharapkan siswa dapat : Menentukan kedudukan, jarak dan besar sudut yang melibatkan titik, garis dan bidang dalam ruang demensi tiga

KOMPETENSI DASAR : Menentukan kedudukan titik, garis dan bidang dalam ruang dimensi tiga Menentukan jarak dari titik ke garis dan dari titik ke bidang dalam ruang dimensi tiga Menentukan Besar sudut antara garis dan bidang, antara dua bidang dalam ruang dimensi tiga

INDIKATOR : Menentukan kedudukan titik dan garis dalam ruang. Menentukan kedudukan titik dan bidang dalam ruang. Menentukan kedudukan antara dua garis dalam ruang. Menentukan kedudukan garis dan bidang dalam ruang. Menentukan kedudukan antara dua bidang dalam ruang.

INDIKATOR : Menentukan kedudukan titik dan garis dalam ruang. Menentukan kedudukan titik dan bidang dalam ruang. Menentukan kedudukan antara dua garis dalam ruang. Menentukan kedudukan garis dan bidang dalam ruang. Menentukan kedudukan antara dua bidang dalam ruang.

A. KEDUDUKAN TITIK TERHADAP GARIS Kedudukan titik terhadap garis ada dua kemungkinan, yaitu : a. Titik terletak pada garis b. Titik terletak di luar garis Melalui dua buah titik selalu dapat dibuat sebuah garis. Melalui tiga buah titik sebarang umumnya tidak dapat dibuat sebuah garis

Contoh : Titik B terletak pada garis g atau garis g melalui titik B Titik A terletak di luar garis g Titik B terletak pada garis g atau garis g melalui titik B A . . B g KEMBALI

B. KEDUDUKAN TITIK TERHADAP BIDANG Kedudukan titik terhadap bidang adalah : a. titik terletak pada bidang. b. titik terletak di luar bidang Melalui tiga titik sebarang yang tidak segaris selalu dapat dibuat sebuah bidang Melalui empat titik sebarang umumnya tidak dapat dibuat sebuah bidang.

Contoh : Ditentukan kubus ABCD.EFGH Kedudukan titik E terhadap bidang : a.ABFE adalah di dalam b.ACH adalah di luar Kedudukan titik T terhadap bidang : a.DCGH adalah di luar b.BDHF adalah di dalam H G E F T D C A B

C.KEDUDUKAN DUA GARIS H G E Kedudukan antara dua garis adalah : F a. Sejajar b. Berpotongan D c. Bersilangan C A B Melalui dua garis yang sejajar dapat dibuat sebuah bidang Melalui dua garis yang berpotongan dapat dibuat sebuah bidang Melalui dua garis yang bersilangan tidak dapat dibuat sebuah bidang

Contoh Soal : Pada kubus ABCD.EFGH, sebutkan masing- masing 3 contoh kedudukan dua garis yang saling a. sejajar b. berpotongan c. bersilangan

JAWAB 1. Yang saling sejajar : - AD dan BC - AC dan EG - FG dan EH 2. Yang saling berpotongan : - EF dan FG - AG dan CE - BG dan CF 3. Yang saling bersilangan : - AC dan BF - BC dan CE - FC dan AH H G F E D C A B BACK

D. KEDUDUKAN GARIS DAN BIDANG Kedudukan sebuah garis pada sebuah bidang terdapat 3 kemungkinan : a. garis terletak pada bidang b. garis sejajar bidang (garis diluar bi dang)

c. garis memotong atau menembus bidang Q P

T KEMBALI

E.KEDUDUKAN DUA BIDANG Kedudukan (hubungan) dua bidang ada 2 kemungkinan : a. sejajar b. berpotongan b. a.

Menentukan proyeksi dan jarak dari titik ke garis dan dari titik kebidang

tayangan ini anda dapat Menentukan proyeksi dan jarak dalam Setelah menyaksikan tayangan ini anda dapat Menentukan proyeksi dan jarak dalam ruang dimensi tiga

Proyeksi Pada Bangun Ruang: proyeksi dan jarak titik pada garis proyeksi dan jarak titik pada bidang proyeksi garis pada bidang

Proyeksi titik pada garis Dari titik P ditarik garis m garis k garis m memotong k di Q, titik Q adalah hasil proyeksi titik P pada k Dan PQ adalah jarak dari Titik P ke garis k P m k Q

Contoh Diketahui kubus ABCD.EFGH Tentukan proyeksi titik A pada garis a. BC b.BD c. ET (T perpotongan AC dan BD). A B C D H E F G T

Pembahasan Proyeksi titik A pada a. BC adalah titik B b. BD adalah titik c. ET adalah titik A B C D H E F G T B (AB  BC)‏ A’ T (AC  BD)‏ A’ (AC  ET)‏

Proyeksi Titik pada Bidang Dari titik P di luar bidang H ditarik garis g  H. Garis g menembus bidang H di titik P’. Titik P’ adalah proyeksi titik P di bidang H dan PP’ adalah jarak P ke bid H P g P’ H

Contoh Diketahui kubus ABCD.EFGH a. Proyeksi titik E pada bidang ABCD adalah…. b. Proyeksi titik C pada bidang BDG A B C D H E F G

Pembahasan a. Proyeksi titik E pada bidang ABCD adalah b. Proyeksi titik C pada bidang BDG CE  BDG A B C D H E F G A P (EA  ABCD)‏ P

Proyeksi garis pada bidang Proyeksi sebuah garis ke sebuah bidang dapat diperoleh dengan memproyek- sikan titik-titik yang terletak pada garis itu ke bidang. A B g A’ g’ H B’ Jadi proyeksi garis g pada bidang H adalah g’

Fakta-fakta 1. Proyeksi garis pada bidang umumnya berupa garis 2. Jika garis h   maka proyeksi garis h pada bidang  berupa titik. 3. Jika garis g // bidang  maka g’ yaitu proyeksi garis g pada dan sejajar garis g

b. Jika panjang rusuk kubus 6 cm, Panjang proyeksi garis CG Contoh 1 Diketahui kubus ABCD.EFGH a. Proyeksi garis EF pada bidang ABCD adalah…. A B C D H E F G b. Jika panjang rusuk kubus 6 cm, Panjang proyeksi garis CG pada bidang BDG adalah….

Jadi proyeksi EF pada ABCD adalah garis AB Pembahasan a. Proyeksi garis EF pada bidang ABCD berarti menentukan proyeksi titik E dan F pada bidang ABCD, yaitu titik A dan B A B C D H E F G Jadi proyeksi EF pada ABCD adalah garis AB

Jadi proyeksi CG pada BDG adalah garis PG dan panjangnya? Pembahasan b. Proyeksi garis CG pada bidang BDG berarti menentukan proyeksi titik C dan titik G pada bidang BDG, yaitu titik P dan G A B C D H E F G P 6 cm Jadi proyeksi CG pada BDG adalah garis PG dan panjangnya?

•Jadi panjang proyeksi garis CG pada bidang BDG adalah 2√6 cm F G •Panjang proyeksi CG pada BDG adalah panjang garis PG. •PG = ⅔.GR = ⅔.½a√6 = ⅓a√6 = ⅓.6√6 P R 6 cm •Jadi panjang proyeksi garis CG pada bidang BDG adalah 2√6 cm

Contoh 2 Diketahui limas beraturanT.ABCD dengan panjang AB = 16 cm, TA = 18 cm Panjang proyeksi TA pada bidang ABCD adalah…. T A D C B 18 cm 16 cm

Jadi panjang proyeksi TA pada bidang ABCD adalah 8√2 cm Pembahasan Proyeksi TA pada bidang ABCD adalah AT’. Panjang AT’= ½AC = ½.16√2 = 8√2 T A D C B 18 cm T’ 16 cm Jadi panjang proyeksi TA pada bidang ABCD adalah 8√2 cm

Sudut Pada Bangun Ruang: Sudut antara dua garis Sudut antara garis dan bidang Sudut antara bidang dan bidang

Sudut antara Dua Garis Yang dimaksud dengan besar sudut antara dua garis adalah besar sudut terkecil yang dibentuk oleh kedua garis tersebut m k

Contoh Diketahui kubus ABCD.EFGH Besar sudut antara garis-garis: a. AB dengan BG b. AH dengan AF c. BE dengan DF A B C D H E F G

Pembahasan Besar sudut antara garis-garis: a. AB dengan BG = 900 b. AH dengan AF = 600 (∆ AFH smss)‏ c. BE dengan DF = 900 (BE  DF)‏ A B C D H E F G

Garis dan Bidang Sudut antara garis a dan bidang  adalah sudut antara dilambangkan (a,)‏ adalah sudut antara garis a dan proyeksinya pada . Sudut antara garis PQ dengan V = sudut antara PQ dengan P’Q =  PQP’ P Q V P’

Kemudian hitunglah besar sudutnya! Contoh 1 Diketahui kubus ABCD.EFGH panjang rusuk 6 cm. Gambarlah sudut antara garis BG dengan ACGE, A B C D H E F G 6 cm Kemudian hitunglah besar sudutnya!

Jadi (BG,ACGE) = (BG,KG)‏ = BGK Pembahasan Proyeksi garis BG pada bidang ACGE adalah garis KG (K = titik potong AC dan BD) A B C D H E F G K 6 cm Jadi (BG,ACGE) = (BG,KG)‏ = BGK

Pembahasan BG = 6√2 cm BK = ½BD = ½.6√2 = 3√2 cm ∆BKG siku-siku di K F G K 6 cm sinBGK = Jadi, besar BGK = 300

Nilai tangens sudut antara garis CG dan bidang AFH adalah…. Contoh 2 Diketahui kubus ABCD.EFGH panjang rusuk 8 cm. A B C D H E F G 8 cm Nilai tangens sudut antara garis CG dan bidang AFH adalah….

Nilai tangens sudut antara garis CG dan bidang AFH adalah ½√2 Pembahasan tan(CG,AFH) = tan (PQ,AP)‏ = tan APQ = A B C D H E F G P Q 8 cm Nilai tangens sudut antara garis CG dan bidang AFH adalah ½√2

sudut antara TA dan bidang ABCD adalah…. Contoh 3 Pada limas segiempat beraturan T.ABCD yang semua rusuknya sama panjang, T A B C D a cm sudut antara TA dan bidang ABCD adalah….

sudut antara TA dan bidang ABCD adalah sudut antara TA dan AC Pembahasan • TA = TB = a cm • AC = a√2 (diagonal persegi)‏ • ∆TAC = ∆ siku-siku samakaki T A B C D a cm sudut antara TA dan bidang ABCD adalah sudut antara TA dan AC yang besarnya 450

Bidang dan Bidang Sudut antara bidang  dan bidang  adalah sudut antara garis g dan h, dimana g  (,) dan h  (,). (,) garis potong bidang  dan   h (,)‏  g

Contoh 1 Diketahui kubus ABCD.EFGH a. Gambarlah sudut antara bidang BDG dengan ABCD b. Tentukan nilai sinus sudut antara BDG dan ABCD! A B C D H E F G

Jadi (BDG,ABCD) = (GP,PC)‏ =GPC Pembahasan a. (BDG,ABCD)‏ • garis potong BDG dan ABCD  BD • garis pada ABCD yang  BD  AC • garis pada BDG yang  BD  GP A B C D H E F G P Jadi (BDG,ABCD) = (GP,PC)‏ =GPC

Jadi, sin(BDG,ABCD) = ⅓√6 Pembahasan b. sin(BDG,ABCD)‏ = sin GPC = = ⅓√6 A B C D H E F G P Jadi, sin(BDG,ABCD) = ⅓√6

Contoh 2 Limas beraturan T.ABC, panjang rusuk alas 6 cm dan panjang rusuk tegak 9 cm. Nilai sinus sudut antara bidang TAB dengan bidang ABC adalah…. A B C T 6 cm 9 cm

Pembahasan •sin(TAB,ABC)‏ = sin(TP,PC)‏ = sinTPC •TC = 9 cm, BP = 3 cm •PC = = •PT = A B C T 6 cm 9 cm P 3

• Lihat ∆ TPC PT = 6√2, PC = 3√3 Aturan cosinus T TC2 = TP2 + PC2 – 2TP.TC.cosTPC 81 = 72 + 27 – 2.6√2.3√3.cosTPC 36√6.cosTPC = 99 – 81 36√6.cosTPC = 18 cosTPC = = T 9 cm 6√2 A C 2 3√3 1 P B

• Lihat ∆ TPC cosP = Maka diperoleh Sin P = Jadi sinus (TAB,ABC)‏ = 12 P √6

Sudut antara bidang FHQP dan bi- dang AFH adalah . Nilai cos =… Contoh 3 Diketahui kubus ABCD.EFGH, pan- jang rusuk 4 cm Titik P dan Q berturut-turut di tengah-tengah AB dan AD. 4 cm A B C D H E F G Q P Sudut antara bidang FHQP dan bi- dang AFH adalah . Nilai cos =…

Pembahasan • (FHQP,AFH)‏ = (KL,KA)‏ = AKL =  • AK = ½a√6 = 2√6 • AL = LM = ¼ AC = ¼a√2 = √2 • KL = = =3√2 4 cm A B C D H E F G K  Q L M P

Pembahasan • AK = 2√6 , AL = √2 KL = 3√2 Jadi nilai cos = Aturan Cosinus: AL2 = AK2 + KL2 – 2AK.KLcos 2 = 24 + 18 – 2.2√6.3√2.cos 24√3.cos = 42 – 2 24√3.cos = 40 cos = K  M A L Jadi nilai cos =

Melukis Irisan Antara Bidang dan Bangun Ruang dengan Menggunakan Sumbu Afinitas Sumbu afinitas adalah garis potong antara bidang irisan dengan alas bangun ruang yang diirisnya. Aksioma yang diperlukan dalam melukis bidang irisan: Dua titik menentukan garis. Garis dapat diperpanjang pada kedua ujungnya. Bidang dapat diperluas.

Langkah Melukis : Pilih dua titik pada bidang irisan yang terletak sebidang pada bangun ruang. Lukislah garis yang melalui dua titik tersebut. Perpanjang garis-garis pada alas bangun ruang sehingga memotong garis pada langkah 2. Hubungkan 2 titik baru pada bidang alas bangun ruang. Garis yang diperoleh adalah sumbu afinitas. Lengkapi gambar irisan bidang tersebut.

Contoh: Diketahui kubus ABCD Contoh: Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan titik-titik P, Q, dan R berturut–turut terletak pada pertengahan AB, CG, dan GH. Lukislah bidang irisan kubus ABCD.EFGH yang melalui titik P, Q, dan R! Jawab: Gambar kubus ABCD.EFGH dengan titik-titik P, Q,dan R seperti pada soal. Lukis garis melalui titik R dan Q. Perpanjang garis DC pada bidang alas kubus sehingga memotong garis RQ. Lukis garis melalui P dan K Perpanjang garis AD sehingga memotong garis PK. Garis MK adalah sumbu afinitas. Perpanjang garis DH sehingga memotong garis RQ. Tarik garis melalui titik L dan M. Lengkapi gambar sehingga diperoleh irisan bidang yang melalui titik P, Q dan R dengan kubus. L C B A D E H G F Q R P K M Sumbu Afinitas

1. Lukislah bidang irisan kubus ABCD.EFGH yang melalui titik P, Q, Latihan : 1. Lukislah bidang irisan kubus ABCD.EFGH yang melalui titik P, Q, dan R! A B C D E F G H P Q R

Jawaban: A B C D E F G H P Q R T S Sumbu Afinitas

2. Lukislah bidang irisan kubus ABCD.EFGH yang melalui titik P, Q, dan R! F D A B C E G H P Q R

Jawaban: F D A B C E G H P Q R K S T L Sumbu Afinitas

SELAMAT BELAJAR