Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Probabilitas & Distribusi Sampling. Probability Distributions Continuous Probability Distributions Binomial Hypergeometric Poisson Probability Distributions.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Probabilitas & Distribusi Sampling. Probability Distributions Continuous Probability Distributions Binomial Hypergeometric Poisson Probability Distributions."— Transcript presentasi:

1 Probabilitas & Distribusi Sampling

2 Probability Distributions Continuous Probability Distributions Binomial Hypergeometric Poisson Probability Distributions Discrete Probability Distributions Normal Uniform Exponential

3 Distribusi Binomial

4 • Karakteristik dari Distribusi Binomial: – Suatu percobaan yang hanya mempunyai dua kemungkinan kejadian: “sukses” dan “gagal” – Eksperimen terdiri dari n kali pengulangan – Suatu percobaan dan percobaan lainnya bersifat independen – Jika p merupakan peluang “sukses”, maka (1-p) = q adalah peluang dari “gagal”

5 P(x) = Peluang x sukses dalam n kali percobaan, dg peluang sukses p pd setiap percobaan x = banyaknya ‘sukses’ dalam sampel, (x = 0, 1, 2,..., n) p = peluang “sukses” per percobaan q = peluang “gagal” = (1 – p) n = banyaknya percobaan (sample size) P(x) n x ! nx pq x n x ! ()!    Formula Distribusi Binomial Atau biasa juga ditulis sbb:

6 Contoh Percobaan pelemparan koin sebanyak 4 kali, mis: x = # kepala: • n = 4 • p = 0.5 • q = (1 - 0.5) = 0.5 • x = 3 Maka:

7 Using Binomial Tables n = 10 xp=.15p=.20p=.25p=.30p=.35p=.40p=.45p=.50 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.1969 0.3474 0.2759 0.1298 0.0401 0.0085 0.0012 0.0001 0.0000 0.1074 0.2684 0.3020 0.2013 0.0881 0.0264 0.0055 0.0008 0.0001 0.0000 0.0563 0.1877 0.2816 0.2503 0.1460 0.0584 0.0162 0.0031 0.0004 0.0000 0.0282 0.1211 0.2335 0.2668 0.2001 0.1029 0.0368 0.0090 0.0014 0.0001 0.0000 0.0135 0.0725 0.1757 0.2522 0.2377 0.1536 0.0689 0.0212 0.0043 0.0005 0.0000 0.0060 0.0403 0.1209 0.2150 0.2508 0.2007 0.1115 0.0425 0.0106 0.0016 0.0001 0.0025 0.0207 0.0763 0.1665 0.2384 0.2340 0.1596 0.0746 0.0229 0.0042 0.0003 0.0010 0.0098 0.0439 0.1172 0.2051 0.2461 0.2051 0.1172 0.0439 0.0098 0.0010 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 p=.85p=.80p=.75p=.70p=.65p=.60p=.55p=.50x Examples: n = 10, p =.35, x = 3: P(x = 3|n =10, p =.35) =.2522 n = 10, p =.75, x = 2: P(x = 2|n =10, p =.75) =.0004

8 Sifat dari b(x;n,p) sebagai fungsi distribusi probabilitas adalah: Karena seringkali kita memerlukan probabilitas untuk X dalam sebuah interval, misal P(X { "@context": "http://schema.org", "@type": "ImageObject", "contentUrl": "http://images.slideplayer.info/2004946/7/slides/slide_7.jpg", "name": "Sifat dari b(x;n,p) sebagai fungsi distribusi probabilitas adalah: Karena seringkali kita memerlukan probabilitas untuk X dalam sebuah interval, misal P(X

9 Contoh Probabilitas seorang pasien yg sakit suatu penyakit flu sembuh adalah 40%. Jikalau 15 orang diketahui telah tertular penyakit ini, berapakah probabilitasnya bahwa (a) paling tidak 10 orang sembuh, (b) antara 3 hingga 8 orang sembuh (c)tepat 5 orang sembuh?

10 Jawab Probabilitas “sukses”, yaitu sembuh adalah p =0.4. Variabel random X menyatakan banyak orang yang “sukses” = sembuh, sedangkan total percobaannya adalah n=15. a) P (paling tidak 10 sembuh) = P(X≥10) =1- P(X<10)= =1- B(r=9;n=15,p=0.4) = 1 – 0.9662 = 0.0338 b) P (antara 3 sd 8 sembuh) = P(3≤X≤8) =P(X≤8) - P(X<3) = =B(r=8;n=15,p=0.4) - B(r=2;n=15,p=0.4) = 0.9050-0.0271= 0.8779 c) P (5 sembuh) = P(X=5) =P(X≤5) - P(X<5) = =B(r=5;n=15,p=0.4) - B(r=4;n=15,p=0.4) = 0.4032-0.2173=0.1859

11 Tabel Distribusi Probabilitas Binomial Kumulatif B(r=1;n=2,p=0.30) = 0.9100

12 Mean & Variance Distribusi Binomial • Mean  Variance and Standard Deviation Dimanan = sample size p = peluang “sukses” q = (1 – p) = peluang “gagal”

13 Distribusi Multinomial

14 Percobaan binomial menjadi multinomial jika tiap trial/usaha menghasilkan lebih dari 2 kemungkinan untuk muncul. Bila suatu usaha tertentu dapat menghasilkan k macam hasil E 1, E 2, …E k dengan peluang p 1, p 2,..p k, maka distribusi peluang peubah acak X 1, X 2, …X k yang menyatakan banyak terjadinya E 1, E 2, …E k dalam n usaha yg independent ialah:

15 Contoh Dua dadu dilemparkan 6 kali, Berapa peluang mendapat jumlah 7 atau 11 muncul 2 kali, sepasang bilangan yang sama satu kali, dan kombinasi lainnya 3 kali? Jawab: E₁ = Kejadian jumlah 7 atau 11 muncul E₂ = Kejadian sepasang bilangan sama muncul E₃ = Kejadian kombinasi lainnya

16 Distribusi Poisson

17  Percobaan yg menghasilkan peubah acak X yang bernilai numerik  Banyaknya hasil selama selang waktu tertentu (menit, hari, minggu, bulan atau tahun)  Contoh: - banyak hubungan telepon per jam yang diterima sebuah kantor - banyak pasien yang antri perjam - banyak hari sekolah yg ditutup karena banjir

18 Poisson Distribution Formula where: t = size of the segment of interest x = number of successes in segment of interest  = expected number of successes in a segment of unit size e = base of the natural logarithm system (2.71828...)

19 Poisson Distribution Characteristics • Mean  Variance and Standard Deviation where  = number of successes in a segment of unit size t = the size of the segment of interest

20 Using Poisson Tables X tt 0.100.200.300.400.500.600.700.800.90 0123456701234567 0.9048 0.0905 0.0045 0.0002 0.0000 0.8187 0.1637 0.0164 0.0011 0.0001 0.0000 0.7408 0.2222 0.0333 0.0033 0.0003 0.0000 0.6703 0.2681 0.0536 0.0072 0.0007 0.0001 0.0000 0.6065 0.3033 0.0758 0.0126 0.0016 0.0002 0.0000 0.5488 0.3293 0.0988 0.0198 0.0030 0.0004 0.0000 0.4966 0.3476 0.1217 0.0284 0.0050 0.0007 0.0001 0.0000 0.4493 0.3595 0.1438 0.0383 0.0077 0.0012 0.0002 0.0000 0.4066 0.3659 0.1647 0.0494 0.0111 0.0020 0.0003 0.0000 Example: Find P(x = 2) if  = 0.005 and t = 100

21 Pendekatan Binomial ke Poisson Misalkan X peubah acak binomial dengan distribusi peluang b(x; n; p). Bila n ~, p 0, μ = np tetap sama, maka b(x; n, p) p(x; μ)

22 Contoh Rata-rata banyaknya partikel radioaktif yang melewati suatu penghitung selama 1 milidetik dalam suatu percobaan di laboratorium adalah 4. Berapakah peluang 6 partikel melewati penghitung itu dalam 1 milidetik tertentu?

23 Contoh Di dalam suatu proses produksi kaca, terjadi cacat atau gelembung yang terkadang menyebabkan produk tidak layak dijual. Diketahui rata- rata 1 dalam 1000 kaca yang dihasilkan mempunyai satu gelembung atau lebih. Berapa peluang sebuah sampel acak yang berisi 8000 kaca memuat kurang dari 7 kaca mempunyai gelembung? Jawab: Ini sebuah percobaan binomial dg n = 8000 dan p = 1/1000 = 0,001. Karena n sangat besar dan p mendekati nol maka digunakan hampiran poisson terhadap binomial dengan μ = np = (8000)(0,001) = 8 Bila X = banyak gelembung maka

24 Distribusi Hipergeometrik

25 • Perbedaan antara distribusi binomial dan distribusi hipergeometrik terletak pada cara pengambilan sampelnya. • Dalam binomial proses pengambilan sampel dilakukan dengan pengembalian (tiap kejadian saling bebas), • Sedang pengamatan pada hipergeometrik pengambilan sampel dilakukan tanpa pengembalian • Aplikasi banyak terdapat pada penerimaan sampel, pengujian elektronik dan pengendalian mutu • Dalam pengujian biasanya barang yang diuji menjadi rusak, jadi tidak bisa dikembalikan • Jika terdapat N benda, k benda adalah banyaknya sukses dan N – k adalah gagal

26 HIPERGEOMETRIK Distribusi peluang peubah acak hipergeometrik X, yaitu banyaknya sukses dalam sampel acak ukuran n yang diambil dari N benda yang mengandung k bernama sukses dan N-k bernama gagal

27 HIPERGEOMETRIK Rataan dan variansi distribusi hipergeometrik h(x;N,n,k) adalah

28 HIPERGEOMETRIK Contoh: Sebuah kotak berisi 40 suku cadang dikatakan memenuhi syarat penerimaan bila berisi tidak lebih dari 3 yang cacat. Cara sampling kotak ialah dengan memilih 5 suku cadang secara acak dari dalamnya dan menolak kotak tersebut bila diantaranya ada yang cacat. Berapakah peluang mendapatkan tepat satu yang cacat dalam sampel berukuran 5 bila kotak tersebut berisi 3 yang cacat?

29 HIPERGEOMETRIK Jawab: n = 5, N=40, k=3, x=1

30 Distribusi Normal

31 The Normal Distribution • ‘ Bell Shaped’ • Symmetrical • Mean, Median and Mode are Equal Location is determined by the mean, μ Spread is determined by the standard deviation, σ The random variable has an infinite theoretical range: +  to   Mean = Median = Mode x f(x) μ σ

32 DEFINISI KURVA NORMAL Bila X suatu variabel random normal dengan nilai tengah , dan standar deviasi , maka persamaan kurva normalnya adalah:  = 3,14159 e = 2,71828

33 • a  b x

34 TRANSFORMASI DARI NILAI X KE Z Transformasi dari X ke Z x z Di mana nilai Z:

35 Z > 0 jika x >  Z < 0 jika x <  Simetri :

36

37 Contoh : 1.Diketahui data berdistribusi normal dengan mean  = 55 dan deviasi standar = 15 a) P(55≤x≤75) = = = P(0≤Z≤1,33) = 0,4082 (Tabel III) Atau Tabel III  A = 0,4082

38 b) P(60≤x≤80) = = P(0,33≤Z≤1,67) = P(0≤Z≤1,67) – P(0≤Z≤0,33) = 0,4525 – 0,1293 = 0,3232 Z1 = = 0,33  B = 0,1293 Z2 = = 1,67  A = 0,4525 C = A – B = 0,3232

39 c) P(40≤x≤60)= A + B = = P(-1,00≤Z≤0,33) = P(-1,00≤Z≤0) + P(0≤Z≤0,33) = 0,3412 + 0,1293 = 0,4705 Atau : Z1 = = -1,00  A = 0,3412 Z2 = = 0,33  B = 0,1293

40 Distribusi Uniform

41 The Uniform Distribution • The uniform distribution is a probability distribution that has equal probabilities for all possible outcomes of the random variable

42 The Continuous Uniform Distribution: where f(x) = value of the density function at any x value a = lower limit of the interval b = upper limit of the interval The Uniform Distribution (continued) f(x) =

43 Uniform Distribution Example: Uniform Probability Distribution Over the range 2 ≤ x ≤ 6: 26.25 f(x) = =.25 for 2 ≤ x ≤ 6 6 - 2 1 x f(x)

44 Distribusi Sampel

45 Sampel • Sampel digunakan untuk mengestimasi Parameter populasi contoh: X adalah nilai estimasi dari rata-rata populasi, μ • Masalah: – Sampel yang berbeda akan menghasilkan estimasi populasi yang berbeda – Hasil sampel mempunyai potensi untuk bervariasi, sehingga muncullah sampling error

46 Sampling Error • Sampling Error: Perbedaan antara nilai sampel (statistik) dengan nilai populasi (parameter) Contoh: (rata-rata) Dimana:

47 Review • Rata-rata populasi: Rata-rata sampel: dimana: μ = rata-rata populasi x = rata-rata sampel x i = nilai dari populasi atau sampel N = Population size n = sample size

48 Distribusi Sampel • Suatu distribusi sampel adalah suatu distribusi peluang dari statistik sampel

49 Distribusi Sampel • Misal suatu populasi: • Jumlah Population N=4 • Random variable, x, adalah umur • Nilai x: 18, 20, 22, 24 (tahun) A B C D

50 .3.2.1 0 18 20 22 24 A B C D Uniform Distribution P(x) x (continued) Distribusi populasi: Distribusi Sampel

51 16 possible samples (sampling with replacement) Jika diambil sampel, n=2 (continued) Distribusi Sampel 16 rata-rata sampel

52 Distribusi sampel untuk semua rata-rata sampel 18 19 20 21 22 23 24 0.1.2.3 P(x) x Distribusi rata- rata sampel 16 Rata-rata sampel _ Distribusi Sampel (continued) (no longer uniform)

53 Summary Measures of this Sampling Distribution: Distribusi Sampel (continued)

54 Perbandingan Populasi dengan Distribusi Sampel 18 19 20 21 22 23 24 0.1.2.3 P(x) x 18 20 22 24 A B C D 0.1.2.3 Population N = 4 P(x) x _ Sample Means Distribution n = 2

55 Jika Populasi Berdistribusi Normal (TEOREMA) Jika suatu populasi berdistribusi normal dg rata-rata μ dan standar deviasi σ, distribusi sampling dari Juga berdistribusi normal dengan and

56 z-value for Sampling Distribution of x • Z-value untuk distribusi sampel dari : dimana:= rata-rata sampel = rata-rata populasi = standar deviasi populasi n = jumlah sampel

57 Finite Population Correction • Apply the Finite Population Correction if: – the sample is large relative to the population (n is greater than 5% of N) and… – Sampling is without replacement Then

58 Normal Population Distribution Normal Sampling Distribution (has the same mean) Sampling Distribution Properties • (i.e. is unbiased )

59 Chap 6-59 Sampling Distribution Properties • For sampling with replacement: As n increases, decreases Larger sample size Smaller sample size (continued)

60 If the Population is not Normal • We can apply the Central Limit Theorem: – Even if the population is not normal, – …sample means from the population will be approximately normal as long as the sample size is large enough – …and the sampling distribution will have and

61 Chap 6-61 n↑n↑ Central Limit Theorem As the sample size gets large enough… the sampling distribution becomes almost normal regardless of shape of population

62 Population Distribution Sampling Distribution (becomes normal as n increases) Central Tendency Variation (Sampling with replacement) Larger sample size Smaller sample size If the Population is not Normal (continued) Sampling distribution properties:

63 Example • Suppose a population has mean μ = 8 and standard deviation σ = 3. Suppose a random sample of size n = 36 is selected. • What is the probability that the sample mean is between 7.8 and 8.2?

64 Example Solution: • Even if the population is not normally distributed, the central limit theorem can be used (n > 30) • … so the sampling distribution of is approximately normal • … with mean = 8 • …and standard deviation (continued)

65 Example Solution (continued): (continued) z 7.8 8.2 -0.4 0.4 Sampling Distribution Standard Normal Distribution.1554 +.1554 Population Distribution ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? SampleStandardize

66 Distribusi Student-t

67

68 Population Proportions, p p = the proportion of population having some characteristic • Sample proportion ( p ) provides an estimate of p: • If two outcomes, p has a binomial distribution

69 Sampling Distribution of p • Approximated by a normal distribution if: – where and (where p = population proportion) Sampling Distribution P( p ).3.2.1 0 0. 2.4.6 8 1 p

70 z-Value for Proportions • If sampling is without replacement and n is greater than 5% of the population size, then must use the finite population correction factor: Standardize p to a z value with the formula:

71 Example • If the true proportion of voters who support Proposition A is p =.4, what is the probability that a sample of size 200 yields a sample proportion between.40 and.45?  i.e.: if p =.4 and n = 200, what is P(.40 ≤ p ≤.45) ?

72 Example • if p =.4 and n = 200, what is P(.40 ≤ p ≤.45) ? (continued) Find : Convert to standard normal:

73 Use standard normal table: P(0 ≤ z ≤ 1.44) =.4251 Example z.451.44.4251 Standardize Sampling Distribution Standardized Normal Distribution • if p =.4 and n = 200, what is P(.40 ≤ p ≤.45) ? (continued).400 p


Download ppt "Probabilitas & Distribusi Sampling. Probability Distributions Continuous Probability Distributions Binomial Hypergeometric Poisson Probability Distributions."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google