Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

PERTEMUAN IV Metoda Pembuktian dlm Matematika Ada 4 macam pembuktian yang sering digunakan dalam matematika yaitu :  Bukti langsung Metoda pembuktian.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "PERTEMUAN IV Metoda Pembuktian dlm Matematika Ada 4 macam pembuktian yang sering digunakan dalam matematika yaitu :  Bukti langsung Metoda pembuktian."— Transcript presentasi:

1 PERTEMUAN IV Metoda Pembuktian dlm Matematika Ada 4 macam pembuktian yang sering digunakan dalam matematika yaitu :  Bukti langsung Metoda pembuktian yang diperlukan untuk menyatakan kebenaran suatu hasil matematika yang berbentuk teorema, implikasi, biimplikasi dll.

2  Contoh : Buktikan bahwa jika x ganjil, maka x 2 juga Buktikan bahwa jika x ganjil, maka x 2 juga bilangan ganjil. bilangan ganjil. Jawab : Jawab : x bilangan ganjil, x = 2n + 1, n bilangan bulat. x bilangan ganjil, x = 2n + 1, n bilangan bulat. akibatnya x 2 = ( 2n + 1 ) 2 = 4n 2 + 4n + 1 akibatnya x 2 = ( 2n + 1 ) 2 = 4n 2 + 4n + 1 = 2(2n 2 + 2n) + 1 = 2(2n 2 + 2n) + 1 2n 2 = bulat 2n 2 = bulat 2n = bulat 2n = bulat jadi 2n 2 + 2n = bulat jadi 2n 2 + 2n = bulat jadi 2(2n 2 + 2n) + 1 = ganjil, x 2 ganjil. jadi 2(2n 2 + 2n) + 1 = ganjil, x 2 ganjil.

3  Bukti Tak Langsung Suatu implikasi dapat dibuktikan secara tak langsung dari kontra positip, karena implikasi ekivalen dengan kontrapositipnya. p  q Ξ ~ q  ~ p p  q Ξ ~ q  ~ p

4 Contoh : Jika hasil kali dua bilangan adalah ganjil maka kedua bilangan tersebut ganjil. Jwb : Implikasi : x.y ganjil  x ganjil dan y ganjil Kontra positip : x genap atau y genap  x.y genap x = 2n = genap, n bilangan asli x = 2n = genap, n bilangan asli Maka x.y = 2n.y = 2(n.y) = genap karena kelipatan 2 Dengan demikian kontrapositipnya benar sehingga Implikasinya juga benar.

5  Bukti dengan Kontradiksi Digunakan sebagai alternatif terakhir dalam kasus bukti langsung dan tak langsung tidak dapat digunakan.

6 Dari soal p  q Kita misalkan ~ q benar, artinya pemisalan ini akan Kita misalkan ~ q benar, artinya pemisalan ini akan menghasilkan sesuatu yang bertentangan dengan menghasilkan sesuatu yang bertentangan dengan sesuatu yang kita anggap benar. sesuatu yang kita anggap benar. Karena konsistensi dalam matematika, berarti ~ q salah Karena konsistensi dalam matematika, berarti ~ q salah sehingga ~ (~ q) benar. sehingga ~ (~ q) benar.

7 Contoh :  Jika x 2 = 2 maka x bukan bilangan rasional. x 2 = 2  x bukan rasional x 2 = 2  x bukan rasional Misalkan x bilangan rasional maka Misalkan x bilangan rasional maka x = m/n,m = bilangan bulat, relatif prima x = m/n,m = bilangan bulat, relatif prima n = bilangan asli, relatif prima Relatif prima berarti bahwa m dan n tidak mempunyai faktor Relatif prima berarti bahwa m dan n tidak mempunyai faktor persekutuan selain satu.( contoh 2/4 dan 3/6 di tulis ½ ) persekutuan selain satu.( contoh 2/4 dan 3/6 di tulis ½ ) x 2 = 2 = m 2 /n 2 x 2 = 2 = m 2 /n 2 2n 2 = m 2, 2n 2 genap maka m 2 genap sehingga m genap 2n 2 = m 2, 2n 2 genap maka m 2 genap sehingga m genap Karena m dan n relatif prima maka n harus ganjil (1) ganjil (1)

8  m genap maka m = 2k, k = bilangan bulat m 2 = 4k 2 juga genap, padahal 2n 2 = m 2, jadi 2n 2 = 4k 2 atau n 2 = 2k 2 berarti n 2 genap sehingga n genap (2). Hasil (1) dan (2) bertentangan hal ini disebabkan oleh pengandaian bahwa x bilangan rasional. jadi tidak mungkin terdapat bilangan rasional yang kuadratnya sama dengan 2 ( terbukti )

9  Bukti dng Induksi Mat. Misalkan P(n) suatu pernyataan tentang bilangan asli n. Kebenaran P(n) untuk semua bilangan asli n dibuktikan dengan cara menunjukkan bahwa : 1. P(1) benar. 2. Andaikan P(n) benar maka P(n+1) juga benar. juga benar.

10  CONTOH : Buktikan ! P(n) : x 2n-1 + y 2n-1 habis dibagi oleh x + y P(n) : x 2n-1 + y 2n-1 habis dibagi oleh x + y jwb : untuk n = 1, maka P(1) habis dibagi x + y  P(1) benar Misalkan P(n) benar, maka P(n+1) juga benar. P(n+1) = x 2(n+1)-1 + y 2(n+1)-1 P(n+1) = x 2(n+1)-1 + y 2(n+1)-1 = x 2n+1 + y 2n+1 = x 2 x 2n-1 + y 2 y 2n-1 = x 2n+1 + y 2n+1 = x 2 x 2n-1 + y 2 y 2n-1 = x 2 x 2n-1 + x 2 y 2n-1 - x 2 y 2n-1 + y 2 y 2n-1 = x 2 x 2n-1 + x 2 y 2n-1 - x 2 y 2n-1 + y 2 y 2n-1 = x 2 (x 2n-1 + y 2n-1 ) - y 2n-1 (x 2 - y 2 ) = x 2 (x 2n-1 + y 2n-1 ) - y 2n-1 (x 2 - y 2 )

11 Karena P(n) benar maka suku pertama habis dibagi x+y Karena x 2 - y 2 = (x+y)(x-y) maka suku kedua juga habis dibagi x+y  P(n+1) habis dibagi x+y

12  Tugas perseorangan : Kumpulkan masing-masing 2 soal dan penyelesaiannya tentang pembuktian langsung, tak langsung dan induksi matematik  Tugas kelompok : Presentasikan pada pertemuan ke 6 sebuah persoalan dan penyelesaiannya “pembuktian dengan kontradiksi” T E R I M A KA S I H


Download ppt "PERTEMUAN IV Metoda Pembuktian dlm Matematika Ada 4 macam pembuktian yang sering digunakan dalam matematika yaitu :  Bukti langsung Metoda pembuktian."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google