Pertemuan 5 Ukuran Pemusatan J0682

Tujuan Belajar Setelah mempelajari Bab ini mahasiswa diharapkan mampu : ▓ Mengetahui jenis-jenis ukuran pemusatan ▓ Menggunakan rumus-rumus ukuran pemusatan ▓ Menghitung beberapa ukuran pemusatan ▓ Memahami arti dan manfaat dari beberapa ukuran pemusatan

Materi ۩ Rata-rata hitung ۩ Median ۩ Modus ۩ Rata-rata ukur ۩ Rata-rata harmonis ۩Kuartil, desil, persentil

1 2 Buku Acuan keenam, halaman 61 – 79 . Statistik (2000) kar. J. Supranto, jilid 1 Chap.5 edisi keenam, halaman 61 – 79 . Statistika, Teori dan Aplikasi (2001), kar. Wayan Koster, edisi pertama, halaman 93 - 120 2

UKURAN NILAI PUSAT Ukuran nilai pusat : Merupakan ukuran yang dapat mewakili data secara keseluruhan Artinya : “ jika keseluruhan nilai yang ada dalam data tersebut diurutkan besarnya dan selanjutnya nilai rata rata tersebut dimasukan kedalam rata – ratanya” Maka nilai rata – rata tersebut cenderung terletak diurutan paling tengah /Pusat Ukuran nilai pusat : Rata – rata hitung (mean) Rata ukur (geometris) Rata harmonis Modus Median (Md) Rata kuadratik (tidak diajarkan)

A. Hitung rata – rata hitung dari data UKURAN NILAI PUSAT 04 - 01 Mean Rata hitung adalah nilai rata – rata dari data – data yang ada (yang tersedia) Mean dari populasi diberi simbol μ miu Mean dari sampel diberi simbol x bar = jumlah semua nilai data jumlah data Data tunggal A. Hitung rata – rata hitung dari data 7,6,3,4,8,8 jawab : x = 7,6,3,4,8,8 n = 6 = 7 + 6 + 3 + 4 + 8 + 8 = 36

Rumus : B. Sebuah perusahaan memiliki 40 pekerja dari keseluruhan pekerja, perusahaan membagi gaji karyawannya / bulan 5 orang bergaji Rp. 350.000 10 orang bergaji Rp. 250.000 25 orang bergaji Rp. 125.000 Frekuensi Ditanya : berapa rata – rata rupiah yang dikeluarkan oleh pemilik perusahaan / bulan pada setiap karyawan Jawab : menggunakan rumus yang ada frekuensinya

Jawab : Tabel berat badan 100 mahasiswa demonstrasi Berat badan Titik tengah Frekuensi fx (KG) (X) (F) 60 – 62 61 10 610 63 – 65 64 25 1600 66 – 68 67 32 2144 69 – 71 70 15 1050 72 – 74 73 18 1314 100 6718 BERAT BADAN JUMLAH MAHASISWA 60-62 63-65 66-68 69-71 72-74 10 25 32 15 18

Rumus :

2. RATA UKUR geometris Data tunggal Rumus : Contoh Ru = G = Mg = rata rata ukur n = banyak data Data tunggal Rumus : Log Ru = (log + log ..) Contoh Tentukan rata – rata ukur dari : 2,4,8,16,32 Jawab : =8 atau n = 5 Log Ru = (log 2 + log 4 + log 8 + log 16 + log 32) = (4,515) = 0,903

Data berkelompok Log Ru = 0,903 Ru = 8 (Anti log = shift log 0,903) Rumus : Log Ru = X = m = titik tengah Tabel hasil pengukuran 100 daun kelapa (mm) Pengukuran frekuensi 50 – 54 6 55 – 59 10 60 – 64 9 65 – 69 25 70 – 74 28 75 – 79 13 80 – 84 9 Jumlah 100

Ditanya : berapa rata – rata ukur dari data diatas Jawab : Log Ru = = 183,393 = 1,834 100 Ru = 68,23 Nilai f x Log x F * log x 50 – 54 55 – 59 60 – 64 65 – 69 70 – 74 75 – 79 80 – 84 6 10 9 25 28 13 52 57 62 67 72 77 82 1,716 1,756 1,792 1,826 1,857 1,886 1,914 10,296 17,560 16,132 45,652 52,005 24,524 17,224 Jumlah 100 183,393

RU untuk kenaikan atau pertumbuhan Untuk gejala yang sifatnya pertumbuhan atau kenaikan dengan syarat tertentu seperti pertumbuhan bakteri, penduduk dan kenaikan bunga bank rata ukur dapat dihitung.

Rumus : Pt = Po Pt = keadaan akhir pertumbuhan Po = keadaan awal pertumbuhan = rata – rata pertumbuhan t = satuan waktu yang digunakan Contoh Tentukan laju pertumbuhan rata – rata penduduk indonesia jika pada akhir tahun 1946 dan 1956 jumlah penduduk masing – masing 60 dan 78 juta Jawab : t = 10 (dari 1956 – 1946) Pt = 78 juta Po =60 juta Ditanya

Ditanya 78 = 60 (1 + ) 10 (1 + ) = 1,3 (1 + ) = (1,3)1/10 (1 + ) = 1,0266 = 0,0266 x = 2,66 %

3. RATA HARMONIS (RH) Data tunggal RH = = Contoh Tentukan rata – rata harmonis dari 2,5,7,9,12 Jawab : RH = Pak Dedi berpergian pulang pergi ke kantor dengan mobil. Waktu pergi ia menggunakan waktu 40 km / jam. Berapa rata – rata pulang pergi kecepatannya Jawab Data berkelompok Rumus :

Contoh Pengukuran F X F /X 50 – 54 6 52 0,115 55 – 59 10 57 0,175 60 – 64 9 62 0,145 65 – 69 25 67 0,373 70 – 74 28 72 0,389 75 – 79 13 77 0,169 80 – 84 9 82 0,110 Jumlah 100 1,476 RH = 100 = 67,75 1,476 Hubungan antara rata – rata hitung – rata ukur dan rata harmonis adalah : RH ≤ RU ≤ x rata2 4. Modus (mode) = Mo Adalah nilai yang paling sering muncul Sejumlah data bisa tidak punya modus Mempunyai satu modus disebut unimodal Mempunyai dua modus disebut bimodal Lebih dari dua modus disebut multimodal

Data Tunggal Tentukan Modus (mode) atau Mo dari data ini : A. 1,4,7,8,9,9,11 B. 1,4,7,8,9,11,13 C. 1,2,4,4,7,9,11,11,13 D. 1,1,3,3,7,7,12,12,14,15 Jawab a. Modus = 9 b. Modus = tidak ada c. Modus = 4 dan 11 d. Modus = 1,3,7 dan 12 Diketahui X1 = 75 X4 = 12 X2 = 100 X5 = 125 X3 = 150 X6 = 80 Maka modusnya = 125 Data berkelompok Rumus Mo = TKB +

TKB = Tepi kelas bawah dimana modus berada d 1 = Selisih frekuensi modus dengan frekuensi sebelum d 2 = selisih frekuensi mous dengan frekuensi sesudah i = panjang interval kelas Tabel Berat Badan 100 Demonstran Berat Badan (Kg) Jumlah mahasiswa (F) 60 – 62 10 63 – 65 25 66 – 68 32 69 – 71 15 72 – 74 13 Tentukan Modus dari data diatas Jawab TKB = 65,5 d 1 = 32 – 25 = 7 d 2 = 32 – 15 = 17 i = 3 Mo = 65,5 +

TM 32 B C 25 18 A D 15 10 29,5 62,5 65,5 68,5 71,5 74,5 Mo = 66,375

5. MEDIAN Kebaikan “Modus” 1. Lebih sukar dari rata – rata 2. Tidak tegas Kebaikan “Median” 1. Mudah dihitung 2. Tidak dipengaruhi oleh nilai ekstrim 3. Lebih mewakili dari pada rata rata 4. Dengan kelas terbuka median dapat dihitung Kelemahan “Median” 1. Data harus diurutkan 2. Kurang dikenal dari pada rata – rata 3. Tidak dapat dipergunakan untuk perhitungan lebih lanjut Me = Md ialah urutan rata rata yang didasarkan atas nilai data yang berada ditengah distribusi frekuensinya Syarat : data harus diurutkan dahulu

DATA TUNGGAL Jika jumlah data ganjil, Mediannya paling atau berada ditengah Jika jumlah data genap, Mediannya dijumlah lalu dibagi 2 Contoh : Tentukan Median dari data dibawah ini : 4,3,2,6,7,5,8 11,5,7,4,8,14,9,12 Jawab Data diurutkan + 2,3,4,5,6,7,8 n = 7 (ganjil) Me = 2. Urutkan data = 4,5,7,8,9,11,12,14 n = 8 (genap) Me = = DATA BERKELOMPOK Me = TKB +

TKB = Tepi kelas bawah i = Panjang interval kelas FKKDA = Frekuensi kumulatif kurang dari nilai tepi kelas yang ada di atas kelas Median FKKDB = Frekuensi komulatif kurang dari nilai tepi kelas bawah kelas Mediannya = Letak Mediannya Contoh : Data yang ada adalah : Berat badan F TK F.Kom < 60 – 62 10 59,5 0 63 – 65 25 62,5 10 66 – 68 32 65,5 35 FK bawah 69 – 71 15 68,5 67 FK Atas 72 – 74 18 100 = 50 Me = 65,5 + = 66,9

LATIHAN (Secara Median) Diameter Pipa (mm) Frekuensi 65 – 67 2 68 – 70 5 71 – 73 13 74 – 76 14 77 – 79 4 80 – 82 2 Hubungan antara rata Median dan Modus 1.Distribusi Simetris Jika rata – rata hitung, Median dan Modus memiliki nilai yang sama, maka kurvanya berbentuk simetris 2.Distribusi condong kanan Jika rata hitung > median dan > modus maka kurvanya mencong ke kanan

3. Distribusi Condong kekiri Jika rata hitung < median < modus Dari ketiga distribusi tersebut didapat rumus: Mo = - 3 ( - Me ) atau = atau Me = umpama, diket = 67,18 Mo = 66,375 berapa Me = ? Me = 2(67,18) + 66,375 = 66,91 3

FRAKTIL( Kuartil – Desil – Persentil ) KUARTIL Q atau K Ukuran letak yang membagi distribusi frekuensi menjadi 4 bagian yang sama 25% 25% 25% 25% K1 K2 K3 Q1 Q2 Q3 Letak Umpamanya ada data : X1 = 75 x3 = 100 x5 = 125 X2 = 80 x4 = 120

DATA TUNGGAL X1 = 75 X2 = 80 X3 = 100 X4 = 120 X5 = 125 K1 = 77,5 artinya besar keuntungan max dari pedagang yang tergolong 25% tingkat keuntungannya terendah K2 = 100 artinya besarnya keuntungan rata seluruh pedagang yang didasarkan pada median K3 = 122,5 artinya besarnya keuntungan min dari pedagang yang tergolong 25% tingkat keuntungannya tertinggi.

DATA BERKELOMPOK LK1 = 1(n) , LK2 = 2 (n) , LK3 = 3 (n) 4 4 4 Rumus K1 = TKb + LK1 – FKKDB X i FKKDA –FKKDB contoh data sudah diolah Kelas F T.K F. Kom < 59,4 0 60 – 62 10 62,5 10 63 – 65 25 65,5 35 25,LK1 = 100 / 4 66 – 68 32 68,5 67 50, LK2 = 200 / 4 69 – 71 15 71,5 82 75, LK = 300 / 4 72 – 74 18 74,5 100 K1 = 62,5 + 25 – 10 X 3 = 64,3 35 – 10 K2 = 65,5 + 50 - 35 x 3 = 66,9 67 – 35 K3 = 68,5 + 75 – 67 x 3 = 70,1 82 - 67

DESIL D = Kuartil Sekumpulan data dibagi 10 bagian sama banyak, setelah data diurutkan = Rumus kuartil, hanya dibagi 10 DATA TUNGGAL Letak D1 = LD1 = 1(n+1) 10 D9 = LD9 = 9(n+1) Contoh : Data sampel 3,5,7,8,10,10,12,14,14,14,15 Hitung desil ke 7 n = 11 LD7 = 7 (11 + 1) = 84 = 8,4 10 10 Data berada antara 8 dan 9

D7 = X8 + 0,4 (x9 – x8) = 14 + 0,4 (14 – 14) = 14 LD4 = 4 (11 + 1) = 4,8 10 data berada antara 4 dan 5 D4 = X4 + 0,8 (X5 – X4) = 8 + 0,8 (10 – 8) = 9,6 Contoh berkelompok Nilai F F kom 30 – 39 5 5 40 – 49 3 8 50 – 59 6 14 60 – 69 7 21 70 – 79 8 29 80 – 89 7 36 90 – 99 4 40 n = 40 Hitung desil ke 4 = D4 = TKB + LD4 – FKKDB x i FKKDA - FKKDB

LD4 = 4 (n) = 4(40) = 16 10 10 TKB = 60 – 0,5 = 59,5 Kelas desil = 60 – 69 i = 40 – 30 = 10 FKKDB = 5 + 3 + 6 = 14 FKKDA = 5 + 3 + 6 + 7 = 21 D4 = 59,5 + 16 – 14 x 10 21 – 14 = 62,36 Hitung desil ke 8 LD8 = 8(n) = 8(40) = 32 10 10 Kelas desil = 80 – 89 Tkb = 80 – 0,5 = 79,5 i = 40 – 30 = 10 FKKDB = 5+3+6+7+8 = 29 FKKDA = 5+3+6+7+8+7 = 36 D8 = 79,5 + 32 – 29 x 10 36 - 29

p1 p50 p99 Data berkelompok LD1 = 1(n) , LD7 = 7(n) 10 10 Rumus 10 10 Rumus D8 = TKB + LD8 – FKKDB x i FKKDA - FKKDB PERSENTIL Kuartil dan Desil datanya dibagi 100 sama banyak - Rumus Kuartil dan Desil, hanya dibagi 100 sama banyak DATA TUNGGAL P18 = LP18 = 18 (n+1) dan seterusnya 100 p1 p50 p99

Hitung Persentil ke 10(P10) dan persentil ke 76dr data brk ini: 20 21 22 24 26 26 27 30 31 31 33 35 35 35 36 37 37 38 39 40 41 41 42 43 44 46 47 48 49 50 n=30 P10=10(n+2) = 10(30+1) = 3.1 100 100 Data berada antara 3 dan 4 = x3 + 0.1 (x4 – x3) =22 + 0.1 =22.2 P76=76(n+2) = 76(30+1) = 23.56 Data berada antara 23 dan 24 = x23 + 0.56 (x24 – x23) =46 + 0.56 =42.56 DATA BERKELOMPOK LP21 = 21(n) , LP89 = 89(n) 100 100 Rumus : P36 = Tkb + LP36 – Fkkdb .i Fkkda - Fkdb

۩Sampai jumpa Pada Pertemuan 6 (F2F)