Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

a 11 x 1 + a 12 x 2 + ……….+ a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + ……….+ a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 + ……..+ a mn x n = b n SPL dengan m persamaan.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "a 11 x 1 + a 12 x 2 + ……….+ a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + ……….+ a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 + ……..+ a mn x n = b n SPL dengan m persamaan."— Transcript presentasi:

1

2 a 11 x 1 + a 12 x 2 + ……….+ a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + ……….+ a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 + ……..+ a mn x n = b n SPL dengan m persamaan dan n variabel. a ij, b i : tetapan-tetapan SPL x j : variable SPL i= 1, 2, ………. m, j = 1, 2, ……….n

3 Persyaratan Sistem Persamaan Linier : A x = b Dengan : A : matrik koefisien (harus matrik bujursangkar) x : matrik variabel (matrik kolom) b : matrik suku tetap (matrik kolom)

4 SPL Tidak mempunyai penyelesaian disebut TIDAK KONSISTEN Mempunyai penyelesaian disebut KONSISTEN TUNGGAL BANYAK SPL dalam : R 2 (garis) : ax + by = c R 3 (bidang): ax + by + cz = d

5 Sistem persamaan linier dengan 2 variabel, secara geometris : 1.Berupa dua garis sejajar (tidak punya penyelesaian) Syarat garis //(tetapi tidak berhimpit) 2.Berupa titik hasil perpotongan dua garis(penyelesaian tunggal/unik) Syarat dua garis tidak // 3.Berupa dua garis lurus saling berhimpit (penyelesaiannya banyak) Syarat garis berhimpit

6 ILUSTRASI GRAFIK SPL 2 persamaan 2 variabel: Masing-masing pers berupa garis lurus. Penyelesaiannya adalah titik potong kedua garis ini. kedua garis sejajar kedua garis berpotongan kedua garis berhimpitan

7 3x 1 + 2x 2 = 18 -x 1 + 2x 2 = 2 -½ x 1 + x 2 = 1 -½ x 1 + x 2 = ½ -½ x 1 + x 2 = 1 -1 x 1 + 2x 2 = 2 - ½ x 1 + x 2 = /5 x 1 + x 2 = 1.1 Det = 3*2 - (-1)*2 = 8Det = -1/2 *1 - (-2.3/5)*1 = Det = -1/2 *1 - (-1/2)*1 = 0 Det = -1/2 *2 - (-1)*1 = 0 x1x1 x2x2 x1x1 x2x2 x1x1 x2x2 Penyelesaian: Ada, Tunggal (well condition) Penyelesaian: Ada, Kondisi buruk (ill condition) Penyelesaian: Tak ada Penyelesaian: Tak berhingga x1x1 x2x2

8 CARA PENYELESAIAN SPL: 1.Eliminasi biasa (operasi tanpa mengubah jawab) -Mengalikan persamaan dengan bilangan ≠ 0 -Menambah/mengurangkan persamaan dengan kelipatan persamaan lain 2. Dengan cara OBE : a. Eliminasi Gauss -Membuat matrik lengkap (augmented) -Mengubah matrik lengkap menjadi matrik eselon baris dengan sejumlah OBE -Mendapatkan jawab SPL

9 Perubahan Eliminasi Gauss (backward) dapat digambar- kan sebagai berikut :

10 OBE b. Eliminasi Gauss – Jordan : (A b) (I x) -Membuat matrik lengkap (augmented) -Mengubah matrik lengkap menjadi matrik eselon baris tereduksi dengan sejumlah OBE -Mendapatkan jawab SPL

11 Perubahan eliminasi Gauss – Jordan dapat digambarkan sebagai berikut :

12 3. Dengan matrik invers : 4. Dengan aturan Cramer : SPL berikut ini : maka : x = A -1 b

13 Agar solusi SPL dapat diperoleh, maka persyaratan berikut ini harus dipenuhi : 1. Ax = b mempunyai jawab unik x V untuk setiap b V 2. Jika Ax = 0, berarti x = 0 3. Mempunyai matrik invers A 4. Determinan A ≠ 0 5. Rank (A) = n, atau matrik A berorde n Jika persyaratan di atas tak terpenuhi, maka akan terjadi kombinasi linier (mengakibatkan SPL bersifat singular) Kombinasi Linier :  per baris, cukup hanya 2 baris yang menyebabkannya  per kolom, bila semua baris yang menyebabkannya.

14 Contoh : 1.Tentukan SPL di bawah ini : Jawab : a.Dengan cara eliminasi : 2 x 1 – 3(2) = – 4 x 1 = 1 Jadi : x 1 = 1 dan x 2 = 2

15 b. Dengan cara OBE : x 1 = 1 dan x 2 = 2 OBE b 1 (1/2) b 21 (-3) b 2 (2/19) b 12 (3/2)

16 c. Dengan cara matrik invers. Jadi x 1 = 1 dan x 2 = 2

17 d. Dengan cara aturan Cramer : Jadi, x 1 = 1 dan x 2 = 2

18 2.Tentukan SPL di bawah ini : 2 x 1 + x 2 – x 3 = 2 x 1 – x 2 + x 3 = 1 –x x 2 – x 3 = 3 a.Dengan cara eliminasi : 2 x 1 + x 2 – x 3 = 2 …….(1) x 1 – x 2 + x 3 = 1 …….(2) –x x 2 – x 3 = 3..…..(3) (1) 2 x 1 + x 2 – x 3 = 2 (2) x 1 – x 2 + x 3 = 1 3 x 1 = 3 x 1 = 1

19 (2) x 1 – x 2 + x 3 = 1 (3) –x x 2 – x 3 = 3 x 2 = 4 (2) x 1 – x 2 + x 3 = 1 1 – 4 + x 3 = 1 x 3 = 4 Jadi : x 1 = 1, x 2 = 4 dan x 3 = 4

20 b. Dengan cara OBE : OBE b 12 b 21 (-2)

21 b 31 (1)b 2 (1/3) b 12 (1)b 32 (-1) b 23 (1) Jadi : x 1 = 1, x 2 = 4 dan x 3 = 4

22 c. Dengan cara matrik invers

23

24

25

26 Jadi : x 1 = 1, x 2 = 4 dan x 3 = 4

27 d. Dengan cara Cramer : Jadi : x 1 = 1, x 2 = 4 dan x 3 = 4

28 SPL dengan penyelesaian tunggal (unik) 3. Cari penyelesaian dari sistem dengan metode Gauss: x 1 – 2x 2 + x 3 = -5 3x 1 + x 2 – 2x 3 = 11 -2x 1 + x 2 + x 3 = -2 (A B) = ~  Lakukan OBE, bawa (A B) menjadi bentuk eselon baris

29 Persamaan baru menjadi : x 1 – 2x 2 + x 3 = -5 x 2 – x 3 = 4 2x 3 = -2 ~ ~~ r(A) = 3 r(A B) = 3 n = 3

30  Selanjutnya lakukan substitusi balik : 2x 3 = -2 x 3 = -1 x 2 – x 3 = 4 x 2 – (-1) = 4 x 2 = 3 x 1 – 2x 2 + x 3 = -5 x 1 – 2(3) + (- 1) = -5 x 1 = 2 Jadi penyelesaiannya : {(2, 3, -1)}.

31 4. Cari penyelesaian dari sistem dengan metode Gauss - Jordan : x 1 – 2x 2 + x 3 = -5 3x 1 + x 2 – 2x 3 = 11 -2x 1 + x 2 + x 3 = -2 (A B) = ~ Lakukan OBE, bawa (A B) menjadi bentuk eselon baris tereduksi.

32 ~ ~~ ~ ~~ r(A) = 3 r(A B) = 3 n = 3

33 Persamaan terakhir menjadi: x 1 = 2 x 2 = 3 x 3 = -1 Jadi penyelesaiannya : {(2, 3, -1)}.

34 SPL dengan banyak jawab / banyak penyelesaian. Selesaikan sistem : x 1 – 2x 2 + x 3 = 2 -2x 1 + 3x 2 – 4x 3 = 1 -5x 1 + 8x 2 – 9x 3 = 0 Lakukan OBE, bawa (A B) menjadi bentuk eselon baris ~ (A B) =

35 Variabel bebasnya (yg tidak memuat unsur kunci) adalah : x 3 Banyaknya variabel bebas = n – r = 3 – 2 = 1 r(A) = 2 r(A B) = 2 n = 3 ~ Persamaan baru menjadi : x 1 – 2x 2 + x 3 = 2 – x 2 – 2x 3 = 5

36 Jika diambil nilai α = 0, maka salah satu penyelesaian khusus adalah {(-8, -5, 0)}. Jadi penyelesaian umum : {(-5α – 8, -2α – 5, α)}. x 1 = -5α – 8 x 1 – 2(- 2α – 5) + α = 2 x 1 – 2x 2 + x 3 = 2 x 2 = - 2α – 5 – x 2 – 2α = 5 – x 2 – 2x 3 = 5 Misalkan x 3 = α, dengan α bilangan nyata Berikan nilai parameter tertentu pada variabel bebas, kemudian subtitusikan pada persamaan baru.

37 Selesaikan sistem : x 1 – x 2 + 2x 3 – 3x 4 = - 2 -x 1 + x 2 – 3x 3 + x 4 = 1 2x 1 – 2x 2 + 3x 3 – 8x 4 = - 5 (A B) = ~ ~ r(A) = 2 r(A B) = 2 n = 4

38 Banyaknya variabel bebas = n – r = 4 – 2 = 2 Variabel bebasnya (yg tidak memuat unsur kunci) adalah : x 2 dan x 4 Persamaan baru menjadi : x 1 – x 2 + 2x 3 – 3x 4 = - 2 – x 3 – 2x 4 = - 1 Misalkan x 2 = α, dan x 4 = β dengan α, β bil. nyata – x 3 – 2x 4 = - 1– x 3 – 2β = - 1 x 3 = - 2β + 1

39 x 1 – x 2 + 2x 3 – 3x 4 = - 2x 1 – α + 2 (-2β + 1) – 3β = -2 x 1 = α + 7β – 4 Jadi penyelesiaan umum : {(α + 7β – 4, α, - 2β + 1, β)}. misal diambil nilai α = 1, dan β = 0, maka salah satu penyelesaian khusus adalah {(-3, 1, 1, 0)}.

40 SPL yang tidak mempunyai jawab / penyelesaian. Selesaikan sistem : x 1 – x 2 + 2x 3 – 3x 4 = - 2 -x 1 + x 2 – 3x 3 + x 4 = 1 2x 1 – 2x 2 + 3x 3 – 8x 4 = - 3 (A B) = ~

41 ~ r(A) = 2 r(A B) = 3 n = 4 r(A) ≠ r(A B); tidak punya penyelesaian. Mengapa ? Persamaan baru yang terakhir dapat dibaca : 0x 1 + 0x 2 + 0x 3 + 0x 4 = 2 Apakah ada nilai x yang memenuhi ? Sistem tidak punya penyelesaian.

42 Metode Grafik 2 -2 Det{A}  0  A nonsingular, maka invertible Solusi Unik

43 Sistem persamaan yang tak terselesaikan Tidak ada jawab Det [A] = 0, Sistem inkonsisten SPL Tak terselesaikan

44 Sistem dengan solusi tak terbatas Det{A} = 0  A singular solusi tak terbatas Konsisten, sehingga dapat diselesaikan

45  SPL Overdetermined  Disebut overdetermined jika jumlah persamaan (m) lebih banyak dari jumlah variabelnya (n).  Dalam penulisan matrik, jumlah baris selalu lebih besar dari jumlah kolom  Umumnya inkonsisten (tetapi tidak selalu) Contoh : (a) 2 x 1 – x 2 = 7 (b) 2 x 1 + x 2 + x 3 = 4 (c) x 1 +2x 2 + x 3 = 1 –2 x 1 – x 2 =– 5 –2 x 1 – x 2 –3 x 3 = – 5 2x 1 – x 2 + x 3 = 2 x 1 +2x 2 = 2 2 x 1 – 3x 2 +3 x 3 = – 3 4x 1 +3x 2 + 3x 3 = 4 x 1 +2x 2 –2 x 3 = 9 3x 1 + x 2 + 2x 3 = 2

46 Baris terakhir menyatakan bahwa SPL inkonsisten, karena tidak ekivalen atau tidak memiliki himpunan penyelesaian yang sama satu sama lain. Untuk sistem (a)

47 Matrik berbentuk segitiga, SPL konsisten dan memiliki tepat satu himpunan penyelesaian yaitu : (3, 2, -1) Untuk sistem B

48 SPL dikatakan konsisten. Himpunan penyelesainnya tidak terhingga dengan variabel bebasnya x 3. Himpunan penyelesainnya adalah : {(1- 0,6 x 3 ), (-0,2 x 3 ), x 3 }. Nilai x 3 bebas Untuk sistem (c)

49  SPL Underdetermined  Disebut underdetermined jika jumlah persamaan (m) lebih sedikit dari jumlah variabelnya (n).  Dalam penulisan matrik, jumlah baris selalu lebih kecil dari jumlah kolom  Bisa inkonsisten dan memiliki penyelesaian tak berhingga.  Tidak mungkin menghasilkan penyelesaian unik Contoh : (a) 2 x 1 + x 2 – 2x 3 = 4 (b) x 1 + x 2 + x 3 – x 4 – 2x 5 = 3 –2 x 1 – x 2 +2x 3 =3 2 x 1 + x 2 + x 3 – x 4 – x 5 = 3 2 x 1 – x 2 – x 3 + x 4 + 6x 5 = 7

50 Untuk sistem (a): SPL underdetermined juga mungkin tidak memiliki himpunan penyelesaian (inkonsisten)

51 Untuk sistem b : Terdapat 2 variabel bebas, sehingga SPL memiliki penyelesaian tak terhingga Jika diteruskan diperoleh hasil : x 1 = 2, x 2 = 3 – x 3 + x 4, x 5 = 1 ( x 3 dan x 4 = variabel bebas)

52 Latihan soal : 1. Tentukan x 1, x 2, x 3 dan x 4 dengan metode Cramer dan matrik invers : a) 2 x x 2 – x x 4 = – 7 4 x x 2 +3 x 3 – x 4 = 17 6 x 1 –3 x x x 4 = 19 –2 x 1 + x 2 – 2x 3 – x 4 = – 9 b) 2 x 1 – x x x 4 = 9 x 1 – 2 x x 4 = 11 3 x 1 – 3 x 2 + x x 4 = 8 2 x 1 + x x x 4 = 10

53 2. Tentukan x 1, x 2, x 3 dan x 4 dengan metode eliminasi Gauss dan Gauss Jordan : a) x 1 – x x 3 – x 4 = – 8 2 x 1 – 2 x 2 +3 x 3 – 3 x 4 = –20 x 1 + x 2 + x 3 = – 2 x 1 – x 2 + 4x 3 – 3 x 4 = 4 b) 3 x 1 –13 x x x 4 =–19 6 x 1 – 2 x x x 4 = x 1 –8 x 2 +6 x x 4 = 26 –6 x x 2 – x 3 – 18 x 4 = –34


Download ppt "a 11 x 1 + a 12 x 2 + ……….+ a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + ……….+ a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 + ……..+ a mn x n = b n SPL dengan m persamaan."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google