Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Prostok-4-firda 1 4. PROSES POISSON. Prostok-4-firda 2 Proses stokastikdikatakan proses menghitung (counting process) jika menyatakan banyaknya kejadian.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Prostok-4-firda 1 4. PROSES POISSON. Prostok-4-firda 2 Proses stokastikdikatakan proses menghitung (counting process) jika menyatakan banyaknya kejadian."— Transcript presentasi:

1 Prostok-4-firda 1 4. PROSES POISSON

2 Prostok-4-firda 2 Proses stokastikdikatakan proses menghitung (counting process) jika menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi selama waktu t (S.Osaki,1992). Contoh: 1.adalah banyaknya bayi yang lahir selama waktu t. Maka proses menghitung. 2. adalah banyaknya orang yang datang ke Toserba Grya dalam waktu Maka proses menghitung. Definisi : 4.1 Proses Menghitung

3 Prostok-4-firda 3 Proses menghitungmemenuhi sifat: (i) (ii) (iii) Jika adalah bilangan bulat maka (iv) Untukmenyatakan banyaknya kejadian yang terjadi pada interval waktu

4 Prostok-4-firda 4  Proses menghitung disebut proses dengan kenaikan bebas (independent increments) jika banyaknya kejadian yang terjadi pada interval waktu terpisah adalah saling bebas. artinya, banyaknya kejadian yang terjadi pd waktu t, (yaitu N(t)), bebas dari banyaknya kejadian yang terjadi pd waktu antara t dan t + s, (yaitu N(t+s)-N(t)).

5 Prostok-4-firda 5  Proses menghitung disebut proses dengan kenaikan stasioner (stationary increments) jika distribusi dari banyaknya kejadian yang terjadi pada interval waktu tertentu hanya tergantung pada panjang dari interval tersebut, tidak bergantung pada letak interval tersebut. Artinya, banyaknya kejadian pada interval waktu (yaitu mempunyai distribusi yang sama dengan banyaknya kejadian pada interval waktu (yaitu untuk semua

6 Prostok-4-firda 6 Definisi: Fungsidikatakanjika Contoh: Untuk interval waktu yang kecil ( h >0), (tidak ada kejadian pada interval waktu yg kecil h >0) (peluang ada kejadian pada interval waktu yg kecil h >0)

7 Prostok-4-firda 7 7 Definisi 1: Suatu proses menghitung dikatakan proses Poisson dengan laju (parameter) jika memenuhi: (i) (ii) Proses mempunyai kenaikan bebas stasioner (stationary independent increments) (iii) (iv) (S. Osaki,1992) 4.2 Definisi Proses Poisson

8 Prostok-4-firda 8 8 Dari definisi ini, untuk berlaku, (menyatakan peluang bahwa ada k kejadian yang terjadi pada interval (0, t ]. Karena proses Poisson stasioner,maka hukum peluang total

9 Prostok-4-firda 9 9 Definisi 2: Suatu proses menghitung dikatakan proses Poisson dengan laju (parameter) jika memenuhi: (i) (ii) Proses mempunyai kenaikan bebas (independent increments) (iii) Peluang ada k kejadian dalam interval waktu t : (S. Osaki,1992)

10 Prostok-4-firda 10 rate (laju dari proses) = rata-rata banyaknya kejadian yang terjadi per waktu t. Maka

11 Prostok-4-firda 11 Definisi 1 dan Definisi 2 ekivalen Bukti: (a) Definisi 1  Definisi 2 Sifat (i), (ii) jelas Selanjutnya, tulis

12 Prostok-4-firda 12 kenaikan bebas kenaikan stasioner Sifat (iii),(iv) Untuk k = 0,

13 Prostok-4-firda 13 Dari bentuk diperoleh : Dengan syarat awal

14 Prostok-4-firda 14 Untuk

15 Prostok-4-firda 15 atau Dari sini diperoleh : Atau ditulis, PDB linear

16 Prostok-4-firda 16 Untuk k =1, Dengan induksi matematik diperoleh: Dengan syarat awal P 1 (0)=0, diperoleh: Hal ini menunjukkan (Sifat (iii) Definisi 2).

17 Prostok-4-firda 17 (b) Definisi 2  Definisi 1 Sifat (i) jelas Dari sifat (iii) definisi 2, mempunyai distribusi yang sama dengan Artinya, punya kenaikan stasioner (sifat (ii) definisi 1). Selanjutnya, dari sifat (iii) definisi 2,

18 18 (memenuhi sifat (iii) definisi 1). Selanjutnya, (memenuhi sifat (iv) definisi 1.

19 Prostok-4-firda 19 Contoh: 1. Pelanggan tiba di toko mengikuti proses Poisson dengan laju 2 orang per jam selama jam kerja dari pukul ( t= 0) sampai pukul a. Tentukan peluang bahwa k pelanggan ( k = 0,1,2) datang pada pukul – b. Tentukan mean dan variansi dari kedatangan pelanggan selama jam kerja.

20 Prostok-4-firda 20 Jawab: a. waktu: –  t =2.

21 Prostok-4-firda 21 b. Selama jam kerja ( – )  t = 8 2. Panggilan telepon mengikuti proses Poisson dengan laju 10/jam. a. Tentukan peluang bahwa ada 8 panggilan telepon terjadi pada satu jam pertama. b. Tentukan peluang terdapat 3 panggilan telepon pada setengah jam pertama dan 6 panggilan telepon pada setengah jam kedua.

22 Prostok-4-firda 22 Jawab: a. b. kenaikan bebas kenaikan stasioner

23 Waktu antar kedatangan 23 Berdasarkan proses menghitung N ( t ) menyatakan banyaknya kejadian sampai waktu t. Perhatikan bahwa kejadian-kejadian tersebut dapat terjadi kapan saja dalam interval (0,t]. Misalkan kejadian pertama terjadi pada saat disini Kejadian kedua terjadi pada saat dan Disini, adalah panjang waktu terjadinya kejadian ke k +1 setelah kejadian ke k. Panjang selang ini disebut dengan waktu antar kedatangan/waktu antar kejadian.

24 Ilustrasi Prostok-4-firda 24 Waktu antar kedatangan

25 Prostok-4-firda 25 Definisi: Berdasarkan proses menghitung Misalkan adalah waktu dari kejadian pertama. Untukmisalkanadalah waktu antara kejadian ke ( n -1) dan kejadian ke n. Makadisebut barisan waktu antar kedatangan/waktu antar kejadian.

26 Prostok-4-firda 26 Teorema Waktu antar kedatangandari suatu proses Poisson adalah saling bebas dan berdistribusi eksponensial dengan parameter Bukti: Catat bahwa, terjadi jika tidak ada kejadian dari proses Poisson yang terjadi pada interval [0,t]. Akan ditunjukkan Ini identik dengan 4.3 Distribusi Waktu Antar Kedatangan 0tX1

27 Prostok-4-firda 27 maka Jadi Untuk kita dapatkan distribusi bersyarat dengan kejadian pertama terjadi pada waktu s. kenaikan bebas kenaikan stasioner

28 Prostok-4-firda 28 Dengan induksi matematika, kita dapatkan, tiap waktu antar kedatangan adalah saling bebas dan berdistribusi eksponensial dengan parameter. (terbukti) Contoh Jika kedatangan pasien ke sebuah rumah sakit mengikuti proses Poisson dengan laju 5/jam, tentukan distribusi peluang dari waktu antar kedatangan pasien ke 10 dan ke 11. Jawab: Berdasarkan teorema, waktu antar kedatangan pasien berdistribusi eksponensial dengan parameter 5/jam.

29 Prostok-4-firda 29 Soal 1.Toko buka dari pukul 9.00 sampai Pelanggan datang mengikuti proses Poisson dengan laju 10 orang per jam selama jam kerja. a. Tentukan mean dan variansi kedatangan pelanggan selama jam kerja. b. Tentukan peluang tidak ada pelanggan yang datang dalam waktu setengah jam. 2. Toko buka dari pukul 9.00 sampai Pelanggan datang mengikuti proses Poisson dengan mean dari waktu antar kedatangan adalah 6 menit. a. Tentukan peluang ada k pelanggan ( k =0,1,2) datang dalam waktu setengah jam b. Tentukan mean dan variansi kedatangan pelanggan selama jam kerja.

30 Prostok-4-firda Banyaknya panggilan telepon di suatu kantor mengikuti proses Poisson dengan laju 2 kali per menit. Tentukan peluang bahwa selang waktu antara 2 panggilan berturutan tidak lebih dari 4 menit. 4. Jika adalah suatu proses Poisson, Tunjukkan bahwa untuk

31 Prostok-4-firda 31 Jika adalah waktu tunggu sampai kejadian ke n, maka Realisasi dari waktu antar kedatangan dan waktu tunggu Waktu menunggu dan distribusinya Waktu menunggu sampai kejadian ke n adalah :

32 Prostok-4-firda 32 Untuk proses Poisson, Perhatikan waktu tunggu, Karena adalah bebas dan maka

33 Prostok-4-firda 33 Hubungan antara

34 Prostok-4-firda 34 Teorema Untuk proses Poisson dengan laju yakni Ekivalen dengan yakni

35 Prostok-4-firda Distribusi bersyarat waktu antar kedatangan Distribusi bersyarat dari waktu antar kedatangan pertama diberikan ada kejadian pada waktu [0,t], Untuk

36 Prostok-4-firda 36 Superposisi proses Poisson Misalkan proses Maka proses Poison dengan laju adalah proses Poisson dengan laju juga merupakan dan Bukti: Cobakan…

37 Prostok-4-firda Proses Poisson Nonhomogen Definisi: Proses menghitung dikatakan proses Poisson Nonhomogen atau nonstasioner dengan fungsi intensitas jika memenuhi: (i) N (0) = 0 (ii) Proses mempunyai kenaikan bebas (iii) (iv)

38 Prostok-4-firda 38 Proses Poisson homogen mempunyai parameter Proses Poisson nonhomogen mempunyai parameter Yakni, Maka kita punyai, disebut fungsi intensitas.

39 Prostok-4-firda Banyaknya pelanggan yang datang ke suatu toko mengikuti proses Poisson dengan laju 3 orang perjam. a. Tentukan nilai harapan jumlah pelanggan yang datang antara pukul 8.00 dan di suatu pagi. b. Tentukan peluang bahwa untuk menunggu datangnya 7 pelanggan dibutuhkan waktu lebih dari 2 jam. 2. Banyaknya kecelakaan pada jalan tol mengikuti proses Poisson dengan laju 13 kali perbulan. a. Tentukan peluang bahwa selang waktu antara 2 kecelakaan berturut-turut tidak lebih dari 2 hari. Soal

40 Prostok-4-firda 40 b. Tentukan nilai harapan jumlah kecelakaan yang terjadi antara bulan Maret 2011 dan bulan Juli (catat bahwa 1 bulan = 30 hari). 3. Supermarket buka dari pukul sampai pukul Pelanggan datang mengikuti proses Poisson non homogen dengan fungsi intensitas: a.Hitung rataan dan variansi dari kedatangan pelanggan pada waktu kerja dari – b. Hitung rataan dan variansi dari kedatangan pelanggan pada pukul –


Download ppt "Prostok-4-firda 1 4. PROSES POISSON. Prostok-4-firda 2 Proses stokastikdikatakan proses menghitung (counting process) jika menyatakan banyaknya kejadian."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google