Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Pembuktian Dalam Matematika. Tujuan Mahasiswa akan dapat membuktikan pernyataan matematika.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Pembuktian Dalam Matematika. Tujuan Mahasiswa akan dapat membuktikan pernyataan matematika."— Transcript presentasi:

1 Pembuktian Dalam Matematika

2 Tujuan Mahasiswa akan dapat membuktikan pernyataan matematika

3 Cakupan –Pembuktian Langsung –Pembuktian Tidak Langsung –Vacuous Proof –Trivial Proof –Bukti dengan kontradiksi –Bukti per kasus –Bukti biimplikasi –Bukti ekuivalensi –Bukti dengan counter example –Bukti dengan induksi

4 Jenis-jenis Pembuktian 1.Pembuktian langsung Contoh: Jika x bilangan genap, maka x 2 bilangan genap.

5 2.Pembuktian tidak langsung. p  q  ~q  ~p Implikasi bernilai sama dengan kontrapositifnya. Contoh: Jika (3n+2) adalah ganjil, maka n juga ganjil.

6 3.Vacuous Proof p  q selalu benar jika p bernilai salah. Contoh: P(n) : “Jika n > 1 maka n 2 > n”. Buktikan P(0) bernilai benar.

7 4. Trivial Proof p  q selalu benar jika q bernilai benar. Contoh: P(n): “Jika a dan b bilangan- bilangan bulat positif dengan a  b, maka a n  b n ”. Buktikan P(0) bernilai benar.

8 5. Bukti dengan kontradiksi ~p  q adalah benar dan q bernilai salah, maka ~p bernilai salah dan p bernilai benar. Contoh: Jika (3n+2) merupakan bilangan ganjil, maka n juga ganjil.

9 6.Bukti per kasus Untuk membuktikan (p 1  p 2  p 3  …  p n )  q, buktikan p 1  q, p 2  q, p 3  q, …., p n  q. Contoh: Jika n bilangan bulat yang tak habis dibagi 3, maka n 2  1(mod 3)

10 7.Bukti biimplikasi p  q  (p  q)  (q  p) Contoh: Bilangan bulat n ganjil jika dan hanya jika n 2 juga ganjil.

11 8.Bukti ekuivalensi Untuk membuktikan p 1, p 2, p 3, …, p n adalah ekuivalen, buktikan implikasi p 1  p 2, p 2  p 3, p 3  p 4, …., p n  p 1. Contoh: Buktikan ketiga pernyataan berikut ekuivalen: –n 2 =9 –n 2 – 9 =0 –n =  3

12 9. Bukti dengan counter example. Untuk membuktikan  x, p(x) bernilai salah, cari sebuah elemen a, sedemikian sehingga p(a) bernilai salah. Elemen ini disebut counter example. Contoh: Untuk setiap bilangan cacah n, berlaku n 2 > n. Benarkah pernyataan ini?

13 10.Bukti dengan Induksi Matematika Ada 3 langkah: –buktikan benar untuk n=1 –asumsikan benar untuk n=k –buktikan benar untuk n=k+1 Bukti dengan induksi matematika analog dengan cara orang menyebarkan gosip atau dengan sekumpulan kartu domino berdiri yang didorong. Contoh: –Buktikan … + (2n-1) = n 2 –Buktikan … + n 2 = 1 / 6.n(n+1)(2n+1) –Buktikan (7 2n+1 – 2 2n+1 ) habis dibagi 5

14 Penutup –Pembuktian dalam matematika terdiri dari beberapa metode, seperti: Pembuktian Langsung, Pembuktian Tidak Langsung, Vacuous Proof, Trivial Proof, Bukti dengan kontradiksi, Bukti per kasus, Bukti biimplikasi, Bukti ekuivalensi, Bukti dengan counter example, Bukti dengan induksi


Download ppt "Pembuktian Dalam Matematika. Tujuan Mahasiswa akan dapat membuktikan pernyataan matematika."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google