Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Probabilitas & Distribusi Sampling. Probability Distributions Continuous Probability Distributions Binomial Hypergeometric Poisson Probability Distributions.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Probabilitas & Distribusi Sampling. Probability Distributions Continuous Probability Distributions Binomial Hypergeometric Poisson Probability Distributions."— Transcript presentasi:

1 Probabilitas & Distribusi Sampling

2 Probability Distributions Continuous Probability Distributions Binomial Hypergeometric Poisson Probability Distributions Discrete Probability Distributions Normal Uniform Exponential

3 Distribusi Binomial

4 • Karakteristik dari Distribusi Binomial: – Suatu percobaan yang hanya mempunyai dua kemungkinan kejadian: “sukses” dan “gagal” – Eksperimen terdiri dari n kali pengulangan – Suatu percobaan dan percobaan lainnya bersifat independen – Jika p merupakan peluang “sukses”, maka (1-p) = q adalah peluang dari “gagal”

5 P(x) = Peluang x sukses dalam n kali percobaan, dg peluang sukses p pd setiap percobaan x = banyaknya ‘sukses’ dalam sampel, (x = 0, 1, 2,..., n) p = peluang “sukses” per percobaan q = peluang “gagal” = (1 – p) n = banyaknya percobaan (sample size) P(x) n x ! nx pq x n x ! ()!    Formula Distribusi Binomial Atau biasa juga ditulis sbb:

6 Contoh Percobaan pelemparan koin sebanyak 4 kali, mis: x = # kepala: • n = 4 • p = 0.5 • q = ( ) = 0.5 • x = 3 Maka:

7 Using Binomial Tables n = 10 xp=.15p=.20p=.25p=.30p=.35p=.40p=.45p= p=.85p=.80p=.75p=.70p=.65p=.60p=.55p=.50x Examples: n = 10, p =.35, x = 3: P(x = 3|n =10, p =.35) =.2522 n = 10, p =.75, x = 2: P(x = 2|n =10, p =.75) =.0004

8 Sifat dari b(x;n,p) sebagai fungsi distribusi probabilitas adalah: Karena seringkali kita memerlukan probabilitas untuk X dalam sebuah interval, misal P(X

9 Contoh Probabilitas seorang pasien yg sakit suatu penyakit flu sembuh adalah 40%. Jikalau 15 orang diketahui telah tertular penyakit ini, berapakah probabilitasnya bahwa (a) paling tidak 10 orang sembuh, (b) antara 3 hingga 8 orang sembuh (c)tepat 5 orang sembuh?

10 Jawab Probabilitas “sukses”, yaitu sembuh adalah p =0.4. Variabel random X menyatakan banyak orang yang “sukses” = sembuh, sedangkan total percobaannya adalah n=15. a) P (paling tidak 10 sembuh) = P(X≥10) =1- P(X<10)= =1- B(r=9;n=15,p=0.4) = 1 – = b) P (antara 3 sd 8 sembuh) = P(3≤X≤8) =P(X≤8) - P(X<3) = =B(r=8;n=15,p=0.4) - B(r=2;n=15,p=0.4) = = c) P (5 sembuh) = P(X=5) =P(X≤5) - P(X<5) = =B(r=5;n=15,p=0.4) - B(r=4;n=15,p=0.4) = =0.1859

11 Tabel Distribusi Probabilitas Binomial Kumulatif B(r=1;n=2,p=0.30) =

12 Mean & Variance Distribusi Binomial • Mean  Variance and Standard Deviation Dimanan = sample size p = peluang “sukses” q = (1 – p) = peluang “gagal”

13 Distribusi Multinomial

14 Percobaan binomial menjadi multinomial jika tiap trial/usaha menghasilkan lebih dari 2 kemungkinan untuk muncul. Bila suatu usaha tertentu dapat menghasilkan k macam hasil E 1, E 2, …E k dengan peluang p 1, p 2,..p k, maka distribusi peluang peubah acak X 1, X 2, …X k yang menyatakan banyak terjadinya E 1, E 2, …E k dalam n usaha yg independent ialah:

15 Contoh Dua dadu dilemparkan 6 kali, Berapa peluang mendapat jumlah 7 atau 11 muncul 2 kali, sepasang bilangan yang sama satu kali, dan kombinasi lainnya 3 kali? Jawab: E₁ = Kejadian jumlah 7 atau 11 muncul E₂ = Kejadian sepasang bilangan sama muncul E₃ = Kejadian kombinasi lainnya

16 Distribusi Poisson

17  Percobaan yg menghasilkan peubah acak X yang bernilai numerik  Banyaknya hasil selama selang waktu tertentu (menit, hari, minggu, bulan atau tahun)  Contoh: - banyak hubungan telepon per jam yang diterima sebuah kantor - banyak pasien yang antri perjam - banyak hari sekolah yg ditutup karena banjir

18 Poisson Distribution Formula where: t = size of the segment of interest x = number of successes in segment of interest  = expected number of successes in a segment of unit size e = base of the natural logarithm system ( )

19 Poisson Distribution Characteristics • Mean  Variance and Standard Deviation where  = number of successes in a segment of unit size t = the size of the segment of interest

20 Using Poisson Tables X tt Example: Find P(x = 2) if  = and t = 100

21 Pendekatan Binomial ke Poisson Misalkan X peubah acak binomial dengan distribusi peluang b(x; n; p). Bila n ~, p 0, μ = np tetap sama, maka b(x; n, p) p(x; μ)

22 Contoh Rata-rata banyaknya partikel radioaktif yang melewati suatu penghitung selama 1 milidetik dalam suatu percobaan di laboratorium adalah 4. Berapakah peluang 6 partikel melewati penghitung itu dalam 1 milidetik tertentu?

23 Contoh Di dalam suatu proses produksi kaca, terjadi cacat atau gelembung yang terkadang menyebabkan produk tidak layak dijual. Diketahui rata- rata 1 dalam 1000 kaca yang dihasilkan mempunyai satu gelembung atau lebih. Berapa peluang sebuah sampel acak yang berisi 8000 kaca memuat kurang dari 7 kaca mempunyai gelembung? Jawab: Ini sebuah percobaan binomial dg n = 8000 dan p = 1/1000 = 0,001. Karena n sangat besar dan p mendekati nol maka digunakan hampiran poisson terhadap binomial dengan μ = np = (8000)(0,001) = 8 Bila X = banyak gelembung maka

24 Distribusi Hipergeometrik

25 • Perbedaan antara distribusi binomial dan distribusi hipergeometrik terletak pada cara pengambilan sampelnya. • Dalam binomial proses pengambilan sampel dilakukan dengan pengembalian (tiap kejadian saling bebas), • Sedang pengamatan pada hipergeometrik pengambilan sampel dilakukan tanpa pengembalian • Aplikasi banyak terdapat pada penerimaan sampel, pengujian elektronik dan pengendalian mutu • Dalam pengujian biasanya barang yang diuji menjadi rusak, jadi tidak bisa dikembalikan • Jika terdapat N benda, k benda adalah banyaknya sukses dan N – k adalah gagal

26 HIPERGEOMETRIK Distribusi peluang peubah acak hipergeometrik X, yaitu banyaknya sukses dalam sampel acak ukuran n yang diambil dari N benda yang mengandung k bernama sukses dan N-k bernama gagal

27 HIPERGEOMETRIK Rataan dan variansi distribusi hipergeometrik h(x;N,n,k) adalah

28 HIPERGEOMETRIK Contoh: Sebuah kotak berisi 40 suku cadang dikatakan memenuhi syarat penerimaan bila berisi tidak lebih dari 3 yang cacat. Cara sampling kotak ialah dengan memilih 5 suku cadang secara acak dari dalamnya dan menolak kotak tersebut bila diantaranya ada yang cacat. Berapakah peluang mendapatkan tepat satu yang cacat dalam sampel berukuran 5 bila kotak tersebut berisi 3 yang cacat?

29 HIPERGEOMETRIK Jawab: n = 5, N=40, k=3, x=1

30 Distribusi Normal

31 The Normal Distribution • ‘ Bell Shaped’ • Symmetrical • Mean, Median and Mode are Equal Location is determined by the mean, μ Spread is determined by the standard deviation, σ The random variable has an infinite theoretical range: +  to   Mean = Median = Mode x f(x) μ σ

32 DEFINISI KURVA NORMAL Bila X suatu variabel random normal dengan nilai tengah , dan standar deviasi , maka persamaan kurva normalnya adalah:  = 3,14159 e = 2,71828

33 • a  b x

34 TRANSFORMASI DARI NILAI X KE Z Transformasi dari X ke Z x z Di mana nilai Z:

35 Z > 0 jika x >  Z < 0 jika x <  Simetri :

36

37 Contoh : 1.Diketahui data berdistribusi normal dengan mean  = 55 dan deviasi standar = 15 a) P(55≤x≤75) = = = P(0≤Z≤1,33) = 0,4082 (Tabel III) Atau Tabel III  A = 0,4082

38 b) P(60≤x≤80) = = P(0,33≤Z≤1,67) = P(0≤Z≤1,67) – P(0≤Z≤0,33) = 0,4525 – 0,1293 = 0,3232 Z1 = = 0,33  B = 0,1293 Z2 = = 1,67  A = 0,4525 C = A – B = 0,3232

39 c) P(40≤x≤60)= A + B = = P(-1,00≤Z≤0,33) = P(-1,00≤Z≤0) + P(0≤Z≤0,33) = 0, ,1293 = 0,4705 Atau : Z1 = = -1,00  A = 0,3412 Z2 = = 0,33  B = 0,1293

40 Distribusi Uniform

41 The Uniform Distribution • The uniform distribution is a probability distribution that has equal probabilities for all possible outcomes of the random variable

42 The Continuous Uniform Distribution: where f(x) = value of the density function at any x value a = lower limit of the interval b = upper limit of the interval The Uniform Distribution (continued) f(x) =

43 Uniform Distribution Example: Uniform Probability Distribution Over the range 2 ≤ x ≤ 6: f(x) = =.25 for 2 ≤ x ≤ x f(x)

44 Distribusi Sampel

45 Sampel • Sampel digunakan untuk mengestimasi Parameter populasi contoh: X adalah nilai estimasi dari rata-rata populasi, μ • Masalah: – Sampel yang berbeda akan menghasilkan estimasi populasi yang berbeda – Hasil sampel mempunyai potensi untuk bervariasi, sehingga muncullah sampling error

46 Sampling Error • Sampling Error: Perbedaan antara nilai sampel (statistik) dengan nilai populasi (parameter) Contoh: (rata-rata) Dimana:

47 Review • Rata-rata populasi: Rata-rata sampel: dimana: μ = rata-rata populasi x = rata-rata sampel x i = nilai dari populasi atau sampel N = Population size n = sample size

48 Distribusi Sampel • Suatu distribusi sampel adalah suatu distribusi peluang dari statistik sampel

49 Distribusi Sampel • Misal suatu populasi: • Jumlah Population N=4 • Random variable, x, adalah umur • Nilai x: 18, 20, 22, 24 (tahun) A B C D

50 A B C D Uniform Distribution P(x) x (continued) Distribusi populasi: Distribusi Sampel

51 16 possible samples (sampling with replacement) Jika diambil sampel, n=2 (continued) Distribusi Sampel 16 rata-rata sampel

52 Distribusi sampel untuk semua rata-rata sampel P(x) x Distribusi rata- rata sampel 16 Rata-rata sampel _ Distribusi Sampel (continued) (no longer uniform)

53 Summary Measures of this Sampling Distribution: Distribusi Sampel (continued)

54 Perbandingan Populasi dengan Distribusi Sampel P(x) x A B C D Population N = 4 P(x) x _ Sample Means Distribution n = 2

55 Jika Populasi Berdistribusi Normal (TEOREMA) Jika suatu populasi berdistribusi normal dg rata-rata μ dan standar deviasi σ, distribusi sampling dari Juga berdistribusi normal dengan and

56 z-value for Sampling Distribution of x • Z-value untuk distribusi sampel dari : dimana:= rata-rata sampel = rata-rata populasi = standar deviasi populasi n = jumlah sampel

57 Finite Population Correction • Apply the Finite Population Correction if: – the sample is large relative to the population (n is greater than 5% of N) and… – Sampling is without replacement Then

58 Normal Population Distribution Normal Sampling Distribution (has the same mean) Sampling Distribution Properties • (i.e. is unbiased )

59 Chap 6-59 Sampling Distribution Properties • For sampling with replacement: As n increases, decreases Larger sample size Smaller sample size (continued)

60 If the Population is not Normal • We can apply the Central Limit Theorem: – Even if the population is not normal, – …sample means from the population will be approximately normal as long as the sample size is large enough – …and the sampling distribution will have and

61 Chap 6-61 n↑n↑ Central Limit Theorem As the sample size gets large enough… the sampling distribution becomes almost normal regardless of shape of population

62 Population Distribution Sampling Distribution (becomes normal as n increases) Central Tendency Variation (Sampling with replacement) Larger sample size Smaller sample size If the Population is not Normal (continued) Sampling distribution properties:

63 Example • Suppose a population has mean μ = 8 and standard deviation σ = 3. Suppose a random sample of size n = 36 is selected. • What is the probability that the sample mean is between 7.8 and 8.2?

64 Example Solution: • Even if the population is not normally distributed, the central limit theorem can be used (n > 30) • … so the sampling distribution of is approximately normal • … with mean = 8 • …and standard deviation (continued)

65 Example Solution (continued): (continued) z Sampling Distribution Standard Normal Distribution Population Distribution ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? SampleStandardize

66 Distribusi Student-t

67

68 Population Proportions, p p = the proportion of population having some characteristic • Sample proportion ( p ) provides an estimate of p: • If two outcomes, p has a binomial distribution

69 Sampling Distribution of p • Approximated by a normal distribution if: – where and (where p = population proportion) Sampling Distribution P( p ) p

70 z-Value for Proportions • If sampling is without replacement and n is greater than 5% of the population size, then must use the finite population correction factor: Standardize p to a z value with the formula:

71 Example • If the true proportion of voters who support Proposition A is p =.4, what is the probability that a sample of size 200 yields a sample proportion between.40 and.45?  i.e.: if p =.4 and n = 200, what is P(.40 ≤ p ≤.45) ?

72 Example • if p =.4 and n = 200, what is P(.40 ≤ p ≤.45) ? (continued) Find : Convert to standard normal:

73 Use standard normal table: P(0 ≤ z ≤ 1.44) =.4251 Example z Standardize Sampling Distribution Standardized Normal Distribution • if p =.4 and n = 200, what is P(.40 ≤ p ≤.45) ? (continued).400 p


Download ppt "Probabilitas & Distribusi Sampling. Probability Distributions Continuous Probability Distributions Binomial Hypergeometric Poisson Probability Distributions."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google