Tabel Simplex (MetodE Big-M & 2 Fasa) Amelia Kurniawati, ST., MT.

Contents Review Primal Simplex Method Penentuan Basis Layak Metode Big M Metode 2 Fasa

Goals Menguasai konsep tabel simplex Memahami permasalahan dengan variabel & pembatas khusus Menguasai metode Big M dan 2 Fasa Back to school

Chapter 1 Review Primal Simplex Method

Contoh Minimize z = x1 + x2 – 4 x3 Subject to x1 + x2 + 2x3 ≤ 9 x1 + x2 - x3 ≤ 2 -x1 + x2 + x3 ≤ 4 x1, x2, x3 ≥ 0

Minimize z = x1 + x2 – 4 x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6 Subject to Bentuk Standard? Minimize z = x1 + x2 – 4 x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6 Subject to x1 + x2 + 2x3 + x4 = 9 x1 + x2 - x3 + x5 = 2 -x1 + x2 + x3 + x6 = 4 x1, x2, x3, x4, x5, x6 ≥ 0

Basis Awal? Minimize z = x1 + x2 – 4 x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6 Subject to x1 + x2 + 2x3 + x4 = 9 x1 + x2 - x3 + x5 = 2 -x1 + x2 + x3 + x6 = 4 x1, x2, x3, x4, x5, x6 ≥ 0

Iterasi 1

Iterasi 1

Iterasi 1

Iterasi 2

Iterasi 2

Iterasi 3

Iterasi 3 Seluruhnya ≥ 0

Solusi Optimal: x1 = 1/3; x2 = 0; x3= 13/3 dengan z = -17

Minimize z = 4x1 + 3x2 Subject to 3x1 + x2 = 3 3x1 + 3x2 ≥ 6 Contoh Lain Minimize z = 4x1 + 3x2 Subject to 3x1 + x2 = 3 3x1 + 3x2 ≥ 6 x1 + 2x2 ≤ 4 x1, x2 ≥ 0

Minimize z = 4x1 + 3x2 + 0x3 + 0x4 Subject to 3x1 + x2 = 3 Bentuk Standard? Minimize z = 4x1 + 3x2 + 0x3 + 0x4 Subject to 3x1 + x2 = 3 3x1 + 3x2 - x3 = 6 x1 + 2x2 + x4 = 4 x1, x2, x3, x4 ≥ 0

Basis awal? Minimize z = 4x1 + 3x2 + 0x3 + 0x4 Subject to 3x1 + x2 = 3 3x1 + 3x2 - x3 = 6 x1 + 2x2 + x4 = 4 x1, x2, x3, x4 ≥ 0

Chapter 2 Penentuan Basis Layak

Pendekatan untuk mendapatkan solusi basis layak awal Trial-and-Error Variabel basis dipilih sebarang untuk tiap pembatas Tidak efisien Penggunaan variabel semu (artificial variable)

Contoh masalah LP Meminimumkan Z = 4x1 + 3x2 dengan pembatas-pembatas:

Bentuk standar Meminimumkan Z = 4x1 + 3x2 dengan pembatas-pembatas: 3x1 + 3x2 – x3 = 6 x1 + 2x2 + x4 = 4 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, x4 ≥ 0

Penambahan variabel semu 3x1 + x2 + x5 = 3 3x1 + 3x2 – x3 +x6 = 6 x1 + 2x2 + x4 = 4 x1, x2, x3, x4, x5, x6 ≥ 0 Variabel semu : x5, x6

Ide penggunaan variabel semu Variabel semu merupakan variabel tak negatif yang ditambahkan pada ruas kiri untuk tiap persamaan yang tidak mempunyai solusi basis awal. Variabel semu ini berperan sebagai variabel sisipan (slack variable) untuk memberikan solusi basis awal. Variabel semu tidak mempunyai arti fisik pada permasalahan awal.

Ide penggunaan variabel semu Prosedur memaksa variabel semu untuk bernilai nol jika kondisi optimal tercapai. Cara yang logis adalah memberikan penalti pada variabel semu dalam fungsi tujuan. Pendekatan Metode big M Metode dua fasa

Chapter 3 Metode Big M

Metode Big M Variabel semu diberikan suatu penalti dengan suatu bilangan yang besar sekali pada fungsi tujuan. Metode simplex mencoba untuk memperbaiki fungsi tujuan dengan cara membuat variabel semu tidak ekonomis lagi untuk dipertahankan sebagai variabel basis dengan nilai yang positif. Untuk masalah Minimasi : M Maksimasi: -M dimana M adalah bilangan yang sangat besar

Metode big M Meminimumkan Z = 4x1 + 3x2 + Mx5 + Mx6 dengan pembatas-pembatas: 3x1 + x2 + x5 = 3 3x1 + 3x2 – x3 +x6 = 6 x1 + 2x2 + x4 = 4 x1, x2, x3, x4, x5, x6 ≥ 0

cB 4 3 M Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 x6 1 -1 6 2 cj Basis

Nilai fungsi tujuan

Pemeriksaan optimalitas Nilai fungsi tujuan relatif (profit relatif /ongkos relatif ) untuk variabel non basis: Kondisi optimal terjadi apabila semua nilai koefisien fungsi tujuan relatif untuk variabel basis adalah tak positif [untuk masalah maximize] atau tak negatif [untuk masalah minimize]

Nilai fungsi tujuan relatif untuk variabel non basis

Tabel 1 cj Basis cB 4 3 M Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 x6 1 -1 6 2 4 – 6M M Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 x6 1 -1 6 2 4 – 6M 3 – 4M Z = 9M cj Basis

Tabel 2 cj Basis cB 4 3 M Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 x6 1 1/3 2 -1 5/3 M Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 x6 1 1/3 2 -1 5/3 -1/3 -2M -4/3 +2M Z = 4 + 3M cj Basis

Tabel 3 (optimal) cj Basis cB 4 3 M Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 x6 1 1/6 M Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 x6 1 1/6 1/2 -1/6 -1/2 3/2 5/6 -5/6 + M Z = 13/2 cj Basis

Contoh Kasus Hellbrunn Schloβ merupakan sebuah kastil di Salzburg, Austria. Kastil ini akan melakukan penambahan jumlah kamar tidur. Terdapat dua jenis kamar tidur yang akan dibangun, yaitu kamar tidur kecil yang hanya dapat menampung 1 orang, dan kamar tidur besar yang dapat menampung 2 orang. Dalam pembangunan ini, terdapat 2 syarat yaitu total kamar baru minimal berjumlah 4 kamar, dan total daya tampung minimal adalah 6 orang. Biaya pembangunan satu kamar tidur kecil adalah 2 kantung emas, sedangkan biaya pembangunan satu kamar tidur besar adalah 3 kantung emas. Berapa jumlah kamar tidur kecil dan kamar tidur besar yang harus dibangun, agar biaya minimum?

Contoh masalah LP Meminimumkan Z = 2x1 + 3x2 dengan pembatas-pembatas:

Bentuk standar Meminimumkan Z = 2x1 + 3x2 dengan pembatas-pembatas: x1 + x2 – x3 = 4 x1 + 2x2 – x4 = 6 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, x4 ≥ 0

Penambahan variabel semu x1 + x2 – x3 + x5 = 4 x1 + 2x2 – x4 +x6 = 6 x1, x2, x3, x4, x5, x6 ≥ 0 Variabel semu : x5, x6

Metode big M Meminimumkan Z = 2x1 + 3x2 + 0x3 + 0x4 + Mx5 + Mx6 dengan pembatas-pembatas: x1 + x2 – x3 + x5 = 4 x1 + 2x2 – x4 +x6 = 6 x1, x2, x3, x4, x5, x6 ≥ 0

Solusi Optimal: x1 = 2; x2 = 2 dengan z = 10

Chapter 4 Metode 2 Fasa back

Metode dua-fasa Fasa I Mendapatkan solusi basis layak awal pada masalah original. Penghilangan variabel semu. Fungsi tujuan semu merupakan jumlah dari variabel semu yang diminimasi. Jika nilai fungsi tujuan sama dengan nol, maka semua variabel semu bernilai nol dan solusi basis layak diperoleh bagi masalah original. Jika nilai minimum fungsi tujuan adalah positif, maka paling sedikit terdapat satu variabel yang positif dan ini berarti masalah original adalah tak layak, dan algoritma berhenti.

Metode dua-fasa Fasa II Solusi basis layak yang diperoleh pada Fase I dioptimisasi terhadap fungsi tujuan original. Tabel akhir pada Fase I menjadi tabel awal pada Fase II dengan perubahan pada fungsi tujuan.

Metode dua-fasa (Fasa I) Meminimumkan W = x5 + x6 dengan pembatas-pembatas: 3x1 + x2 + x5 = 3 3x1 + 3x2 – x3 +x6 = 6 x1 + 2x2 + x4 = 4 x1, x2, x3, x4, x5, x6 ≥ 0

Tabel 1 [Fase I] cj Basis cB 1 Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 x6 3 -1 6 2 4 1 Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 x6 3 -1 6 2 4 – 6 – 4 W = 9 cj Basis

Tabel 2 [Fase I] cj Basis cB 1 Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 x6 1/3 2 -1 3 1 Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 x6 1/3 2 -1 3 5/3 -1/3 -2 W = 3 cj Basis

Tabel 3 [Fase I] cj Basis cB 1 Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 x6 1/6 1/2 1 Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 x6 1/6 1/2 -1/6 -1/2 3/2 5/6 -5/6 W = 0 cj Basis

Tabel 1 [Fase II] (Optimal) cB 4 3 Konstanta x1 x2 x3 x4 1 1/6 1/2 -1/2 3/2 5/6 Z = 13/2 cj Basis

Solusi tak layak (infeasible solution) Dengan metode big M Pada tabel optimal, satu atau lebih variabel semu tetap sebagai variabel basis Dengan metode dua-fase Pada tabel optimal pada fase I, nilai fungsi tujuannya adalah positif, dimana satu atau lebih variabel semu sebagai basis

Contoh masalah LP Memaksimumkan Z = 3x1 + 2x2 dengan pembatas-pembatas: 2x1 + x2  2 3x1 + 4x2 ≥ 12 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0

Bentuk standar Memaksimumkan Z = 3x1 + 2x2 dengan pembatas-pembatas: 2x1 + x2 + x3 = 2 3x1 + 4x2 - x4 = 12 x1, x2, x3, x4 ≥ 0

Penambahan variabel semu 2x1 + x2 + x3 = 2 3x1 + 4x2 - x4 + x5 = 12 x1, x2, x3, x4, x5 ≥ 0

Metode big M Memaksimumkan Z = 3x1 + 2x2 – Mx5 dengan pembatas-pembatas: 2x1 + x2 + x3 = 2 3x1 + 4x2 - x4 + x5 = 12 x1, x2, x3, x4, x5 ≥ 0

Tabel 1 cj Basis cB 3 2 -M Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 1 4 -1 12 Z = -12M -M Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 1 4 -1 12 3 + 3M 2 + 4M Z = -12M cj Basis

Tabel 2 cj Basis cB 3 2 -M Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 1 -5 -4 -1 4 Z = -M Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 1 -5 -4 -1 4 -1-5M -2– 4M Z = 4 – 4M cj Basis

Metode dua fasa Meminimumkan W = x5 dengan pembatas-pembatas: 2x1 + x2 + x3 = 2 3x1 + 4x2 - x4 + x5 = 12 x1, x2, x3, x4, x5 ≥ 0

Tabel 1 [Fase I] cj Basis cB 1 Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 2 3 4 -1 12 1 Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 2 3 4 -1 12 -3 -4 W = 12 cj Basis

Tabel 2 [Fase I] cj Basis cB 1 Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 2 -5 -4 -1 4 1 Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 2 -5 -4 -1 4 5 W = 4 cj Basis

Latihan Soal Maximize Z = x1 + 2x2 dengan pembatas-pembatas: Selesaikan dengan metode big M dan metode dua fasa

Metode Big M Bentuk standar : Maximize Z = x1 + 2x2 + 0x3 + 0x4 -M x5 dengan pembatas-pembatas: x1 + 3x2 + x3 = 11 2x1 + x2 - x4 + x5 = 9 x1, x2, x3, x4, x5, x6 ≥ 0

Tabel 1 cj Basis cB 1 2 -M Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 3 11 -1 9 Z = -9M -M Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 3 11 -1 9 1 + 2M 2 + M Z = -9M cj Basis

Tabel 2 cj Basis cB 1 2 -M Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 5/2 1/2 -1/2 13/2 -M Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 5/2 1/2 -1/2 13/2 9/2 3/2 -1/2-M Z = 9/2 cj Basis

Tabel 3 cj Basis cB 1 2 -M Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 2/5 1/5 -1/5 13/5 -M Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 2/5 1/5 -1/5 13/5 -3/5 3/5 16/5 -1/5-M Z = 42/5 cj Basis

Tabel 4 cj Basis cB 1 2 -M Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 5 -1 13 3 11 -M Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 5 -1 13 3 11 Z = 11 cj Basis

Metode Dua Fasa Minimize W = x5 dengan pembatas-pembatas: x1 + 3x2 + x3 = 11 2x1 + x2 - x4 + x5 = 9 x1, x2, x3, x4, x5, x6 ≥ 0

Tabel 1 [Fase 1] cj Basis cB 1 Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 3 11 2 -1 9 1 Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 3 11 2 -1 9 -2 W = 9 cj Basis

Tabel 2 [Fase 1] cj Basis cB 1 Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 5/2 1/2 -1/2 1 Konstanta x1 x2 x3 x4 x5 5/2 1/2 -1/2 13/2 9/2 W = 0 cj Basis

Tabel 1 [Fase 2] cj Basis cB 1 2 Konstanta x1 x2 x3 x4 5/2 1/2 13/2 Konstanta x1 x2 x3 x4 5/2 1/2 13/2 -1/2 9/2 3/2 Z = 9/2 cj Basis

Tabel 2 [Fase 2] cj Basis cB 1 2 Konstanta x1 x2 x3 x4 2/5 1/5 13/5 Konstanta x1 x2 x3 x4 2/5 1/5 13/5 -1/5 -3/5 16/5 Z = 42/5 cj Basis

Tabel 3 [Fase 2] cj Basis cB 1 2 Konstanta x1 x2 x3 x4 5 13 3 11 Konstanta x1 x2 x3 x4 5 13 3 11 -1 Z = 11 cj Basis

Selamat Belajar