GEOMETRI 1. Nyimas Ayu 2. Egi Diasafitri 3. Hesty Monica Disusun oleh: 1. Nyimas Ayu 2. Egi Diasafitri 3. Hesty Monica 4. Ahmad Fadhil 5. Bintang Fajar 6. Icha Apriani PEMERINTAH KABUPATEN BANGKA BARAT DINAS PENDIDIKAN PEMUDA DAN OLAHRAGA SMAN 1 MUNTOK Jln. Jend Sudirman No. 109 Muntok, Bangka Barat Tahun Ajaran 2014-2015

KATA PENGANTAR Puji syukur kami panjatkan kepada kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, yang telah mencurahkan segala nikmat dan karunia- Nya sehingga berkat rahmat dan ridho-Nya kami dapat menyelesaikan makalah ini dengan baik. Suatu kebahagiaan yang tidak ternilai bagi kami, yang telah menyelesaikan makalah ini, dengan judul “GEOMETRI”. Kami sangat menyadari keterbatasan pengalaman, pengetahuan, kemampuan dalam penyusunan makalah ini. Oleh karena itu, saran dan kritik yang bersifat membangun sangat diharapkan demi kesempurnaan penulisan di dalam karya karya kami selanjutnya. Akhirnya kami berharap semoga makalah ini bermanfaat bagi kami dan bagi para pembaca khususnya. Muntok, 14 April 2015 Penulis

PENGERTIAN GEOMETRI BAB 1 PENDAHULUAN Geometri adalah ilmu yang membahas tentang hubungan antara titik, garis, sudut, bidang dan bangun ruang. Ada 2 macam geometri,  (1) geometri datar dan (2) geometri ruang . Geometri Datar disebut juga geometri dimensi 2, disebut bangun datar apabila keseluruhan bangun itu terletak pada satu bidang . Geometri Ruang disebut juga geometri dimensi 3, disebut bangun ruang apabila titik-titik yang membentuk bangun itu tidak semuanya terletak pada satu bidang yang sama. Geometri bangun datar terdiri dari beberapa unsur yaitu titik sudut, sisi, bidang, dan sudut. Dan unsur dari geometri bangun ruang yaitu titik sudut, rusuk, bidang, sudut, diagonal bidang dan diagonal ruang.

BAB 2 PEMBAHASAN A. Unsur unsur dari bangun datar: 1. Titik sudut Dalam “dunia menulis” titik merupakan tanda yang digunakan untuk mengakhiri sebuah kalimat, sedangkan dalam “dunia matematika” titik merupakan sesuatu yang punya kedudukan, tetapi titik tidak punya ukuran. Sama seperti dalam dunia menulis, dalam dunia matematika titik direpresentasikan dengan sebuah noktah “.”. Hanya saja dalam dunia matematika titik diberi nama dengan menggunakan huruf kapital seperti A, B, atau C, dan seterusnya. Pada gambar di bawah ini diperlihatkan dua buah titik, yaitu titik B dan titik Q.

MACAM MACAM GEOMETRI Geometri terbagi atas beberapa macam antara lain : lingkaran, persegi panjang, persegi, trapesium, jajar genjang, layang layang, belah ketupat, dan segitiga. Berikut luas dan keliling bangun datar tersebut. 1. Lingkaran  lingkaran adalah himpunan semua titik pada bidang dalam jarak tertentu, yang disebut jari-jari, dari suatu titik tertentu, yang disebut pusat. Lingkaran adalah contoh dari kurva tertutup sederhana, membagi bidang menjadi bagian dalam dan bagian luar. panjang r adalah dari titik pusat lingkaran ke titik terluar lingkaran, sedangkan D adalah panjang dati titik terluar lingkaran dengan titik luar lingkaran lain dengan melewati titik tengah. Dengan kata lain r

Macam macam geometri Luas = Panjang x Lebar Keliling = 2 x (panjang + lebar) atau K = panjang + lebar + panjang + lebar Luas = sisi x sisi atau L = s2 Keliling = 4 x sisi atau K = sisi + sisi + sisi + sisi 2. Persegi panjang 3. Persegi

Luas = ½ x (diagonal 1 + diagonal 2) x tinggi Keliling  = (2 x sisi miring) + diagonal 1 + diagonal 2 Luas = alas x tinggi K = sisi + sisi + sisi + sisi 4. Trapesium 5. Jajar Genjang

Belah ketupat adalah bangun datar dua dimensi yang dibentuk oleh empat buah rusuk yang sama panjang, dan memiliki dua pasang sudut bukan siku-siku yang masing-masing sama besar dengan sudut di hadapannya. Belah ketupat dapat dibangun dari dua buah segitiga sama kaki identik yang simetri pada alas-alasnya. 6. Layang-layang 7. Belah Ketupat

8. Segitiga Segitiga adalah bangun datar yang memiliki 3 titik sudut dan memiliki 3 sisi. Segitiga memeiliki banyak bentuk diantaranya segitiga sama kaki, segitiga sama sisi, segitiga siku-siku dan segitiga sembarang. Luas = ½ x alas x tinggi atau L = (alas x tinggi) / 2 Keliling = sisi + sisi + sisi Khusus untuk Segitiga Siku-siku, panjang sisi miring terpanjang dapat dicari dengan menggunakan rumus phytagoras yaitu :

BAB 2 PEMBAHASAN A. Unsur unsur dari bangun datar: 1. Titik sudut Dalam “dunia menulis” titik merupakan tanda yang digunakan untuk mengakhiri sebuah kalimat, sedangkan dalam “dunia matematika” titik merupakan sesuatu yang punya kedudukan, tetapi titik tidak punya ukuran. Sama seperti dalam dunia menulis, dalam dunia matematika titik direpresentasikan dengan sebuah noktah “.”. Hanya saja dalam dunia matematika titik diberi nama dengan menggunakan huruf kapital seperti A, B, atau C, dan seterusnya. Pada gambar di bawah ini diperlihatkan dua buah titik, yaitu titik B dan titik Q.

BAB 2 PEMBAHASAN A. Unsur unsur dari bangun datar: 1. Titik sudut Dalam “dunia menulis” titik merupakan tanda yang digunakan untuk mengakhiri sebuah kalimat, sedangkan dalam “dunia matematika” titik merupakan sesuatu yang punya kedudukan, tetapi titik tidak punya ukuran. Sama seperti dalam dunia menulis, dalam dunia matematika titik direpresentasikan dengan sebuah noktah “.”. Hanya saja dalam dunia matematika titik diberi nama dengan menggunakan huruf kapital seperti A, B, atau C, dan seterusnya. Pada gambar di bawah ini diperlihatkan dua buah titik, yaitu titik B dan titik Q. Dan sudut adalah daerah yang dibatasi oleh dua garis dan titik. Untuk menyatakan nama, disertai suatu sudut dilambangkan dengan : "<" Huruf-huruf Yunani seperti : a, B, 0 dan lain-lain. Untuk mengukur sudut biasanya digunakan dengan busur. Jadi, titik sudut adalah titik yang menunjukan posisi atau daerah yang dibatasi oleh dua garis dan titik.

2. SISI Yang membuat perhitungan kubus menjadi lebih mudah dibandingkan dengan balok adalah itu karena semua sisi kubus memiliki panjang yang sama. Untuk mencari panjang rusuk sebuah kubus juga menjadi sangat gampang sekali.  Kubus memiliki 12 sisi yang sama panjang. Ok, sisi-sisi kubus adalah : AB, BC, CD, AD, EF, FG, GH, EH, AE, BF, CG dan DH. Misalkan panjang salah satu sisinya kita misalkan "S", Karena ada 12 sisi yang sama, maka panjang sisnya adalah : = 12 x S 3. BIDANG Adalah himpunan garis-garis yang anggotanya terdiri dari lebih dari satu buah garis. Jadi, pada sebuah bidang, terdiri dari banyak sekali garis. Model sebuah bidang adalah permukaan sebuah kertas yang dapat diperlebar ke semua arah. Bidang mempunyai ukuran panjang dan lebar serta diberi nama dengan menyebutkan titik-titik sudut dari bidang tersebut atau memakai huruf α, β, γ , dan seterusnya. Pada gambar di bawah ini diperlihatkan dua buah bidang, yaitu bidang α dan bidang ABCD.

Demikian konsep titik, garis dan bidang Demikian konsep titik, garis dan bidang. Dari pengertian titik, garis, dan bidang akan memunculkan aksioma atau postulat tentang titik, garis dan bidang yaitu: =>Melalui dua buah titik sembarang yang tidak berimpit hanya dapat dibuat satu garis lurus =>Melalui tiga titik sembarang, hanya dapat dibuat satu buah bidang. =>Melalui satu titik dan garis yang tidak melewati titik tersebut dapat dibuat sebuah bidang =>Melalui dua buah garis sejajar atau garis yang saling berpotongan dapat dibuat sebuah bidang. =>Jika suatu garis dan suatu bidang mempunyai dua titik persekutuan, maka garis itu seluruhnya terletak pada bidang. 4. SUDUT Sudut adalah daerah yang dibatasi oleh dua garis dan titikk. Untuk menyatakan nama, disertai suatu sudut dilambangkan dengan : "<" Huruf-huruf Yunani seperti : a, B, 0 dan lain-lain. Untuk mengukur sudut biasanya digunakan dengan busur. Cara Mengukur besarnya sudut dengan busur : - Letakkan menempel garis 0 derajat pada busur ke salah satu ruas garis yang akan diukur besar sudutnya. - Letakkan titik pusat busur ( titik pusat 1/2 lingkaran ) pada titik sudut dan ruas garis yang terletak didalam busur. - Ukur besar sudutnya dengan menggunakan skala pada busur.

Secara Garis Besar, besarnya suatu sudut terbagi menjadi tiga bagian, yaitu : - Sudut lancip yaitu sudut yang besarnya kurang dari 90 derajat. - Sudut siku-siku yaitu sudut yang besarnya 90 derajat. - Sudut tumpul yaitu sudut yang besarnya lebih dari 90 derajat.

B. Unsur unsur bangun ruang: 1 B. Unsur unsur bangun ruang: 1. Titik sudut Dalam “dunia menulis” titik merupakan tanda yang digunakan untuk mengakhiri sebuah kalimat, sedangkan dalam “dunia matematika” titik merupakan sesuatu yang punya kedudukan, tetapi titik tidak punya ukuran. Sama seperti dalam dunia menulis, dalam dunia matematika titik direpresentasikan dengan sebuah noktah “.”. Hanya saja dalam dunia matematika titik diberi nama dengan menggunakan huruf kapital seperti A, B, atau C, dan seterusnya. Pada gambar di bawah ini diperlihatkan dua buah titik, yaitu titik B dan titik Q. Dan sudut adalah daerah yang dibatasi oleh dua garis dan titik. Untuk menyatakan nama, disertai suatu sudut dilambangkan dengan : "<" Huruf-huruf Yunani seperti : a, B, 0 dan lain-lain. Untuk mengukur sudut biasanya digunakan dengan busur. Jadi, titik sudut adalah titik yang menunjukan posisi atau daerah yang dibatasi oleh dua garis dan titik.

2. RUSUK Yang membuat perhitungan kubus menjadi lebih mudah dibandingkan dengan balok adalah itu karena semua sisi kubus memiliki panjang yang sama. Untuk mencari panjang rusuk sebuah kubus juga menjadi sangat gampang sekali.  Kubus memiliki 12 sisi yang sama panjang. Ok, sisi-sisi kubus adalah : AB, BC, CD, AD, EF, FG, GH, EH, AE, BF, CG dan DH. Misalkan panjang salah satu sisinya kita misalkan "S", Karena ada 12 sisi yang sama, maka panjang rusuknya adalah : = 12 x S 3. BIDANG Adalah himpunan garis-garis yang anggotanya terdiri dari lebih dari satu buah garis. Jadi, pada sebuah bidang, terdiri dari banyak sekali garis. Model sebuah bidang adalah permukaan sebuah kertas yang dapat diperlebar ke semua arah. Bidang mempunyai ukuran panjang dan lebar serta diberi nama dengan menyebutkan titik-titik sudut dari bidang tersebut atau memakai huruf α, β, γ , dan seterusnya. Pada gambar di bawah ini diperlihatkan dua buah bidang, yaitu bidang α dan bidang ABCD.

Demikian konsep titik, garis dan bidang Demikian konsep titik, garis dan bidang. Dari pengertian titik, garis, dan bidang akan memunculkan aksioma atau postulat tentang titik, garis dan bidang yaitu: =>Melalui dua buah titik sembarang yang tidak berimpit hanya dapat dibuat satu garis lurus =>Melalui tiga titik sembarang, hanya dapat dibuat satu buah bidang. =>Melalui satu titik dan garis yang tidak melewati titik tersebut dapat dibuat sebuah bidang =>Melalui dua buah garis sejajar atau garis yang saling berpotongan dapat dibuat sebuah bidang. =>Jika suatu garis dan suatu bidang mempunyai dua titik persekutuan, maka garis itu seluruhnya terletak pada bidang. 4. SUDUT Sudut adalah daerah yang dibatasi oleh dua garis dan titikk. Untuk menyatakan nama, disertai suatu sudut dilambangkan dengan : "<" Huruf-huruf Yunani seperti : a, B, 0 dan lain-lain. Untuk mengukur sudut biasanya digunakan dengan busur. Cara Mengukur besarnya sudut dengan busur : - Letakkan menempel garis 0 derajat pada busur ke salah satu ruas garis yang akan diukur besar sudutnya. - Letakkan titik pusat busur ( titik pusat 1/2 lingkaran ) pada titik sudut dan ruas garis yang terletak didalam busur. - Ukur besar sudutnya dengan menggunakan skala pada busur.

Secara Garis Besar, besarnya suatu sudut terbagi menjadi tiga bagian, yaitu : - Sudut lancip yaitu sudut yang besarnya kurang dari 90 derajat. - Sudut siku-siku yaitu sudut yang besarnya 90 derajat. - Sudut tumpul yaitu sudut yang besarnya lebih dari 90 derajat.

5. DIAGONAL BIDANG Diagonal bidang suatu kubus adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang berhadapan pada setiap bidang atau sisi kubus. Sekarang coba perhatikan bidang ABEF pada gambar kubus ABCD.EFGH di bawah ini. Ruas garis yang menghubungkan titik sudut B dan E disebut diagonal bidang kubus. Setiap bidang pada kubus mempunyai dua diagonal bidang. Karena kubus memiliki 6 bidang sisi, maka kubus memiliki 12 diagonal bidang atau diagonal sisi. Bagaimana cara menghitung panjang diagonal bidang atau diagonal sisi pada kubus? Diagonal bidang atau sisi dapat ditentukan dengan menggunakan teorema phytagoras. Sekarang perhatikan gambar kuubus di bawah ini. Misalkan kubus ABCD.EFGH di atas memiliki rusuk s. Maka panjang BE dapat dihitung dengan menggunakan teorema phytagoras, di mana segitiga ABE siku-siku di A. Sehingga: BE = √(AB2 + AE2) BE = √(s2 + s2) BE = √2s2 BE = s√2 Misalkan diagonal bidang kubus adalah b maka secara umum diagonal bidang kubus dapat dirumuskan: b = s√2

6. Diagonal Ruang Kubus Diagonal ruang pada kubus adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang berhadapan dalam suatu ruang di dalam kubus. Sekarang coba perhatikan gambar berikut di bawah. Garis BH disebut diagonal ruang. Selain garis BH, ada juga garis AG, garis DF, dan garis CE yang merupakan diagonal ruang kubus. Diagonal-diagonal ruang tersebut akan berpotongan di satu titik. Suatu kubus memiliki empat buah diagonal ruang yang sama panjang dan berpotongan pada satu titik. Bagaimana menghitung panjang diagonal ruang balok? Sama seperti mencari diagonal bidang, untuk mencari diagonal ruang juga menggunakan teorema phyagoras. Sekarang perhatikan gambar di bawah ini. Misalkan kubus ABCD.EFGH di atas memiliki rusuk s. Maka panjang BH dapat dihitung dengan menggunakan teorema phytagoras. Tetapi sebelum itu harus cari panjang BD, di mana BD merupakan diagonal sisi. Sekarang perhatikan segitiga ABD  siku-siku di A. Sehingga: BD = s√2 Sekarang cari panjang BH dengan teorema phytagoras juga. Sekarang perhatikan segitiga BDH  siku-siku di D. Sehingga: BH = √(BD2 + DH2) BH = √(s√2)2 + s2) BH = √(2s2 + s2) BH = √(3s2) BH = s√3    Misalkan diagonal ruang kubus adalah d, maka secara umum diagonal ruang kubus dapat dirumuskan: d = s√3 

Bidang Diagonal Kubus Bidang diagonal suatu kubus adalah bidang yang dibatasi oleh dua rusuk dan dua diagonal bidang suatu kubus. Perhatikan balok ABCD.EFGH pada gambar di bawah ini.  Bidang ABGH disebut bidang diagonal. Kubus memiliki enam bidang diagonal yang berbentuk persegi panjang dan tiap pasangnya kongruen. Bagaimana menghitung luas bidang diagonal? Untuk menghitung luas bidang diagonal dapat menggunakan rumus luas persegi panjang. Sekarang coba perhatikan kembali gambar kubus ABCD.EFGH di atas, jika rusuknya s, maka luas bidang ABGH yakni: Luas ABGH = AB . BG Luas ABGH = s . s√2 Luas ABGH = s2√2  Untuk lebih memantapkan pemahaman Anda tentang diagonal bidang, diagonal ruang dan bidang diagonal ruang, silahkan perhatikan contoh soal berikut ini. Contoh Soal Sebuah kubus memiliki panjang rusuk 5 cm. Hitunglah panjang diagonal bidang, diagonal ruang dan luas salah satu bidang diagonal kubus tersebut. Penyelesaian: Panjang diagonal bidang yakni: b = s√2 b = 5√2 cm Panjang diagonal ruang yakni: d = s√3 d = 5√3 cm Luas bidang diagonal yakni: Luas = s2√2 Luas = (5 cm)2√2 Luas = 25√2 cm2

KESIMPULAN Karena balok dan kubus memiliki sifat yang hampir sama maka berikut sifat-sifat yang dimiliki oleh kubus juga dimiliki oleh balok. Memiliki 6 sisi (bidang) berbentuk persegi yang saling kongruen. Sisi (bidang) tersebut adalah bidang ABCD, ABFE, BCGF, CDHG, ADHE, dan EFGH.  Memiliki 12 rusuk yang sama panjang, yaitu AB , BC, CD , AD , EF , FG , GH , EH , AE , BF , CG , dan DH.  Memiliki 8 titik sudut, yaitu A, B, C, D, E, F, G, dan H.  Memiliki 12 diagonal bidang yang sama panjang, di antaranya AC , BD , BG , dan CF Memiliki 4 diagonal ruang yang sama panjang dan berpotongan di satu titik, yaitu AG , BH , CE , dan DF. Memiliki 6 bidang diagonal berbentuk persegi panjang yang saling kongruen, di antaranya bidang ACGE, BGHA, AFGD, dan BEHC.  

Menemukan konsep jarak titik, garis, sudut dan bidang Jarak Titik ke Titik Perhatikan gambar di bawah ini. Gambar di atas merupakan dua buah titik yaitu titik A dan titik B. Jarak dari titik A dan titik B dapat dicari dengan cara menghubungkan titik A ke titik B sehingga terjadi sebuah garis. Jarak kedua titik tersebut ditentukan oleh panjang garis itu. Jadi, jarak antara dua titik merupakan panjang ruas garis yang menghubungkan kedua titik tersebut Contoh Soal 1 Perhatikan gambar kubus PQRS.TUVW di bawah ini. Jika panjang rusuk kubus di atas adalah 8 cm dan titik X merupakan pertengahan antara rusuk PQ. Maka hitung jarak: a) titik W ke titik P b) titik W ke titik X c) titik W ke titik Q d) titik T ke titik X

Penyelesaian: a) titik W ke titik P merupakan panjang garis PW. Garis PW merupakan panjang diagonal sisi kubus, maka dengan menggunakan teorema phytagoras: PW =√(TW2 + PT2) PW =√(82 + 82) PW =√(64 + 64) PW =√128 PW =8√2 b) titik W ke titik X merupakan panjang garis WX. Panjang PX sama dengan setengah panjang rusuk PQ, maka: PX = ½ PQ = ½ 8 cm = 4 cm Dengan menggunakan teorema phytagoras: WX =√(PW2 + PX2) WX =√((8√2)2 + 42) WX =√(128 + 16) WX =√144 WX =12 cm c) titik W ke titik Q merupakan panjang garis QW. Garis QW merupakan panjangdiagonal ruang kubus, maka dengan menggunakan teorema phytagoras: QW =√(PW2 + PQ2) QW =√((8√2)2 + 82) QW =√(128 + 64) QW =√192 QW =8√3 cm d) titik T ke titik X merupakan panjang garis TX. Panjang PX sama dengan setengah panjang rusuk PQ, maka: PX = ½ PQ = ½ 8 cm = 4 cm Dengan menggunakan teorema phytagoras: TX =√(PT2 + PX2) TX =√(82 + 42) TX =√(64 + 16) TX =√80 TX =4√5 cm

Jarak Titik ke Garis Perhatikan gambar di bawah ini. Pada gambar di atas merupakan sebuah titik A dan sebuah garis g. Jarak antara titik A dan garis g dapat dengan membuat garis dari titik A ke garis g, memotong garis di titik P sehingga terjadi garis AP yang tegak lurus garis g. Jarak titik A ke garis g adalah panjang dari AP. Jadi, jarak antara titik dengan garis merupakan panjang ruas garis yang ditarik dari titik tersebut tegak lurus terhadap garis itu. Contoh Soal 2 Perhatikan gambar kubus PQRS.TUVW di bawah ini. Jika panjang rusuk kubus di atas adalah 8 cm dan titik X merupakan pertengahan antara rusuk PQ. Maka hitung jarak: a) titik X ke garis ST b) titik X ke garis RT

Perhatikan gambar di bawah ini Penyelesaian: Perhatikan gambar di bawah ini a) titik X ke garis ST merupakan panjang garis dari titik X ke titik M (garis MX) yang tegak lurus dengan garis ST, seperti gambar berikut. ST = PW dan MT = ½ ST = ½ PW = 4√2 Dengan menggunakan teorema phytagoras: MX =√(TX2 – MT2) MX =√((4√5)2 – (4√2)2) MX =√(80 – 32) MX =√48 MX =4√3 cm b) titik X ke garis RT merupakan panjang garis dari titik X ke titik N (garis NX) yang tegak lurus dengan garis RT, seperti gambar berikut. RT = QW dan NT = ½ RT = ½ QW = 4√3 NX =√(TX2 – NT2) NX =√((4√5)2 – (4√3)2) NX =√(80 – 48) NX =√32 NX =4√2 cm

Jarak Titik ke Bidang Perhatikan gambar di bawah ini. Gambar di atas merupakan sebuah tiktik A dan bidang α. Jarak titik A ke bidang α dapat dicari dengan menghubungkan titik A secara tegak lurus dengan bidang α. Jadi, jarak suatu titik ke suatu bidang adalah jarak dari titik tersebut ke proyeksinya pada bidang tersebut. Contoh Soal 3 Perhatikan gambar kubus PQRS.TUVW di bawah ini. Jika panjang rusuk kubus di atas adalah 8 cm dan titik X merupakan pertengahan antara rusuk PQ. Maka hitung jarak titik X ke bidang RSTU

Penyelesaian: Perhatikan gambar di bawah ini titik X ke bidang RSTU merupakan panjang garis dari titik X ke titik Z (garis MX) yang tegak lurus dengan bidang RSTU. XZ = ½ PW =4√2 cm

Sekian Persentasi Kami Bila ada kesalahan dalam persentasi, kami minta maaf, terima kasih, Wassalamualaikum wr wb