Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

RUANG VEKTOR EUCLIDEAN. DEFINISI Jika n adalah sebuah bilangan bulat positif, maka sebuah tupel-n-terorde (ordered-n- tuple) adalah sebuah urutan dari.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "RUANG VEKTOR EUCLIDEAN. DEFINISI Jika n adalah sebuah bilangan bulat positif, maka sebuah tupel-n-terorde (ordered-n- tuple) adalah sebuah urutan dari."— Transcript presentasi:

1 RUANG VEKTOR EUCLIDEAN

2 DEFINISI Jika n adalah sebuah bilangan bulat positif, maka sebuah tupel-n-terorde (ordered-n- tuple) adalah sebuah urutan dari n bilangan real (a 1, a 2,…, a n ). Himpunan dari semua tupel-n-terorde dinamakan ruang-n dan dinyatakan dengan R n.

3 DEFINISI Dua vektor u = (u 1, u 2,…,u n ) dan v = (v 1, v 2,…, v n ) di dalam R n dinamakan sama jika u 1 = v 1, u 2 = v 2,…, u n = v n Jumlah u + v didefinisikan oleh : u + v = (u 1 + v 1, u 2 + v 2,…, u n + v n ) dan jika k adalah sebarang skalar, maka kelipatan skalar ku didefinisikan oleh : ku = (ku 1, ku 2,…, ku n ) Operasi penambahan dan perkalian skalar di dalam definisi ini dinamakan operasi-operasi standar pada R n. Kita mendefinisikan vektor nol (zero vector) di dalam R n sebagai vektor 0 = (0,0,…,0) Jika u = (u 1, u 2,…,u n ) adalah sebarang vektor di dalam R n, maka negatif (atau invers aditif) dari u dinyatakan oleh –u dan didefinisikan oleh -u = (-u 1, -u 2,…,-u n )

4 DEFINISI Jika u = (u 1, u 2,…,u n ) dan v = (v 1, v 2,..,v n ) adalah sebarang vektor di dalam R n, maka perkalian dalam Euclidis (Euclidean inner product) u.v didefinisikan oleh u.v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + … + u n v n

5 DEFINISI

6

7 Notasi vektor dalam matriks pada R n

8 RUANG VEKTOR UMUM Definisi : Misalkan V adalah sebarang himpunan benda pada mana didefinisikan dua operasi, yakni penambahan dan perkalian dengan skalar (bilangan real). Jika aksioma-aksioma berikut dipenuhi oleh semua benda u, v, w di dalam V dan oleh semua skalar k dan l, maka kita menamakan V sebuah ruang vektor (vector space) dan benda-benda di dalam V kita namakan vektor : 1.Jika u dan v adalah benda-benda di dalam V, maka u + v berada di dalam V. 2.u + v = v + u 3.u + (v + w) = (u + v) + w

9 4.Ada sebuah benda 0 di dalam V sehingga 0 + u = u + 0 = u untuk semua u di dalam V. 5.Untuk setiap u di dalam V, ada sebuah benda –u di dalam V yang dinamakan negatif dari u sehingga u + (-u) = (-u) + u = 0. 6.Jika k adalah sebarang bilangan real dan u adalah sebarang benda di dalam V, maka ku berada di dalam V 7.k(u + v) = ku + kv 8.(k + l)u = ku + lu 9.k(lu) = (kl)(u) 10.1u = u Vektor 0 di dalam Aksioma 4 dinamakan vektor nol (zero vector) untuk V.

10 SUBRUANG Definisi : Sebuah subhimpunan W dari sebuah ruang vektor V dinamakan sebuah subruang (subspace) dari V jika W itu sendiri adalah sebuah ruang vektor di bawah penambahan dan perkalian skalar yang didefinisikan pada V.

11 Teorema 4. Jika W adalah sebuah himpunan dari satu atau lebih vektor dari sebuah ruang vektor V, maka W adalah sebuah subruang dari V jika dan hanya jika kondisi-kondisi berikut berlaku. 1.Jika u dan v adalah vektor-vektor di dalam W, maka u + v berada di dalam W. 2.Jika k adalah sebarang skalar dan u adalah sebarang vektor di dalam W, maka ku berada di dalam W.

12 KEBEBASAN LINIER Definisi : Sebuah vektor w dinamakan kombinasi linier dari vektor-vektor v 1, v 2,…,v r jika vektor tersebut dapat dinyatakan di dalam bentuk w = k 1 v 1 + k 2 v 2 + … + k r v r dimana k 1, k 2,…, k r adalah skalar.

13 Definisi : Jika v 1, v 2,…,v r adalah vektor-vektor di dalam sebuah ruang vektor V dan jika tiap-tiap vektor di dalam V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari v 1, v 2,…,v r maka kita mengatakan bahwa vektor-vektor ini merentang V/membangun V/span V.

14 Jika S = [v 1, v 2,…,v r } adalah sebuah himpunan vektor, maka persamaan vektor k 1 v 1 + k 2 v 2 +… + k r v r = 0 mempunyai paling sedikit satu pemecahan, yakni : k 1 = 0, k 2 = 0,…, k r = 0 Jika ini adalah satu-satunya pemecahan, maka S dinamakan sebuah himpunan yang bebas linier (linearly independent). Jika ada pemecahan lain, maka S dinamakan sebuah himpunan yang tak bebas linier (linearly dependent).

15 BASIS DAN DIMENSI DEFINISI : Jika V adalah sebarang ruang vektor dan S = {v 1,v 2,…,v r } adalah sebuah himpunan berhingga dari vektor-vektor di dalam V, maka S dinamakan sebuah basis untuk V jika 1.S bebas linier; 2.S merentang V

16 Sebuah ruang vektor tak nol V dinamakan berdimensi berhingga (finite dimensional) jika ruang vektor tersebut mengandung sebuah himpunan berhingga dari vektor- vektor {v 1,v 2,…,v n } yang membentuk sebuah basis. Jika tidak ada himpunan seperti itu, maka V dinamakan berdimensi tak berhingga (infinite dimensional).

17 DIMENSI Definisi : Dimensi dari sebuah ruang vektor V yang berdimensi berhingga didefinisikan sebagai banyaknya vektor di dalam sebuah basis untuk V.

18

19

20 Teorema 12. Jika A adalah sebarang matriks, maka ruang baris dan ruang kolom dari A mempunyai dimensi yang sama.

21 RANK DAN NULLITAS Definisi : Dimensi ruang baris dan ruang kolom dari sebuah matriks A dinamakan rank (rank) dari A. Definisi : Dimensi ruang kosong dari A disebut dengan nullitas dari A dan ditulis dengan null(A).

22 Teorema : 1.Jika A matriks sebarang, rank(A) = rank(A T ). 2.Jika A matriks sebarang dengan n kolom, maka : rank(A) + null(A) = n.

23 TEOREMA Jika A adalah sebuah matriks n x n, maka pernyataan- pernyataan berikut ekuivalen satu sama lain. 1.A dapat dibalik (invertible) 2.Ax = 0 hanya mempunyai satu pemecahan trivial. 3.A ekuivalen baris dengan I n. 4.Ax = b konsisten untuk tiap-tiap matriks b yang berukuran n x 1. 5.det(A) ≠ 0 6.A mempunyai rank n. 7.Vektor-vektor baris dari A bebas linier. 8.Vektor-vektor kolom dari A bebas linier.


Download ppt "RUANG VEKTOR EUCLIDEAN. DEFINISI Jika n adalah sebuah bilangan bulat positif, maka sebuah tupel-n-terorde (ordered-n- tuple) adalah sebuah urutan dari."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google