Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

RUANG VEKTOR (1). RV. 1. PENDAHULUAN Ruang vektor dengan dimensi terhingga Ruang Vektor V, yang elemennya disebut vektor, melibatkan sembarang bagian.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "RUANG VEKTOR (1). RV. 1. PENDAHULUAN Ruang vektor dengan dimensi terhingga Ruang Vektor V, yang elemennya disebut vektor, melibatkan sembarang bagian."— Transcript presentasi:

1 RUANG VEKTOR (1)

2 RV. 1. PENDAHULUAN Ruang vektor dengan dimensi terhingga Ruang Vektor V, yang elemennya disebut vektor, melibatkan sembarang bagian (medan) K, yang elemennya disebut skalar. Notasi yang akan dipergunakan dalam pembahasan berikutnya dalam bab ini (kecuali diberikan petunjuk khusus) adalah ; – V: yang vektor yang diketahui – u,v,w: vektor-vektor di dalam V – K: medan bilangan yang di ketahui – a,b,c dan k : skalar-skalar di dalam K – a  A: Elemen a termasuk dalam himpunan A – a,b  A: elemen a dan b termasuk dalam himpunan A –  x  A: untuk setiap x di dalam A – A  B: A adalah subhimpunan bagian dari B – A  B: Irisan A dan B – A  B: Gabungan A dan B –  : Himpunan kosong

3 RV. 2 RUANG VEKTOR Definisi :misalkan V adalah suatu himpunan bukan kosong dengan dua operasi : (i)Penjumlahan vektor: untuk sembarang u,v  V, jumlah u + v di dalam V (ii) Perkalian Skalar: untuk sembarang u  V, k  K, hasilkali ku  V Maka V disebut ruang vektor (atas medan K )jika aksioma-aksioma berikut ini dipenuhi untuk sembarang vektor u,v,w  V [A 1 ] (u+v) + w = u + (v + w) [A 2 ] terdapat vektor di dalam V, yang dilambangkan dengan 0 dan disebut vektor nol, sedemikain rupa sehingga untuk sembarang  V, u + 0 = 0 + u = 0 [A 3 ] untuk setiap u  V, terdapat vektor di dalam V, yang dilambangkan dengan –u dan disebut negatif dari u sedemikian rupa sehingga u + (-u) = (-u) + u = 0 [A 4 ] u+v = v + u [M 1 ]k (u+v) = ku +kv, untuk sembarang skalar k  K [M 2 ](a + b)u = au + bu, untuk sembarang skalar a,b  K [M 3 ](ab)u = a(bu), untuk sembarang skalar a,b  K [M 4 ]1u = u, untuk skalar 1  K

4 Aksioma-aksioma di atas secara alami terbagi ke dalam dua himpunan.  Empat aksioma bagian pertama [A1…A4] berhubungan hanya dengan struktur penjumlahan pada V, dan dapat diringkas dengan mengatakan V adalah kelompok komutatif dalam penjumlahan. Ini berarti : (a)Sembarang penjumlahan vektor-vektor v 1 + v 2 + … + v m tidak membutuhkan tanda kurung dan tidak bergantung pada urutan operasi penjumlahan (b)Vektor nol (0) adalah unik dan bentuk negatif (-u) dari vektor U, adalah unik (c)Hukum pembatalan: jika u + w = v + w, maka u = v  Empat aksioma sisanya berkaitan dengan “tindakan” medan skalar K pada ruang vektor V TEOREMA : RV.1 : Misalkan V adalah ruang vektor atas medan K. (i)untuk sembarang skalar k  K dan 0  V, k0 = 0. (ii)Untuk 0  K dan sembarang vektor u  V, 0u = 0 (iii)Jika ku = 0, di mana k  K dan u  V, maka k = 0 atau u = 0. (iv)Untuk sembarang k  K dan sembarang u  V, (-k)u = k(-u) = -ku

5 Contoh-Contoh Ruang Vektor 1. Ruang Vektor K n – K adalah sembarang medan. Notasi K n merupakan ruang vektor atas dengan menggunakan operasi- operasi berikut : Penjumlahan vektor : (a1, a2,a3,...,an) + (b1,b2,b3,…,bn) = (a1+b1, a2 +b2, a3+b3, ….,an +bn) Perkalian skalar : k(a1,a2,a3,…,an) = ka1,ka2,ka3,..,kan

6 2. Ruang Polinomial P(t) P(t) = a 0 +a 1 t +a 2 t 2 +a 3 t 3 +….+ a s t s ; (s = 1,2,3,…) dimana a s termasuk dalam suatu medan K. maka P(t) adalah ruang vektor atas K dengan menggunakan operasi berikut ; – Penjumlahan vektor : disini p(t) + q(t) dalam P(t) adalah operasi biasa untuk penjumlahan polinomial – Perkalian Skalar : disini kp(t) dalam P(t) adalah operasi perkalian biasa antara skalar k dan polinomial p(t). Polinomial nol 0 adalah vektor nol dalam P(t)

7 3. Ruang Matrik M m,n Notasi M m,n atau disingkat dengan M, akan digunakan untuk melambangkan himpunan semua matriks mxn dengan entri-entri dalam suatu medan K. Maka M m,n adalah ruang vektor atas K dalam kaitannya dengan operasi penjumlahan matriks dan operasi perkalian skalar matriks.

8 4. Ruang Fungsi F(x) misalkan X adalah himpunan bukan-kosong dan misalkan K adalah sebarang medan. Misalkan F(x) melambangkan himpunan semua fungsi X kedalam K. Maka F(x) adalah ruang vektor atas K dalam kaitannya dengan operasi-operasi berikut : (i)Penjumlahan Vektor (ii)Perkalian Vektor :

9 (i) Penjumlahan Vektor Jumlah dari dua fungsi f dan g dalam F(X) adalah fungsi f + g dalam F(X) yang didefinisikan sebagai : – (f+g)(x) = f(x) + g(x)  x  X

10 (ii) Perkalian Skalar Hasil kali dari skalar k  K dan fungsi f dalam F(X) adalah fungsi kf dalam F(X) yang didefinisikan sebagai : (kf)(x) = kf(x)  x  X Vektor nol dalam F(X) adalah fungsi nol 0, yang memetakan setiap x  X ke dalam elemen nol 0  K, yaitu 0(x) = 0  x  X Selain itu untuk sebarang fungsi f dalam F(X), fungsi –f dan F(X) yang didefinisikan sebagai : (-f)(x) = - f(x)  x  X adalah negatif dari fungsi f.

11 5. Medan dan Submedan anggaplah medan E adalah perluasan medan K, dengan kata lain anggaplah E adalah medan dengan K sebagai submedannya. Maka E dapat dilihat sebagai ruang vektor atas K dengan menggunakan operasi-operasiberikut ini : (i)Penjumlahan Vektor : disini u + v dalam E adalah penjumlahan biasadi dalam E (ii)Perkalian vektor : di sini ku dalam E, dimana k  K dan u  E, adalah hasilkali biasa antara k dan u sebagai elemen-elemen E

12 RV. 4 Kombinasi Linier dan Himpunan Rentangan Misalkan V adalah suatu ruang vektor atas medan K. vektor v dalam Vadalah kombinasi linier dari vektor- vektor u 1, u 2, …, um dalam V jika terdapat skalar- skalar a 1,a 2,…, am dalam K sedemikian rupa sehingga : v = a 1 u 1 +a 2 u 2 + … + a m u m Atau, v adalah kombinasi linier dari u1,u2, …, um jika terdapat solusi bagi persamaan vektor v = x 1 u 1 + x 2 u 2 + … + x m u m dimana x 1,x 2,..,x m adalah skalar-skalar diketahui.

13 contoh V = (3,7,-4) pada R 3 sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor : U1 = (1,2,3); u2= (2,3,7); u3 = (3,5,6) Kita tentukan skalar-skalar dari x,y,z sedemikian rupa sehingga v = xu 1 + yu 2 + zu 3 ; yaitu : atau : x + 2y +3z = 3 2x + 3y + 5z = 7 3x + 7y + 6z = -4 Sehingga di dapat ; x = 2; y =-4; z = 3 Jadi v = 2 u 1 – 4 u u 3

14 RV. 5 SUB RUANG Definisi : misalkan V adalah ruang vektor atas medan K dan misalkan W adalah subhimpunan dari V. maka W adalah subruang dari V, jika W itu sendiri adalah ruang vektor atas K dalam kaitannya dengan operasi penjumlahan vektor dan operasi perkalian skalar pada V.

15 TEOREMA Anggaplah W adalah subhimpunan dari ruang vektor V. maka W adalah subruang dari V jika dua syarat berikut ini terpenuhi : (i) vektor nol 0 termasuk dalam W (ii) untuk setiap u,v  W, k  K : (a) jumlah u + v  W (b) kelipatan ku  W Sifat (i) pada (b) menyatakan bahwa W tertutup dalam penjumlahan vektor, dan sifat (ii) pada (b) menyatakan bahwa W tertutup dalam perkalian skalar. Kedua sifat ini dapat digabungkan menjadi sebuah pernyataan tunggal yang ekuivalen berikut : (b’) untuk setiap u,v  W, a,b  K, kombinasi linier au + bv  W

16 Contoh 2 Kombinasi linier dalam polinomial P(t) adalah v = 3t 2 + 5t – 5, sbg kombinasi linier dari polinomial : p 1 = t 2 + 2t + 1; p 2 = 2t 2 + 5t + 4 ; p 3 = t 2 + 3t +6 Tentukan x,y,z sedemikian rupa sehingga v = xp 1 + yp 2 + zp 3

17 PR 1.Nyatakan v = (2,-5,3) dalam R 3 sbg kombinasi linier dari vektor u1= (1,-3,2); u2=(2,-4,-1); u3= (1,-5,7) 2.Nyatakan polinomial dari v = t 2 + 4t – 3 dalam P(t) sebagai kombinasi linier dari polinomial dari : p1 = t 2 – 2t +5 p2 = 2t 2 - 3t p3 = t +1

18 RV. 6 Rentang Linier, Ruang Baris dari Matriks Anggap u 1,u 2,…,u m adalah sebarang vektor-vektor pada ruang vektor V. Kumpulan dari semua kombinasi linier semacam ini, yang dinyatakan sebagai : Rentang (u 1,u 2,..,u m ) atau rentang (u i ) Disebut rentang linier (linier span) dari u 1,u 2,u 3,..,u m. Jelas bahwa vektor nol 0 termasuk dalam rentang (ui), karena 0 = 0u 1 +0u 1 + 0u 3 + … + 0u m Lebih lanjut anggaplah v dan v’ termasuk dalam rentang (ui), misal : v = a 1 u 1 + a 2 u 2 +…. + a m u m dan v’ = b 1 u 1 + b 2 u 2 +…+ b m u m Maka untuk sembarang skalar k  K, kita memperoleh : V + v’ = (a 1 +b 1 ) u 1 + (a 2 +b 2 )u 2 + … + (a m +b m ) u m Dan kv = ka 1 u 1 + ka 2 u 2 + …..+ ka m u m


Download ppt "RUANG VEKTOR (1). RV. 1. PENDAHULUAN Ruang vektor dengan dimensi terhingga Ruang Vektor V, yang elemennya disebut vektor, melibatkan sembarang bagian."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google