Mohamad Salam Dan La ode Ahmad Jazuli

Presentasi berjudul: "Mohamad Salam Dan La ode Ahmad Jazuli"— Transcript presentasi:

1 Mohamad Salam Dan La ode Ahmad Jazuli
STRUKTUR ALJABAR Mohamad Salam Dan La ode Ahmad Jazuli

2 Himpunan Pemetaan Bilangan Bulat Operasi Biner
Pendahuluan Himpunan Pemetaan Bilangan Bulat Operasi Biner

3 Grup Definisi Grup dan contoh grup Sub Grup
Sub grup Normal dan Grup hasil bagi Homorfisma Automorfisma Grup Permutasi

4 Ring (Gelanggang), Daerah Integral dan Lapangan
Definisi dari gelanggang Daerah integral Lapangan

5 REFERENSI I.N. Herstein, Topics in Algebra, secon edition, 1975.
Jimmie Gilbert dan Linda Gilbert, Elements of Modern Aljebra, fifth edition, 2000, publiser Gary Ostedt. Buku-buku lain yang berkaitan dengan materi yang akan dibahas

6 HIMPUNAN Himpunan adalah suatu kumpulan obyek yang dapat didefinisikan dengan jelas. Obyek-obyek dalam himpunan dinamakan anggota himpunan. Untuk membentuk himpunan dapat digunakan metode Roster yaitu dengan cara menyebut atau mendaftar semua anggota dan metode Rule yaitu dengan menyebut syarat keanggotaannya.

7 HIMPUNAN Himpunan A dikatakan sebagai himpunan bagian dari himpunan B jika setiap anggota himpunan A merupakan anggota himpunan B dan dinotasikan dengan Himpunan A=B jika dan hanya jika dan

8 HIMPUNAN Dari suatu himpunan A dapat dibuat himpunan kuasa yaitu himpunan yang anggota-anggotanya adalah himpunan bagian dari himpunan A. Komplemen dari himpunan A adalah semua anggota dari semesta yang bukan anggota A, dan dinotasikan

9 HIMPUNAN Gabungan dari dua buah himpunan A dan B, ditulis adalah
Irisan dari dua himpunan A dan B, ditulis dengan , adalah himpunan Diberikan sembarang dua buah himpunan A dan B, maka A-B adalah himpunan

10 HIMPUNAN Dua himpunan A dan B dikatakan saling asing apaa bila
Misalkan diberikan dua buah himpunan A dan B, maka himpunan AxB adalah didefinisikan sebagai himpunan semua pasangan terurut (a,b) dimana a anggota A dan b anggota B. Pasangan (c,d)=(e,f) jika dan hanya jika c = e dan d = f.

11 RELASI EKIVALEN Relasi biner  pada Himpunan A dikatakan relasi ekivalen pada A, jika untuk setiap a, b, c dalam A memenuhi : 1. a a (reflesif) 2. jika a b maka b c (simetri) 3. jika a  b dan b  c maka a  c (transitif)

12 RELASI EKIVALEN Misalkan S sembarang himpunan dan didefinisikan ab untuk a, b anggota S, jika dan hanya jika a = b. Maka pendefinisian tersebut suaatu relasi ekivalen pada S. Misalkan S suatu himpunan bilangan bulat, diberikan a,b elemen S, definisikan ab jika a-b adalah bilangan bulat genap. Misalkan S himpunan semua bilangan bulat dan n>1 bilangan bulat tetap. Untuk a,b elemen S, definisikan ab jika a-b adalah kelipatan dari n.

13 DEFINISI CLASS EKIVALEN
Jika A suatu himpunan dan jika  suatu relasi ekivalen pada A, maka class ekivalen dari a anggota A adalah himpunan semua x anggota A dimana a berelasi dengan x. Dan kita notasikan dengan cl(a).

14 class EKIVALEN Misalkan S sembarang himpunan dan didefinisikan ab untuk a, b anggota S, jika dan hanya jika a = b. Maka pendefinisian tersebut suaatu relasi ekivalen pada S. Class ekivalen pada a adalah a sendiri. Misalkan S suatu himpunan bilangan bulat, diberikan a,b elemen S, definisikan ab jika a-b adalah bilangan bulat genap. Class ekivalen pada a adalah semua bilangan bulat yang berbentuk a + 2m, dimana m bilangan bulat. Misalkan S himpunan semua bilangan bulat dan n>1 bilangan bulat tetap. Untuk a,b elemen S, definisikan ab jika a-b adalah kelipatan dari n. Class ekivalen pada a adalah semua bilangan bulat yang berbentuk a + kn, dimana k bilangan bulat.

15 PEMETAAN DEFINISI Jika S dan T himpunan-himpunan tak kosong, maka pemetaan dari S ke T adalah sub himpunan M dari SxT sedemikian sehingga untuk setiap sS terdapat secara tunggal t T sedemikian sehingga pasangan terurut (s,t) M.

16 CONTOH PEMETAAN Misalkan S sembarang himpunan; definisikan :SS dengan (s) = s untuk setiap sS. Pemetaan  disebut pemetaan identitas dari S Misalkan S dan T sembarang himpunan; dan t0 suatu elemen dari T. Definisikan :ST dengan  :s  t0 untuk setiap s S. Misalkan S adalah himpunan bilangan rasional positif dan T=JxJ dimana J adalah himpunan bilangan bulat. Diberikan suatu bilangan rasional s, dimana s dapat ditulis dengan s = m/n dimana m dan n tidak mempunyai faktor persekutuan. Definisikan :ST dengan (s) = (m,n).

17 CONTOH PEMETAAN 4. Misalkan J himpunan semua bilangan bulat dan S = ; misalkan T adalah himpunan dari bilangan rasional; definisikan :ST, dengan ((m,n))=m/n untuk setiap (m,n) dalam S. 5. Misalkan J himpunan bilangan bulat dan S = JxJ. Definisikan :SJ dengan (m,n)=m+n. 6. Misalkan S dan T sembarang himpunan; definisikan :SxTS dengan (a,b) = a untuk setiap (a,b)SxT.  ini disebut proyeksi dari SxT pada S. Dengan cara serupa definisikan proyeksi dari SxT pada T.

18 CONTOH PEMETAAN Misalkan S adalah himpunan yang terdiri dari elemen-elemen x1, x2, x3. Definisikan :SS dengan (x1)=x2, (x2)=x3, (x3)=x1. Misalkan S adalah himpunan bilangan bulat dan T adalah himpunan yang terdiri dari elemen-elemen E dan 0. Definisikan :ST dengan (n)=E jika n bilangan genap dan (n)=0 jika n bilangan ganjil

19 DEFINISI Pemetaan  dari S kedalam T adalah dikatakan onto (pada) T, jika diberikan tT terdapat suatu sS sedemikian sehingga (s)=t. Pemetaan  dari S kedalam T adalah dikatakan pemetaan satu-satu jika untuk sembarang s1s2 maka (s1)=(s2)

20 DEFINISI Dua pemetaan  dan  dari S kedalam T adalah dikatakan sama jika (s)= (s) untuk setiap sS. Jika :ST dan :T U maka komposisi dari  dan  adalah pemetaan 0:S U didefinisikan dengan 0(s)= ((s)) untuk setiap sS.