Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

 Dalam teori grup, terdapat cara untuk membangun grup yang lebih besar dari hasil kali langsung (direct product) grup-grup yang lebih kecil dan di samping.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: " Dalam teori grup, terdapat cara untuk membangun grup yang lebih besar dari hasil kali langsung (direct product) grup-grup yang lebih kecil dan di samping."— Transcript presentasi:

1

2  Dalam teori grup, terdapat cara untuk membangun grup yang lebih besar dari hasil kali langsung (direct product) grup-grup yang lebih kecil dan di samping itu sering juga diharapkan dapat memfaktorkan grup yang besar sebagai perkalian grup-grup yang kecil dan sederhana. Definisi X.1 :  Misalkan G dan H grup. Hasil kali langsung G  H adalah sistem aljabar yang didefinisikan dengan himpunan G  H = { (g,h) | g  G dan h  H } dan operasi * didefinisikan sebagai (a,b) * (c,d) = (a*c, b*d).

3  Himpunan G  H dinamakan hasil kali Cartesian dari himpunan G dan H yang terdiri dari pasangan berurutan (g,h).  Dalam hal ini, G dan H dinamakan faktor dari G  H.  Bidang Cartesian R 2 ={ (x,y) | x, y dalam R } merupakan salah satu contohnya dan dalam hal ini R 2 = R  R. Teorema X.1  Jika G dan H grup maka G  H grup.

4 Contoh X.1  Akan ditentukan sifat-sifat dari grup Z 2  Z 4.  Dengan menggunakan prinsip pergandaan maka grup Z 2  Z 4 mempunyai orde 8.  Abelian?  Karena (a,b) + (c,d) = (a+c,b+d) dan (c,d) + (a,b) = (c+a,d+b) dan dengan mengingat Z 2 dan Z 4 abelian maka Z 2  Z 4 juga abelian.  Orde dari anggota  Untuk sebarang anggota Z 2  Z 4 mempunyai sifat k. (a,b) = (k. a, k. b) dengan k dalam Z khususnya 4. (a,b) = (4. a, 4. b) = (0, 0).  Oleh karena itu orde dari (a,b) merupakan pembagi 4.  Anggota (0, 0), (1, 2) dan (1, 1) berturut-turut mempunyai orde 1, 2, dan 4.  Siklik?  Karena grup mempunyai orde 8 dan tidak ada anggota Z 2  Z 4 yang mempunyai orde lebih dari 4 maka Z 2  Z 4 tidak siklik. ■

5 Contoh X.2  Akan ditentukan sifat-sifat dari grup Z 2  Z 2  Z 2  Z 2.  Order dari grup Z 2  Z 2  Z 2  Z 2 adalah = 16. Grup ini merupakan grup abelian karena Z 2 abelian. Order dari setiap elemen 1 atau 2 sebagai contoh (1, 0, 1, 1) mempunyai order 2. Tidak ada elemen yang mempunyai order 16.  Hal itu berarti Z 2  Z 2  Z 2  Z 2 bukan grup siklik.

6 Contoh X.3  Akan ditentukan sifat-sifat dari grup R*  R*.  Terdapat banyak cara untuk memilih (a,b) sehingga ordernya berhingga. Elemen a, b dalam R* dapat mempunyai order 1, 2 atau . Jika mempunyai order berhingga maka (a,b) mempunyai order 1 atau 2 sedangkan jika salah satu dari a atau b mempunyai order  maka (a,b) mempunyai order . Hal itu berarti elemen-elemen dalam R*  R* mempunyai order 1, 2 atau .

7  Perlu dicatat bahwa R* dan R*  R* keduanya mempunyai order, keduanya abelian, keduanya tidak siklik, elemen-elemennya dapat mencapai order 1, 2 atau .  Namun demikian, keduanya tidak isomorfis karena dalam R* hanya -1 yang mempunyai order 2 sedangkan dalam R*  R* ada 3 elemen yang mempunyai order 2 yaitu (-1,1), (1, -1) dan (-1,-1).

8 Definisi X.1  Misalkan G 1, G 2, …., G k grup.  Hasil kali langsung G 1  G 2  ….  G k adalah sistem aljabar yang didefinisikan dengan himpunan { (g 1, g 2, …, g k ) ‌ | g j G j untuk setiap j }  dan operasi * didefinisikan dengan (g 1, g 2, …, g k ) * (h 1, h 2, …, h k ) = (g 1 * h 1, g 2 * h 2 …, g k * h k ). Teorema X.2  Jika G 1, G 2, …., G k grup maka G 1  G 2  ….  G k grup.

9 Berikut ini diberikan sifat-sifat tanpa bukti  Jika setiap faktor G mempunyai orde berhingga maka orde dari G 1  G 2  ….  G k sama dengan | G 1 | G 2 | … | G k |.  G 1  G 2  ….  G k abelian jika dan hanya jika G j abelian.

10  Jika G dan H sebarang grup maka buktikan bahwa G  H isomorfis dengan H  G.  Jika G sebarang grup dan { e } grup dengan satu anggota maka G  G  { e }.  Jika f : G  H  G dengan f(x,y) = x maka buktikan f homomorfisma.  Misalkan G mengandung grup bagian sejati H dan K sehingga G  H  K. Dengan memperhatikan syarat apa yang harus dipenuhi untuk H dan K, tunjukkan bahwa fungsi P : G  K yang didefinisikan dengan baik dan homomorfisma.

11  Jelaskan secara singkat sifat-sifat dari Z 3  Z 4.  Jelaskan secara singkat sifat-sifat dari Z 4 *  Z 5 *.  Buktikan bahwa Z 8 *  Z 2  Z 2.  Jelaskan secara singkat sifat-sifat dari R  R  R.  Diketahui (a 1, a 2, …., a k )  G 1  G 2  …  G k. Buktikan dengan induksi bahwa untuk sebarang bilangan bulat positif m berlaku : (a 1, a 2, …., a k ) m = (a 1 m, a 2 m, …., a k m ).  Jelaskan secara singkat sifat-sifat dari R  Z 2.


Download ppt " Dalam teori grup, terdapat cara untuk membangun grup yang lebih besar dari hasil kali langsung (direct product) grup-grup yang lebih kecil dan di samping."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google