Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

 Koset aS dapat digunakan untuk membentuk sistem aljabar yang baru.  Misalkan S grup bagian dari grup G. Dapat dibentuk himpunan semua koset kiri dari.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: " Koset aS dapat digunakan untuk membentuk sistem aljabar yang baru.  Misalkan S grup bagian dari grup G. Dapat dibentuk himpunan semua koset kiri dari."— Transcript presentasi:

1

2  Koset aS dapat digunakan untuk membentuk sistem aljabar yang baru.  Misalkan S grup bagian dari grup G. Dapat dibentuk himpunan semua koset kiri dari S yaitu { aS | a dalam G }.  Anggota G yang berbeda dapat saja membentuk koset yang sama. Untuk itu diperlukan cara untuk menguji kesamaan dari dua koset.

3 Teorema IX.1  Koset aS dan bS sama jika dan hanya jika b –1 a  S.  aS = S jika hanya jika a  S. Bukti :  Jika diketahui aS = bS maka a = ae = bs untuk suatu s dalam S.  Dengan kedua ruas dengan b –1 maka dapat b –1 a = s yang berada dalam S.

4 Diketahui b –1 a dalam S. Tulis b –1 a = S. Didapat a = bs atau b = as –1 Hal ini berarti, sebarang pergandaan as haruslah sama dengan ( bs )s = b(ss) dan sebarang pergandaan bs  = (as -1 )s  = a(s -1 s  ).  Oleh karena itu dengan sifat ketertutupan S, sebarang as sama dengan b digandakan dengan suatu elemen S dan sebarang bs  sama dengan a digandakan dengan sebarang anggota S.  Akibatnya aS bS dan bS aS.  Berarti aS = bS.

5  Karena eS = S maka dengan menggunakan sifat (1) di atas didapat bahwa eS = S jika hanya jika a dalam S. Definisi IX.1  Aturan * dikatakan terdefinisikan dengan baik (well-defined) jika a = a dan b = b maka berakibat a*b = a*b.

6 Contoh IX.1  Diketahui himpunan bilangan rasional Q dan didefinisikan aturan pada Q dengan a/b c/d = (a+c) / (b+d) a/b, c/d dalam Q.  Karena pada satu sisi 1/2 = 3/6 dan pada sisi lain (1/2)  ( 1/3 ) = (1+1) / (2+3) = 2/5 (3/6)  (1/3) = (3+1) / (6+3) = 4/9 maka tidak terdefinisikan dengan baik. ■

7 Teorema IX.2  Pergandaan koset aS. bS = abS terdefinisikan dengan baik jika dan hanya jika S grup bagian normal dari grup G. Definisi IX.2  Misalkan S grup bagian normal dari grup G.  Himpunan G/S yang dibaca “G dan S” didefinisikan dengan : G/S = { a S | a  G } Dengan operasinya mempunyai aturan aS bS = ab S.

8 Teorema IX.3  Sistem G/S yang merupakan grup. Karena G/S merupakan grup maka grup G/S sering dinamakan grup faktor (factor group). Jika G grup terhadap penjumlahan maka kosetnya ditulis dengan a + S, b + S,…dan operasi dalam G/S adalah (a + S) + (b + S) = (a + S) + S.  Dalam grup G/S anggota identitasnya adalah 0 + S dan invers dari a + S adalah –a + S.

9 Contoh IX.2 :  Diketahui himpunan bilangan bulat Z grup dan (6) = {…, -12, -6, 0, 6, 12,…} grup bagian dari Z.  Akan ditunjukkan bahwab Z 6 isomorfis dengan Z/(6).  Grup faktor Z/(6) = {0 + (6), 1 + (6), 2 +(6), 3 +(6), 4 +(6), 5 +(6) }.  Didefinisikan fungsi f : G  Z/(6) dengan f(a + (6)) = a dengan 0  a < 5.  Dapat dibuktikan bahwa fungsi f merupakan isomorfisma. ■

10 Contoh IX.3 :  Diketahui Z 8 * = { 1, 3, 5, 7 }. Didefinisikan pemetaan f : Z 8 *  Z 8 * dengan f(x) = x 2. Berarti f(1) = f(3) = f(5) = f(7) = 1. Mudah dibuktikan bahwa f automorfisma. Pemetaan f tidak injektif dan tidak surjektif. Im(f) = { 1 } dan Ker(f) = Z 8 *.  Grup faktor Z 8 */K = { aK | a  Z 8 * } = { K} = { Z 8 * } = { {1, 3, 5, 7} } sehingga grup faktor tersebut hanya mempunyai 1 elemen atau mempunyai order 1.

11 Contoh IX.4 :  Diketahui Z 10 * = { 1, 3, 7, 9 }. Didefinisikan pemetaan f : Z 10 *  Z 10 * dengan f(x) = x 2. Berarti f(1) = f(9) = 1, f(7) = 9 = f(3). Mudah dibuktikan bahwa f automorfisma. Pemetaan f tidak injektif dan tidak surjektif. Im(f) = { 1, 9 } dan K = Ker(f) = { 1, 9}.  Grup faktor Z 10 */K = { aK | a  Z 10 * } = { 1K, 3K } = { {1, 9}, { 3, 7} }. Dalam grup faktor ini mempunyai order 2 dan K berfungsi sebagai elemen identitas sedangkan elemen lainnya adalah 3K yang mempunyai order 2 sehingga merupakan grup siklik.

12 Contoh IX.5 :  Diketahui Z 10 * = { 1, 3, 7, 9 }. Didefinisikan pemetaan f : Z 10 *  Z 10 * dengan f(x) = x 3. Berarti f(1) = 1, f(3) = 7, f(7) = 3, f(9) = 9. Mudah dibuktikan bahwa f automorfisma. Pemetaan f bijektif. Im(f) = { 1, 3, 7, 9 } = Z 10 * dan K = Ker(f) = { 1}.  Grup faktor Z 10 */K = { aK | a  Z 10 * } = { 1K, 3K, 7K, 9K} = { {1}, {3}, {7}, {9} }. Dalam grup faktor ini mempunyai order 4, K berfungsi sebagai elemen identitas. Elemen 9K mempunyai order 2. Elemen 3K dan 7K mempunyai order 4 sehingga merupakan Z 10 */K grup siklik.

13

14 Teorema IX.4  Untuk sebarang integer positif n berlaku (aS) n = a n S. Bukti :  Akan dibuktikan dengan prinsip induksi.  Untuk n = 1, berlaku (aS) 1 = a 1 S.  Berarti teorema benar untuk n = 1.  Dianggap bahwa teorema benar untuk n = k. Berarti (aS) k = a k S.  Untuk n = k + 1, berlaku (aS) k+1 = (aS) (aS) k = (aS) (a k S) = (a. a k )S = a k+1 S.  Terbukti bahwa teorema benar untuk semua bilangan bulat positif n. ■

15 Teorema IX.5  Misalkan G/S sebarang grup faktor.  Jika G berhingga maka orde G/S sama dengan |G| / |S|.  Jika G siklik maka G/S siklik.  Jika a mempunyai orde berhingga maka orde dari aS dalam G/S membagi orde dari a.  Jika G Abelian maka G/S Abelian.

16 Teorema IX.6  Misalkan G/S sebarang grup faktor. Fungsi f : G  G/S yang didefinisikan dengan aturan f(x) = xS merupakan homomorfisma surjektif dari G ke G/S dengan intinya S.  Pemetaan S yang didefinisikan dalam teorema di atas sering dikenal dengan nama homomorfisma alam (natural homorphism) atau homomorfisma kannonik (canonical homomorphism).

17 Teorema IX.7  Jika G/S siklik dan setiap anggota S komutatif dengan semua anggota G maka G Abelian.

18 Teorema IX.8 (Teorema Fundamental dari Homomorfisma Grup).  Jika f : G  H homomorfisma grup dengan inti K dan peta f(G) maka G/S isomorfis dengan f(G). Bukti :  Definisikan fungsi g : G/K  f(G) dengan g(aK) = f(a).  Telah dibuktikan bahwa g bijektif sehingga tinggal membuktikan bahwa g homomorfisma. Pada satu sisi, g(aK bK) = g(abK) = f (ab) = f(a) f(b) dan pada sisi lain, g(aK) g(bK) = f(a). f(b) sehingga g(aK bK) = g(aK) g(bK) untuk semua koset aK dan bK. ■

19

20 Contoh IX.6 :  Misalkan T = { x dalam C* | Abs(x) = 1 }.  Mudah dibuktikan bahwa fungsi Abs : C*  R* merupakan homomorfisma.  Karena 1 identitas dalam R* dan T = Ker(Abs) maka dengan menggunakan teorema fundamental homorfisma diperoleh bahwa C*/T isomorfis dengan peta dari fungsi Abs yaitu R +.  Oleh karena itu C*/T sehingga C*/T juga mempunyai sifat-sifat yang dimiliki R +.  Jadi R + grup abelian tidak siklik, ordenya tak hingga dan mempunyai anggota dengan orde 1 atau. ■

21 Isomorfisma  Suatu grup yang nampaknya berbeda secara esensi dapat sama. Secara intuisi ide bahwa dua grup secara esensi sama akan menuju pada pemikiran tentang konsep isomorfisma. Definisi IX.3  Misalkan dan grup. Grup G isomorfis dengan H jika terdapat fungsi f : G  H sehingga  f injektif,  f surjektif,  f homomorfisma  maka f dikatakan isomorfisma.

22 Teorema IX.9  Misalkan grup G dan H isomorfis. Sifat-sifat berikut ini berlaku :  Grup G dan H mempunyai orde yang sama.  Grup G dan H keduanya abelian atau tidak abelian.  Grup G dan H keduanya siklik atau tidak siklik.

23 Contoh IX.7 :  Diketahui Grup Z 4 dan Z 8 *.  Kedua grup mempunyai orde 4 dan abelian tetapi Z 4 = (1) siklik sedangkan Z 8 * tidak siklik karena tidak ada anggotanya yang mempunyai orde 4.  Oleh karena itu Z 4 tidak isomorfis dengan Z 8 *.

24 Teorema IX.10  Sebarang grup siklik tak berhingga isomorfis dengan Z.  Sebarang grup siklik berhingga orde n isomorfis dengan Z n.

25

26  Misalkan S = { (1), (2) } dan anggap bahwa semua koset aS untuk a dalam Z 4.  Berikan contoh khusus untuk menunjukkan bahwa pergandaan koset aS. bS = ab S tidak terdefinisikan dengan baik.  Tunjukan bahwa tidak ada dua dari himpunan-himpunan ini yang isomorfis : R*, R + dan C*.  Bukti bahwa fungsi-fungsi berikut suatu isomorfisma.  f : Z 100  Z 100 dengan f(x) = 3x.  h : Z 10 *  Z 10 * dengan h(x) = x 3.

27  Tunjukkan bahwa fungsi berikut mengawetkan operasi tetapi tidak surjektif maupun injektif.  f : Z 100  Z 100 dengan f(x) = 2x.  h : Z 10 *  Z 10 * dengan h(x) = x 2.  Didefinisikan f : R  R dengan f(x) = -3x. Buktikan bahwa f suatu automorfisma R yaitu isomorfisma dari R ke R.  Misalkan G sebarang grup dan b anggota G.  Didefinisikan f b : G  G dengan aturan f b (x) = b -1 x b.  Tunjukkan bahwa f b suatu automorfisma dari G.

28  Diketahui grup faktor Z 6 /S dengan S = { 0,3 }. Tentukan order dari grup faktor dan order dari elemen-elemen dalam Z 6 /S. Apakah Z 6 /S siklik ?  Diketahui grup faktor f : Z 7 *  Z 7 * dengan f(x) = x 2. Tentukan Im(f) dan K=Ker(f). Apakah Z 7 */K isomorfis dengan f(Z 7 *) = Im(f) ?  Misalkan S = { A  M 2  2* | det(A) = 1 }. Buktikan bahwa S grup bagian normal dari M 2  2 *.

29


Download ppt " Koset aS dapat digunakan untuk membentuk sistem aljabar yang baru.  Misalkan S grup bagian dari grup G. Dapat dibentuk himpunan semua koset kiri dari."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google