Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”"— Transcript presentasi:

1

2 Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”

3 PRESENTASI PENILAIAN MATERI PERS DIFERENSIAL MATERI PERS DIFERENSIAL Oleh: Drs. Nandang, MPd. (Dosen Prodi Pend. Matematika FKIP Unwir) PERKENALAN

4 NANDANG JL.GUNUNG CIREMAI BLOK 16, NO. 10 TLP. (0234) HP

5  KEHADIRAN (KHD)  TUGAS (TGS)  UJIAN TENGAH SEMESTER (UTS)  UJIAN AKHIR SEMESTER (UAS) NA = [10(KHD)+20(TGS)+30(UTS)+40(UAS)]/ <= NA <=100 (A) NA = NILAI AKHIR KOMPONEN PENILAIAN

6 MATERI PERS DIFERENSIAL DEFINISI PERSAMAAN DIFERENSIAL DEFINISI PERSAMAAN DIFERENSIAL  DEFINISI PERSAMAAN DIFERENSIAL DEFINISI PERSAMAAN DIFERENSIAL PERS DIFERENSIAL KOEFISIEN LINIER PERS DIFERENSIAL KOEFISIEN LINIER  PERS DIFERENSIAL KOEFISIEN LINIER PERS DIFERENSIAL KOEFISIEN LINIER  PERS DIFERENSIAL EKSAK PERS DIFERENSIAL EKSAK PERS DIFERENSIAL EKSAK  FAKTOR INTEGRASI FAKTOR INTEGRASI FAKTOR INTEGRASI  PERS DIFERENSIAL LINIER PERS DIFERENSIAL LINIER PERS DIFERENSIAL LINIER  PERS DIFERENSIAL HOMOGEN PERS DIFERENSIAL HOMOGEN PERS DIFERENSIAL HOMOGEN  PERS DIFERENSIAL TIDAK HOMOGEN PERS DIFERENSIAL TIDAK HOMOGEN PERS DIFERENSIAL TIDAK HOMOGEN

7 Definisi Persamaan Diferensial Suatu persamaan yang mengandung satu atau beberapa turunan dari suatu fungsi yang tidak diketahui dinamakan persamaan diferensial.

8 ORDE DAN DEGREE PD 1. Orde (tingkat) PD adalah tingkat tertinggi turunan yang muncul pada PD tersebut. 2. Degree (derajat) PD yang dapat ditulis sebagai polinomial dalam turunan adalah derajat turunan tingkat tertinggi yang muncul pada PD tersebut.

9 Beberapa Contoh PD

10 SOLUSI INTEGRASI LANGSUNG Selesaikan PD berikut! Penyelesaian: (fungsi kuadrat) home

11 PERSAMAAN DIFERENSIAL DENGAN KOEFISIEN LINIER PERSAMAAN DIFERENSIAL DENGAN KOEFISIEN LINIER

12 PD dgn Koefisien Linier Bentuk umum: (ax + by + c)dx + (px +qy + r)dy = 0 …(*) Jika c = r = 0, maka (*) menjadi: (ax + by)dx + (px + qy)dy = 0, (PDH) Jika px + qy = k(ax + by), maka (*) menjadi: (ax + by + c)dx + (k(ax + by) + r)dy =0, PDVT

13 Jika a/p ≠ b/q, c ≠ 0, r ≠ 0, maka (*) dapat mengambil bentuk: Jika a/p ≠ b/q, c ≠ 0, r ≠ 0, maka (*) dapat mengambil bentuk: ax + by + c = 0 px + qy + r = 0 adalah persamaan dua garis yang berpotongan, misal TP(x 1, y 1 ) maka lakukan substitusi: X = x – x 1 atau x = X + x 1, dx = dX Y = y – y 1 atau y = Y + y 1, dy = dY terhadap persamaan (*)

14 maka diperoleh: (aX + bY)dX + (pX + qY)dY=0, PDH selanjutnya lakukan substitusi Y = vX, atau dY = vdX + Xdv.

15 Contoh soal Selesaikan persamaan di bawah ini! home

16 PERSAMAAN DIFERENSIAL EKSAK PERSAMAAN DIFERENSIAL EKSAK

17 Pers Diferensial Eksak Bentuk umum: adalah PD eksak bila ruas kiri adalah diferensial dari f(x,y) =0.

18 Maka : Jika persamaan (*) merupakan PD Eksak, maka berlaku Jika maka persamaan (*) merupakan PD Eksak.

19 Soal latihan Selesaikan persamaan di bawah ini! Penyelesaian: (PDE)

20 home

21 FAKTOR INTEGRASI FAKTOR INTEGRASI

22 FAKTOR INTEGRASI Dik: P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 ……(*) Jika pers (*) tidak eksak, maka dapat dijadikan PDE. Caranya yaitu kalikan pers (*) dengan suatu fungsi tertentu, misal u(x, y) yang dinamakan faktor integrasi. Sehingga persamaan (*) menjadi: uP(x, y)dx + uQ(x, y)dy = 0 ……(**). Persamaan (**) sudah menjadi PDE, selajutnya selesaikan persamaan tersebut sesuai dengan prosedur yang berlaku.

23 Bila diberikan suatu persamaan diferensial yang tidak eksak, maka faktor integrasi dapat dicari dengan beberapa kemungkinan berikut. Faktor integrasi hanya tergantung dari fungsi x, maka fungsi x dapat dicari dengan cara: Maka faktor integrasi dapat ditentukan dengan cara:

24 Faktor integrasi hanya tergantung dari fungsi y, maka fungsi y dapat dicari dengan cara: Maka faktor integrasi dapat ditentukan dengan cara: Bila faktor integrasi sudah diperoleh kalikan terhadap pers (*) untuk mengasilkan pers (**) sehingga terbentuk PDE.

25 Contoh soal Selesaikan persamaan di bawah ini! Penyelesaian: Karena maka bukan PDE. Selanjutnya

26 Sehingga faktor integrasi yang dicari adalah: Kemudian kalikan faktor tersebut terhadap persamaan semula, maka diperoleh persamaan baru (PDE), yaitu:

27 Setelah menjadi PDE, selesaikan sesuai dengan prosedur yang benar, untuk memperoleh:

28 Kemungkinan lain untuk mencari faktor integrasi adalah: Jika pers (*) merupakan PDH dan maka faktor integrasi adalah

29 Jika pers (*) dapat ditulis dalam bentuk yf(xy)dx+xg(xy)dy=0 dan f(xy) ≠ g(xy), maka faktor integrasi adalah:

30 Soal latihan

31 A B C D

32 Coba lagi ya!

33 Terima kasih, Anda berhasil home

34 PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER (PDL) PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER (PDL)

35 Pers Diferensial Linier Bentuk umum: P dan Q adalah fungsi-fungsi dari x. ………(i)

36 Salah satu cara untuk menyelesaikan persamaan (i) di atas adalah dengan memisalkan y = uv, dimana u dan v masing-masing fungsi dari x. Karena y = uv, maka y ’ = u ’ v + uv ’ ……….(ii) Dari pers (i) dan (ii) diperoleh: u ’ v +uv ’ + Puv = Q atau v(u ’ + Pu) + uv ’ = Q, dalam hal ini ambil syarat (u ’ + Pu)=0 atau uv ’ = Q ……(iii)

37 Karena (u’ + Pu)=0, maka

38 Karena Berdasarkan pemisalan y = uv, maka dari persamaan (*) dan (**) diperoleh:

39 Soal latihan Selesaikanlah persamaan di bawah ini! home

40 PERSAMAAN DIFERENSIAL HOMOGEN PERSAMAAN DIFERENSIAL HOMOGEN

41 Pers Diferensial Homogen Bentuk umum PD orde 2: PDH Orde 2: Subtitusi: ……(*)

42 Karena maka ……(**) Dari (*) dan (**) diperoleh:

43 ………(#) Pers (#) dinamakan persamaan bantu.

44 Jika r 1 dan r 2 adalah akar-akar real berlainan dari persamaan bantu, maka penyelesaian umum dari: adalah:

45 Contoh: 1.Tentukanlah penyelesaian umum dari persamaan: Penyelesaian:

46 Jika r 1 dan r 2 adalah akar-akar kembar dari persamaan bantu, maka penyelesaian umum dari: adalah:

47 Contoh: 1.Tentukanlah penyelesaian umum dari persamaan: Penyelesaian:

48 Jika persamaan bantu memiliki akar- akar bilangan kompleks, a + bi dan a – bi, maka penyelesaian umum dari: adalah:

49

50 Contoh: 1.Tentukanlah penyelesaian umum dari persamaan: Penyelesaian:

51 Soal latihan

52 home

53 PERSAMAAN DIFERENSIAL TIDAK HOMOGEN PERSAMAAN DIFERENSIAL TIDAK HOMOGEN

54 Pers Dif Tidak Homogen Bentuk umum PD orde 2: PDTH Orde 2 dengan koefisien konstan: Penyelesaian? ……(*)

55 Penyelesaian PDTH dapat direduksi atas tiga tahapan 1.Tentukan penyelesaian umum dari persamaan homogen y ’’ + a 1 y’ + a 2 y = 0, ditulis y h. 2.Tentukan suatu penyelesaian khusus terhadap persamaan tak homogen (*), ditulis y k. 3.Tambahkan kedua penyelesaian di atas, y h + y k = y (dinamakan penyelesaian umum dari (*)). Metode

56 Metode ? Metode Koefisien Tak Tentu Metode Variasi Parameter

57 Metode Koefisien Tak Tentu Perhatikan persamaan: Dalam hal ini fungsi k(x) yang paling mungkin adalah berupa polinom, eksponen, sinus dan kosinus. Untuk menentukan y k didasarkan pada penyelesaian coba-coba. Fungsi coba2

58 Penyelesaian Coba-coba k(x) ? Coba y k ?

59

60

61

62

63

64

65 Catatan: Jika salah satu fungsi dari k(x) adalah suatu penyelesaian terhadap penyelesaian homogen, maka kalikan penyelesaian coba-coba dengan x (atau mungkin dengan suatu pangkat dari x yang lebih tinggi).

66 Metode Variasi Parameter Jika u 1 (x) dan u 2 (x) adalah penyelesaian yang saling bebas terhadap persamaan homogen, maka terdapat suatu penyelesaian khusus terhadap persamaan tak homogen yang berbentuk:

67 Contoh soal Tentukan penyelesaian umum dari persamaan berikut dengan menggunakan metode variasi paramater! Penyelesaian: Untuk menentukan penyelesaian homogen, cari dulu persamaan bantu sehingga diperoleh:

68 Untuk menentukan penyelesaian khusus, maka tulis y k sebagai berikut: …(*) Dengan menyelesaikan sistem (*), maka diperoleh:

69 Sehingga:

70 Berdasarkan uraian di atas, maka penyelesaian umum yang harus dicari adalah:

71 Soal latihan

72 home

73

74 Untuk mengakhiri pembelajaran ini, marilah kita bersama-sama membaca “ALHAMDULILLAH”


Download ppt "Sebelum kegiatan pembelajaran dimulai, marilah kita bersama-sama membaca “BISMILLAH”"

Presentasi serupa


Iklan oleh Google