Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

 Suatu cabang matematika yang mempelajari struktur aljabar  aljabar abstrak (abstract algebra).  Sistim aljabar (algebraic system) terdiri dari suatu.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: " Suatu cabang matematika yang mempelajari struktur aljabar  aljabar abstrak (abstract algebra).  Sistim aljabar (algebraic system) terdiri dari suatu."— Transcript presentasi:

1

2  Suatu cabang matematika yang mempelajari struktur aljabar  aljabar abstrak (abstract algebra).  Sistim aljabar (algebraic system) terdiri dari suatu himpunan obyek, satu atau lebih operasi pada himpunan bersama dengan hukum tertentu yang dipenuhi oleh operasi.  Salah satu alasan yang paling penting untuk mempelajari sistim tersebut adalah untuk menyatukan sifat-sifat pada topik-topik yang berbeda dalam matematika.

3 Definisi II.1 Suatu grup (group) terdiri dari himpunan anggota G bersama dengan operasi biner * yang didefinisikan pada G dan memenuhi hukum berikut :  Hukum tertutup : a * b  G untuk semua a, b  G,  Hukum assosiatif : ( a * b ) * c = a * ( b * c ) untuk semua a, b, c  G,

4 (3) Hukum identitas : terdapatlah suatu anggota e  G sehingga e * x = x * e = x untuk semua x  G, (4) Hukum invers : untuk setiap a  G, terdapatlah a  G sehingga a * a = a * a = e. Biasanya lambang hanya dituliskan G, demikian juga ab artinya a * b dan a -1 adalah lambang untuk invers a.

5 Contoh II.1  Himpunan bilangan bulat Z merupakan grup terhadap operasi +.  Himpunan bilangan asli N bukan grup terhadap operasi +.  Himpunan bilangan kompleks C merupakan grup terhadap operasi +.  Himpunan bilangan real R – {0} merupakan grup terhadap operasi perkalian.  Himpunan bilangan bulat modulo n merupakan grup terhadap operasi penjumlahan modulo n.

6 Sifat-sifat sederhana dalam grup  Dalam pembahasan terdahulu telah dicacat bahwa sebagai akibat definisi grup, sebarang persamaan a * x = b mempunyai penyelesaian dalam suatu grup yaitu x = a * b.  Sifat sifat sederhana yang lain dinyatakan dalam teorema berikut ini.

7 Teorema II.1 Dalam sebarang grup berlaku sifat sifat berikut :  Hukum kanselasi kiri : Jika a x = a y maka x = y.  Hukum kanselasi kanan : Jika x a = y a maka x = y.  Anggota identitas itu tunggal yaitu jika e dan e elemen G yang memenuhi hukum identitas maka e = e.  Invers dari sebarang anggota G akan tunggal yaitu jika a dan b merupakan invers dari x maka a = b.  ( ab) -1 = b -1 a -1

8 Bukti :  1. Diberikan ax = ay. Karena G grup dan a  G maka terdapat a -1 sehingga a a -1 = a -1 a = e dengan e identitas. Akibatnya a -1 (ax) = a -1 (ay) dan dengan menggunakan hukum assosiatif diperoleh (a -1 a)x = (a -1 a)y dan dengan hukum invers diperoleh ex = ey akhirnya dengan hukum identitas x = y

9 3. Karena e suatu anggota identitas maka e e = e. Pada sisi lain e e = e, sehingga e e = e = e. 4. Karena a dan b merupakan invers x maka berlaku xa = e dan xb = e. Karena anggota identitas itu tunggal maka xa = e = xb Akibatnya dengan menggunakan hukum kanselasi kiri maka a = b. 5. Karena ab. b -1 a -1 = a (b b -1 ) a -1 = a e a -1 = a a -1 = e dan b -1 a -1. ab = b -1 (a -1 a)b = b -1 e b = b -1 b = e maka(ab) -1 = b -1 a -1.

10

11  Sistem aljabar yang besar biasanya mengandung sistem bagian yang lebih kecil.  Sistem yang lebih kecil mungkin lebih penting dan mungkin membangun sistim yang lebih besar.  Sebagai contoh grup mengandung grup yang lebih kecil seperti dan. Dengan cara yang sama C* = C – { 0 } mengandung R* = R – { 0 }.  Contoh-contoh di atas menyarankan bahwa di samping tipe tertentu dari sistim juga dipelajari sistim bagian ( subsystem ) sehingga dalam penelaahan grup juga dibahas tentang sistim bagiannya yang dinamakan grup bagian.

12 Definisi III.1  Suatu grup bagian S dari grup G adalah himpunan dari bagian G yang merupakan grup di bawah operasi yang sama dalam G yang dibatasi pada S. Contoh III.1  Himpunan bilangan bulat Z merupakan grup bagian dari R.  S = { 0,2,4 } merupakan grup bagian dari Z 6.  Z 6 bukan grup bagian dari Z 12.

13 Teorema III.1  Diketahui S himpunan bagian dari grup G dengan elemen identitas e. Himpunan S merupakan grup bagian dari G jika dan hanya jika memenuhi sifat : 1. e  S, 2. S tertutup di bawah operasi dari G, 3. untuk sebarang x  S, inversnya x -1 terletak dalam S.

14 Contoh III.2  Q* = { p/q | p dan q tidak nol dalam Z } merupakan grup bagian dari R*.  Himpunan bilangan genap E merupakan grup bagian dari Z.  S = { 3 k | k  Z } merupakan grup bagian dari R*.

15 Soal III.1 :  Tentukan grup bagian dari Z 4 yang dibangun oleh 2. Jawab :  Grup Z 4 = { 0, 1, 2, 3 } merupakan grup terhadap operasi penjumlahan modulo 4.  Elemen 2 dalam Z 4 sehingga grup bagian yang dibangun oleh 2 adalah  (2) = { k. 2 | k  Z} = { 0, 2 }.

16 Soal III.2  Tentukan grup bagian dari R yang dibangun oleh 1. Jawab :  Grup R merupakan grup terhadap operasi penjumlahan.  Elemen 1 dalam R sehingga grup bagian yang dibangun oleh 1 adalah  (1) = { k. 1 | k  Z} = { ….., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …… } = Z.  Hal itu berarti grup bagian yang dibangun oleh 1 dalam R adalah himpunan bilangan bulat Z.

17 1. Jika R + menyatakan bilangan real positif maka buktikan bahwa R + bukan grup. 2. Tunjukkan bahwa himpunan bilangan bulat Z bukan grup terhadap pengurangan. 3. Buktikan bahwa merupakan grup komutatif ( grup abelian ). 4. Misalkan M 2  2 adalah himpunan semua matrik ordo 2. Buktikan bahwa M 2  2 merupakan grup terhadap operasi penjumlahan dua matriks.

18

19

20 TERIMA KASIH


Download ppt " Suatu cabang matematika yang mempelajari struktur aljabar  aljabar abstrak (abstract algebra).  Sistim aljabar (algebraic system) terdiri dari suatu."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google