KONTINUITAS DAN TEOREMA HARGA EKSTRIM PERTEMUAN 4 KONTINUITAS DAN TEOREMA HARGA EKSTRIM

Sasaran Pengkajian mengenai Kontinuitas dan Teorema Harga Ekstrim. Juga dikaji cotoh-contoh dan latihan soal-soal yang berbobot dan menarik.

KONTINUITAS DAN TEOREMA HARGA EKSTRIM Pokok Bahasan KONTINUITAS DAN TEOREMA HARGA EKSTRIM

Definisi Suatu fungsi f: D  R dengan D  R disebut kontinu pada titik x0 dalam D bila untuk setiap barisan {xn} dalam D yang konvergen ke x0, barisan {f(xn)} konvergen ke f(x0). Fungsi f: D  R disebut kontinu bila f kontinu di setiap titik dalam D.

Gambar

Contoh Ambil fungsi f: R  R dengan f(x)= x2 - 2x + 4. Ambil sebarang titik x0 dalam R. Misalkan {xn} adalah barisan yang konvergen ke x0. Menggunakan sifat-sifat dari barisan yang konvergen, Jadi f kontinu di x0.

Definisi Diberikan dua fungsi f: D  R dan g:D  R. Yang dimaksud dengan jumlah f+g, selisih f-g, dan hasil kali f.g adalah fungsi – fungsi dari D ke R di mana (f+g)(x) = f(x) + g(x), (f-g)(x) = f(x) – g(x), (f.g)(x) = f(x).g(x) untuk setiap x dalam D. Bila g(x)  0 untuk setiap x dalam D, yang dimaksud dengan hasil bagi f/g adalah fungsi dari D ke R di mana (f/g)(x) = f(x) / g(x) untuk setiap x dalam D.

Teorema Diberikan fungsi – fungsi f: D  R dan g: D  R yang kontinu di x0 dalam D. Maka, jumlah f+g : D  R kontinu di x0, Selisih f-g : D  R kontinu di x0,   Hasil kali f.g : D  R kontinu di x0. Bila g(x)  0 untuk setiap x dalam D, maka hasil bagi f/g : D  R kontinu di x0.

Definisi Untuk setiap bilangan cacah k dan bilangan – bilangan c0, c1,… , ck, fungsi p: R  R di mana untuk semua x dalam R disebut polinomial. Bila ck  0, p: R  R dikatakan punya derajat k.

Akibat Misalkan p: R  R adalah polinomial. Maka p kontinu. Bila q: R  R juga polinomial dan himpunan D={ x dalam R: q(x)  0}, maka hasil bagi p/q: D  R juga kontinu.

Definisi Untuk fungsi-fungsi f: D  R dan g: U  R sedemikian sehingga f(D)  U, maka yang dimaksud dengan fungsi komposisi dari f dan g, ditulis g o f : D  R, didefinisikan dengan (gof)(x)=g(f(x)) untuk semua dalam D.

Teorema Untuk fungsi-fungsi f: D  R dan g: U  R sedemikian sehingga f(D)  U, misalkan f kontinu di x0 dalam D dan g kontinu di f(x0). Maka fungsi komposisi gof kontinu di x0.

Contoh Diberikan fungsi dari [-1,1] ke R. Karena polinomial- polinomial dan fungsi akar adalah kontinu dan berdasar pada teorema di atas maka fungsi h juga kontinu.

Teorema (Teorema Harga Ekstrim) Misalkan fungsi f:[a,b]  R adalah kontinu. Maka terdapat x1 dan x2 dalam [a,b] sedemikian sehingga f(x1)  f(x)  f(x2) untuk semua x dalam [a,b].

Gambar

f(x)  M untuk semua x dalam [a,b]. Lemma Misalkan f:[a,b]  R kontinu. Maka terdapat bilangan positif M sedemikian sehingga f(x)  M untuk semua x dalam [a,b].

Definisi Himpunan K dari bilangan–bilangan real disebut kompak bila setiap barisan dalam K punya barisan bagian yang konvergen ke suatu titik dalam K.

Teorema Misalkan K adalah kompak dan tidak kosong dan fungsi f: K  R adalah kontinu. Maka f mencapai maksimum dan minimumnya dalam K, yaitu terdapat x1 dan x2 dalam K sedemikian sehingga f(x1)f(x)f(x2) untuk semua x dalam K.