Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Ruang Hasil kali Dalam (INNER PRODUCT SPACE). Yang di bahas : Hasil kali dalam Panjang vektor, jarak vektor dan besar sudut dalam RHD Basis ortonormal.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Ruang Hasil kali Dalam (INNER PRODUCT SPACE). Yang di bahas : Hasil kali dalam Panjang vektor, jarak vektor dan besar sudut dalam RHD Basis ortonormal."— Transcript presentasi:

1 Ruang Hasil kali Dalam (INNER PRODUCT SPACE)

2 Yang di bahas : Hasil kali dalam Panjang vektor, jarak vektor dan besar sudut dalam RHD Basis ortonormal : Metode Gramm-Schimdt Perubahan basis

3  Hasil kali dalam Definisi : adalah fungsi yang mengkaitkan setiap pasangan vektor di ruang vektor V ( misalkan vektor u dan v dengan notasi )dengan bilangan riel, dan memenuhi 4 aksioma berikut ini : 1.Simetris : = 2.Aditivitas : = + 3.Homogenitas : = k, k : scalar 4.Positivitas : ≥ 0 dan ( = 0 u = 0) Ruang vektor yang dilengkapi hasil kali dalam disebut : Ruang hasil kali dalam yang disingkat RHD

4 Contoh soal : 1. Tunjukkan bahwa operasi perkalian titik standar di R 3 merupakan hasil kali dalam ! Jawab : Misalkan : a(a 1, a 2, a 3 ), b(b 1, b 2, b 3 ) dan c(c 1, c 2, c 3 ) berada dalam R 3. Akan ditunjukkan bahwa perkalian titik standar memenuhi 4 aksioma hasil kali dalam yaitu : 1. Simetri : = (a.b) = (a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 ) = (b 1 a 1 + b 2 a 2 + b 3 a 3 ) = (terpenuhi)

5 2. Aditivitas : = ((a + b). c) = ((a 1 +b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ). (c 1, c 2, c 3 )) = ((a 1 c 1 + b 1 c 1 ) + (a 2 c 2 + b 2 c 2 ) + (a 3 c 3 + b 3 c 3 )) = (a 1 c 1 + a 2 c 2 + a 3 c 3 ) + (b 1 c 1 + b 2 c 2 + b 3 c 3 ) = + (terpenuhi) 3. Homogenitas : = (ka.b) = (ka 1 b 1 + ka 2 b 2 + ka 3 b 3 ) = k(a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 ) = k(a.b) = k (terpenuhi)

6 4. Positivitas : = (a.a) = (a a a 3 2 )≥ 0terpenuhi) dan = (a a a 3 2 )= 0 u =(0,0,0) = 0(terpenuhi) 2. Diketahui = ad + cf dengan u = (a,b,c) dan v = (d,e,f). Apakah tersebut merupakan hasil kali dalam ? Jawab : Akan ditunjukkan apakah memenuhi 4 aksioma hasil kali dalam berikut ini :

7 1.Simetri = ad + cf = da + fc = (terpenuhi) 2. Aditivitas Misalkan w = (g,h,i) = ((a + d, b + e, c + f), (g,h,i)) = (a + d)g + (c + f)i = (ag + ci) + (dg + fi) = + (terpenuhi)

8 3.Homogenitas = (kad + kcf) = k(ad + cf) = k (terpenuhi) 4. Positivitas = (u.u) = (a 2 + c 2 ) ≥0(terpenuhi) dan = (a 2 + c 2 ) = 0 tidak selalu u =(0,0,0), karena nilai u =(0,b,0) dengan b ≠0, maka nilai = 0 tidak terpenuhi Karena aksioma positivitas tidak terpenuhi, maka = ad+ cf dengan dengan u = (a,b,c) dan v = (d,e,f) bukan merupakan hasil kali dalam

9  Panjang vektor, jarak antar vektor dan besar sudut dalam RHD Jika V merupakan ruang hasil kali dalam, u,v dalam V, maka : a.Panjang u = 1/2 b.Jarak u dan v : d(u,v) = 1/2 c.Misalkan sudut θ dibentuk antara u dan v dalam RHD, maka : jika u dan v saling tegak lurus, maka

10 Bukti : Contoh soal : Diketahui V adalah RHD dengan hasil kali dalam = (u 1 v u 2 v 2 + u 3 v 3 ) dengan u =(u 1,u 2,u 3 ), v =(v 1,v 2,v 3 ). Jika vektor-vektor a, b dalam V dengan a = (1,2,3) dan b = ( 1,2,2), tentukan : a. Besar cos Ѳ dengan Ѳ adalah sudut antara a dan b b. Jarak antara a dan b !

11 Jawab : a. b. Jarak a dan b : d(a,b) = 1/2 (a – b ) = (0,0,1)

12  Basis ortonormal Diketahui V ruang hasil kali dalam dan v 1, v 2 ……., v n adalah vektor-vektor dalam V Beberapa definisi penting a.H = {v 1, v 2 ……., v n } disebut himpunan ortonormal bila setiap vektor dalam V saling tegak lurus, yaitu = 0 untuk i ≠ j dan i,j = 1,2,…..,n b. G = {v 1, v 2 ……., v n } disebut himpunan ortonormal bila : - G himpunan ortogonal - Norm dari v i = 1, i = 1,2,….n atau =1

13 Proyeksi ortogonal vektor terhadap ruang yang dibangun oleh himpunan vektor. H = {v 1, v 2, ….., v n } adalah himpunan vektor bebas linier dari ruang vektor dengan dim≥n dan S = {w 1, w 2, ….., w n } merupakan himpunan yang ortonormal. Jika W adalah ruang yang dibangun oleh w 1, w 2, …., w n, maka untuk setiap vektor z 1 dalam w 1 dapat dituliskan sebagai : dengan k 1, k 2, …., k n :skalar. z 1 = k 1 w 1 + k 2 w 2 + …. + k n w n

14 Jika u adalah sembarang vektor dalam V, maka dapat dinyatakan sebagai jumlah dari 2 vektor yang saling tegak lurus : Karena z 1 dalam W, maka z 1 merupakan proyeksi ortogonal u terhadap W. Sedangkan z 2 merupakan komponen u yang tegak lurus terhadap W. Jadi untuk menentukan z 1 perlu ditentukan nilai k 1 yang merupakan panjang u terhadap w 1. Proyeksi ortogonal u terhadap w 1 adalah : w 1, w 2, ……, w n merupakan vektor-vektor ortonormal. proy w 1 (u) = u = z 1 + z 2.

15 Jadi penulisan proyeksi ortogonal u terhadap W adalah : (w 1, w 2, ……, w n merupakan himpunan vektor ortonormal) Komponen u yang tegak lurus terhadap W dituliskan sebagai : Proy w (u) = z 1 = w 1 + w 2 + …… + w n z 2 = u – z 1 = u – w 1 + w 2 + …… + w n

16  Metode Gramm – Schmidt  Mengubah suatu himpunan vektor yang bebas linier menjadi himpunan yang ortonormal Syarat : Himpunan yang ditransformasikan ke himpunan ortonormal adalah yang bebas linier.  Jika yang ditransformasikan adalah himpunan vektor yang merupakan basis dari ruang vektor V, maka metode Gramm – Schmidt akan menghasilkan basis ortonormal untuk V

17 Jika diketahui K = {v 1, v 2, …..,v n } merupakan himpunan yang bebas linier, maka K dapat diubah menjadi himpunan S = {w 1, w 2, …..,w n } yang ortonormal dengan menggunakan metode Gramm – Schimdt yaitu : 1., ini proses normalisasi yang paling sederhana karena melibatkan hanya 1 vektor saja. Pembagian dengan bertujuan agar w 1 memiliki panjang = 1, pada akhir langkah ini diperoleh bahwa w 1 ortonormal

18 2. Pada akhir langkah ini diperoleh dua vektor w 1 dan w 2 yang ortonormal. 3.. n.

19 Secara umum : W merupakan ruang yang dibangun oleh w 1, …., w i-1 Pada metode ini, pemilihan v 1, v 2, …., v n tidak harus mengikuti urutan vektor karena basis suatu ruang vektor tidak tunggal. Jadi dengan mengubah urutan v 1, v 2, …., v n sangat memungkinkan diperoleh jawaban yang berbeda-beda. Pemilihan urutan dari v 1, v 2, …., v n yang disarankan adalah yang mengandung hasil kali dalam yang bernilai 0 yaitu = 0. Dalam kasus ini bisa diambil v 1 = v i dan v 2 = v j dan seterusnya.

20 Contoh soal : Diketahui H = {a, b, c} dengan a = (1, 1, 1), b = ( 1, 2, 1) dan c (- 1, 1, 0). a) Apakah H basis R 3 ? b) Jika ya, transformasikan H menjadi basis ortonormal dengan menggunakan hasil kali dalam Euclides ! Jawab : a) Karena dim (R 3 ) = 3 dan jumlah vektor dalam H = 3, maka untuk menentukan apakah H merupakan basis R 3 atau bukan yaitu dengan cara menghitung determinan matrik koefisien dari SPL Ax = b dengan b adalah sembarang vektor dalam R 3. Jika det = 0 berarti H bukan merupakan basis R 3, sedangkan jika det ≠ 0, maka vektor-vektor di H bebas linier dan membangun R 3, sehingga H merupakan basis R 3.

21 Matrik koefisien dari SPL adalah : Dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris ketiga, didapatkan : Karena det = 1, berarti H merupakan basis dari R 3 b) Hasil kali dalam antara a, b dan c =4, 0, = 1 Untuk memilih basis yang perhitungannya lebih sederhana dapat diambil : v 1 = a, v 2 = b, v 3 = c

22 {Karena = 0 maka }

23

24 Normalisasi himpunan orthogonal ke himpunan ortonormal Diketahui V RHD dan H = {v 1, v 2, …., v n } dalam V merupakan ortogonal dengan v 1 ≠ 0, maka bisa diperoleh himpunan ortonormal yang didefinisikan sebagai : S = { s 1, s 2, …., s n } dengan Kalau dicermati, sebenarnya ini adalah rumusan Gramm – Schimdt yang telah direduksi yaitu untuk nilai proy w (v i ) = 0, akibat dari v 1, v 2, …. v n yang saling orthogonal. Proses untuk mendapatkan vektor yang ortonormal disebut menormalisasikan vektor. Jika dim (V) = n, maka S juga merupakan basis ortonormal dari V

25 Contoh soal : Diketahui a, b, c dalam R 3 dengan a = (2,-1,1), b = (2, 5, 1) dan c =(-1,0,2). Jika R 3 merupakan RHD Euclides, transfor- masikan a, b, c ke basis ortonormal ! Jawab : = 0, = 0, = 0 Misalkan H = {a,b,c} maka H merupakan himpunan ortonormal. Dim (R 3 ) = 3 jadi dapat ditentukan basis ortonormal untuk R 3.

26 Misalkan : Basis ortonormal untuk R 3 adalah :

27  Perubahan basis  Suatu ruang vektor dapat memiliki beberapa basis  Jika terdapat sembarang vektor x dalam ruang vektor V yang memiliki himpunan vektor A dan B sebagai basisnya, maka x tentunya merupakan kombinasi linier dari vektor A dan B

28 Gambar di atas menunjukkan 2 sistem koordinat dalam R 2 yang berbeda yaitu : basis B = {u 1, u 2 } dan basis C = {v 1, v 2 } Dengan : x y x y u1u1 u2u2 3u 2 x x 6v 1 v1v1 v2v2 -v 2 (a)(a)(b)(b)

29 Untuk vektor x yang sama pada setiap sistem koodinat, maka penulisan koordinat vektor x yang sesuai dengan B dan C adalah : Untuk menghitung x dengan mengunakan x = u u 2 = Dengan menuliskan bentuk u 1 dan u 2 ke v 1 dan v 2 diperoleh : x = (-3v 1 + 2v 2 ) + 3(3v 1 –v 2 ) = 6v 1 – v 2 diperoleh : dan

30 Jika V ruang vektor, S={s 1, s 2, ….,s n } merupakan basis V, maka untuk sembarang x dalam V dituliskan: dengan k 1, k 2, ….k n skalar yang juga disebut koordinat x relatif terhadap basis S x = k 1 s 1 + k 2 s 2 +……+ k x s n disebut matrik x relatif terhadap basis S

31 Jika S merupakan basis ortonormal, maka : Jika A ={x 1,x 2 } dan B = {y 1, y 2 } berturut-turut merupakan basis dari V, maka untuk sembarang z dalam V didapatkan : Bagaimana hubungan ?

32 Misalkan : Dari(1) Dari(2) Untuk(3) Dengan mensubstitusikan persamaan (1) dan (2) ke (3) diperoleh :

33 Ini berarti : P disebut matrik transisi dari basis A ke basis B. Secara umum, jika A = {x 1, x 2, …x n } dan B = {y 1, y 2, ….y n } berturut-turut merupakana basis dari ruang vektor V, maka matrik transisi basis A ke basis B adalah : Jika P dapat dibalik, maka P -1 merupakan matrik transisi dari basis B ke basis A

34 Contoh soal : Diketahui : A = { v, w} dan B = {x, y} berturut-turut merupakan basis R 2 dengan v =(2,2), w = (3,-1), x = (1,3) dan y = (-1,-1). Tentukan : a.Matrik transisi dari basis A ke basis B b.Hitung c.Hitung dengan menggunakan hasil dari b d.Matrik transisi dari basis B ke basis A

35 a. Misalkan Dan untuk Jadi matrik transisi dari basis A ke basis B adalah : b. Misalkan

36 c. Dari (a) dan (b) didapatkan sehingga d. Matrik transisi dari basis B ke basis A adalah P -1 dengan P merupakan matrik transisi terhadap basis A ke basis B. Jadi merupakan matrik transisi dari basis B ke basis A

37 Perhitungan perubahan basis suatu matrik dengan metode Gauss-Jordan Anggap B = {u 1 ….., u n } dan C = {v 1 ….., v n } merupakan basis dari ruang vektor V dan P adalah matrik transisi basis B ke C. Kolom ke i dari P adalah : Sehingga : u i = p 1i v 1 + …. + p ni v n. Jika ε adalah sembarang basis di V, maka :

38 Dapat ditulis dalam bentuk matrik sebagai berikut : Persamaan ini dapat diselesaikan dengan eliminasi Gauss – Jordan dari matrik augmented : Diperoleh hasil :

39 Contoh soal : Dalam M 22 diketahui basis B = {E 11, E 21, E 12, E 22 } dan basis C = {A, B, C, D} dengan : Tentukan matrik transisi dari basis B ke basis C ! Jawab : Jika ε adalah basis sembarang untuk M 22 merupakan basis standar, maka dapat diperoleh :

40 Dengan metode Gauss – Jordan diperoleh :

41 Jadi matrik transisi P diperoleh :

42 Soal latihan : 1.Periksa apakah operasi berikut merupakan hasil kali dalam atau bukan : a. = u 1 2 +u 2 v 2 2 di R 2 b. = u 1 v u 2 v 2 – u 3 v 3 di R 3 c. = u 1 v 3 + u 2 v 2 + u 3 v 1 di R 3 d. = 2u 1 v 1 +u 2 v 2 +3u 3 v 3 2. Tentukan nilai k sehingga vektor (k, k, 1) dan vektor (k, 5, 6 ) adalah ortogonal dalam ruang Euclides 3. W merupakan subruang RHD euclides di ℜ 3 yang dibangun oleh vektor (1,1,0) dan (1,0,-1) Tentukan proyeksi ortogonal vektor (-1,1,2) pada W 4. Diketahui B={u 1, u 2 } dan C ={v 1, v 2 } adalah basis ruang vektor V dengan u 1 =(2, 2), u 2 = (4, -1), v 1 =(1, 3) dan v 2 = (-1, -1). Tentukan matrik transisi P dari basis B ke basis C


Download ppt "Ruang Hasil kali Dalam (INNER PRODUCT SPACE). Yang di bahas : Hasil kali dalam Panjang vektor, jarak vektor dan besar sudut dalam RHD Basis ortonormal."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google