Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

SISTEM PERSAMAAN LINEAR Budi Murtiyasa Jur. Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Surakarta Juli 2008 10/01/20151design by budi murtiyasa 2008.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "SISTEM PERSAMAAN LINEAR Budi Murtiyasa Jur. Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Surakarta Juli 2008 10/01/20151design by budi murtiyasa 2008."— Transcript presentasi:

1 SISTEM PERSAMAAN LINEAR Budi Murtiyasa Jur. Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Surakarta Juli /01/20151design by budi murtiyasa 2008

2 Sistem persamaan linear 2x 1 – x 2 + 2x 3 = 7 x 1 + 3x 2 – 5x 3 = 0 - x 1 + x 3 = 4 Dng notasi matriks = A X =G 3x 1 – 7x 2 + x 3 = 0 -2x 1 + 3x 2 – 4x 3 = 0 Dng notasi matriks = AX=G A, matriks koefisien X, matriks variabel /peubah G, matriks konstanta Matriks augmented : matriks koefisien A ditambah matriks konstanta G. (A | G) =

3 SISTEM PERSAMAAN LINEAR A X = G G = 0 ? ya Sistem persamaan linear homogen A X = 0 tidak Sistem persamaan linear nonhomogen A X = G, dng G ≠ 0 Contoh : 3x – 5y + 3z = 0 x + 2y – z = 0 2x + y + 2z = 0 Contoh : 2x + y – 7z = 0 3x + 2y + z = 5 x – 6y + 2z = 0

4 SPL Nonhomogen A X = G, G ≠ 0 Mempunyai jawab / konsisten r(A) = r(A G) Jawab tunggal r(A) = r(A G) = n Metode penyelesaian : Gauss Gauss-Jordan matriks invers Aturan cramer Banyak Jawab r(A) = r(A G) < n Metode penyelesaian : dng OBE, bawa (A G) ke bentuk echelon. banyaknya variabel bebas = n – r. Tidak mempunyai jawab / inkonsisten r(A) ≠ r(A G) Keterangan : n : banyaknya variabel r : rank (A G) : matriks augmented (tambahan), yaitu matriks koefisien & matriks konstanta

5 SPL Nonhomogen dengan penyelesaian tunggal (unique) Cari penyelesaian dari sistem : x 1 – 2x 2 + x 3 = -5 3x 1 + x 2 – 2x 3 = 11 -2x 1 + x 2 + x 3 = -2 Metode Gauss : 1.lakukan OBE, bawa (A G) menjadi bentuk echelon (A G) = ~ ~~ ~ Persamaan baru menjadi : x 1 – 2x 2 + x 3 = -5 x 2 – x 3 = 4 2x 3 = lakukan subtitusi balik : 2x 3 = -2x 3 = -1 x 2 – x 3 = 4x 2 – (-1) = 4 x 2 = 3 x 1 – 2x 2 + x 3 = -5 x 1 – 2(3) + (- 1) = -5 x 1 = 2 Jadi penyelesaiannya : {(2, 3, -1)}. r(A) = 3 r(A G) = 3 n = 3

6 SPL Nonhomogen dengan penyelesaian tunggal (unique) Cari penyelesaian dari sistem : x 1 – 2x 2 + x 3 = -5 3x 1 + x 2 – 2x 3 = 11 -2x 1 + x 2 + x 3 = -2 Metode Gauss-Jordan : lakukan OBE, bawa (A G) menjadi bentuk echelon baris tereduksi. (A G) = ~ ~~ ~ Jadi penyelesaiannya : {(2, 3, -1)}. r(A) = 3 r(A G) = 3 n = 3 ~ ~ ~ Persamaan terakhir menjadi: x 1 = 2 x 2 = 3 x 3 = -1

7 Sistem persamaan linear 2x 1 – x 2 + 2x 3 = 7 x 1 + 3x 2 – 5x 3 = 0 - x 1 + x 3 = 4 Dng notasi matriks = A X =G 3x 1 – 7x 2 + x 3 = 0 -2x 1 + 3x 2 – 4x 3 = 0 Dng notasi matriks = AX=G A, matriks koefisien X, matriks variabel /peubah G, matriks konstanta

8 SPL Nonhomogen dengan penyelesaian tunggal (unique) Cari penyelesaian dari sistem : x 1 – 2x 2 + x 3 = -5 3x 1 + x 2 – 2x 3 = 11 -2x 1 + x 2 + x 3 = -2 Metode Matriks Invers : 1. Cari invers dari A (bisa dng OBE, atau bisa dng matriks adjoint). Jadi penyelesaiannya : {(2, 3, -1)}. Jadi : x 1 = 2 x 2 = 3 x 3 = -1 A X = G A -1 A X = A -1 G X = A -1 G A =, maka adj A = det(A) = 6 A -1 = adj A = 2. Selesaikan X = A -1 G X = =

9 SPL Nonhomogen dengan penyelesaian tunggal (unique) Cari penyelesaian dari sistem : x 1 – 2x 2 + x 3 = -5 3x 1 + x 2 – 2x 3 = 11 -2x 1 + x 2 + x 3 = -2 Metode Cramer : 1.Cari det(A), dan det(A i ), yaitu determinan dr A dng terlebih dahulu mengganti kolom ke i dengan matriks konstanta G Jadi penyelesaiannya : {(2, 3, -1)}. |A| == 6 | A 1 | = 2. Selesaikan X i = |A i | / | A | = 12 | A 2 | == 18 | A 3 | == - 6

10 SPL Nonhomogen dengan banyak jawab / banyak penyelesaian. Selesaikan sistem : x 1 – 2x 2 + x 3 = 2 -2x 1 + 3x 2 – 4x 3 = 1 -5x 1 + 8x 2 – 9x 3 = 0 1.lakukan OBE, bawa (A G) menjadi bentuk echelon (A G) = ~ ~ r(A) = 2 r(A G) = 2 n = 3 Banyaknya variabel bebas = n – r = 3 – 2 = 1 Variabel bebasnya (yg tidak memuat unsur kunci) adalah : x 3 Persamaan baru menjadi : x 1 – 2x 2 + x 3 = 2 – x 2 – 2x 3 = 5 2.Berikan nilai parameter tertentu pada variabel bebas, kemudian subtitusikan pada persamaan baru. Misalkan x 3 = α, dng α bil Real – x 2 – 2x 3 = 5 – x 2 – 2α = 5 x 2 = - 2α – 5 x 1 – 2x 2 + x 3 = 2 x 1 – 2(- 2α – 5) + α = 2 x 1 = -5α – 8 Jadi penyelesaian umum : {(-5α – 8, -2α – 5, α)}. Jika diambil nilai α = 0, maka salah satu penyelesaian khusus adalah {(-8, -5, 0)}.

11 SPL Nonhomogen dengan banyak jawab / banyak penyelesaian. Selesaikan sistem : x 1 – x 2 + 2x 3 – 3x 4 = - 2 -x 1 + x 2 – 3x 3 + x 4 = 1 2x 1 – 2x 2 + 3x 3 – 8x 4 = - 5 Solusi : (A G) = ~ ~ r(A) = 2 r(A G) = 2 n = 4 Banyaknya variabel bebas = n – r = 4 – 2 = 2 Variabel bebasnya (yg tidak memuat unsur kunci) adalah : x 2 dan x 4 Persamaan baru menjadi : x 1 – x 2 + 2x 3 – 3x 4 = - 2 – x 3 – 2x 4 = - 1 Misalkan x 2 = α, dan x 4 = β dng α, β bil Real – x 3 – 2x 4 = - 1– x 3 – 2β = - 1 x 3 = - 2 β + 1 x 1 – x 2 + 2x 3 – 3x 4 = - 2 x 1 – α + 2 (-2 β + 1) – 3β = -2 x 1 = α + 7 β – 4 Jadi penyelesiaan umum : {(α + 7β – 4, α, - 2β + 1, β )}. misal diambil nilai α = 1, dan β = 0, m aka salah satu penyelesaian khusus adalah {(-3, 1, 1, 0)}.

12 SPL Nonhomogen yang tidak mempunyai jawab / penyelesaian. Selesaikan sistem : x 1 – x 2 + 2x 3 – 3x 4 = - 2 -x 1 + x 2 – 3x 3 + x 4 = 1 2x 1 – 2x 2 + 3x 3 – 8x 4 = - 3 Solusi : (A G) = ~ ~ r(A) = 2 r(A G) = 3 n = 4 r(A) ≠ r(A G); tidak punya penyelesaian. Mengapa ? Persamaan baru yg terakhir dpt dibaca : 0x 1 + 0x 2 + 0x 3 + 0x 4 = 2 Apakah ada nilai x yang memenuhi ? Sistem tidak punya penyelesaian.

13 SPL Homogen A X = 0 Selalu mempunyai jawab / konsisten Sebab pasti r(A) = r(A 0) Jawab tunggal / hanya jawab trivial / jawab nol r(A) = n Banyak Jawab. Selain jawab trivial, ada jawab non trivial r(A) < n Metode solusi : Lakukan OBE terhadap matriks koefisien A, sehingga menjadi bentuk echelon. banyaknya var.bebas = n – r

14 SPL Homogen dangan Jawab Tunggal /hanya jawab trivial / hanya jawab nol Selesaikan sistem : x 1 – 2x 2 + x 3 = 0 -x 1 + 3x 2 – 2x 3 = 0 2x 1 + x 2 – 4x 3 = 0 Solusi : (A 0) = ~ ~ r(A) = 3 r(A 0) = 3 n = 3 Sistem hanya mempunyai jawab nol, Dari persamaan baru dapat dibaca : x 1 – 2x 2 + x 3 = 0 x 2 – x 3 = 0 – x 3 = 0 Dengan subtitusi balik diperoleh : x 3 = 0, x 2 = 0, dan x 1 = 0 Catatan : saat OBE, perhatikan bahwa bagian kanan dari (A | 0) tidak berubah, Jadi khusus sistem homogen kita dapat cukup melakukan OBE terhadap matriks A; dengan mengingat bahwa bagian ruas kanan selalu bernilai 0 (nol).

15 SPL Homogen dengan banyak Jawab Selesaikan sistem : x 1 – 2x 2 + x 3 = 0 -x 1 + 3x 2 – 2x 3 = 0 2x 1 + x 2 – 3x 3 = 0 Solusi : A = ~ ~ r(A) = 2 n = 3 Dari persamaan baru dapat dibaca : x 1 – 2x 2 + x 3 = 0 x 2 – x 3 = 0 Dengan subtitusi balik diperoleh : Banyaknya variabel bebas = n – r = 3 – 2 = 1 Variabel bebasnya (yg tidak memuat unsur kunci) adalah : x 3 Misalkan x 3 = α, dng α bil Real x 2 – x 3 = 0x 2 = α x 1 – 2x 2 + x 3 = 0 x 1 = α Jadi penyelesaian umum : {(α, α, α)}. misal diambil nilai α = 1, maka salah satu penyelesaian khusus adalah {(1, 1, 1)}.

16 SPL Homogen dengan banyak Jawab Selesaikan sistem : -x 1 + x 2 – 3x 3 + x 4 = 0 x 1 – x 2 + 2x 3 – 3x 4 = 0 2x 1 – 2x 2 + 3x 3 – 8x 4 = 0 Solusi : A = ~ ~ r(A) = 2 n = 4 Banyaknya variabel bebas = n – r = 4 – 2 = 2 Variabel bebasnya (yg tidak memuat unsur kunci) adalah : x 2 dan x 4 Persamaan baru menjadi : - x 1 + x 2 – 3x 3 + x 4 = 0 – x 3 – 2x 4 = 0 Misalkan x 2 = α, dan x 4 = β dng α, β bil Real – x 3 – 2x 4 = 0– x 3 – 2β = 0 x 3 = - 2 β -x 1 + x 2 – 3x 3 + x 4 = 0 -x 1 + α – 3(-2 β) + β = 0 x 1 = α + 7 β Jadi penyelesaian umum : {(α + 7β, α, - 2β, β )}. misal diambil nilai α = 0, dan β = 1, m aka salah satu penyelesaian khusus adalah {(7, 0, -2, 1)}.

17 Jika mungkin, carilah jawab yang non trivial dari sistem persamaan : x 1 – 3x 2 + x 3 + 2x 4 = 0 2x 1 – 5x 2 + 3x 3 + 4x 4 = 0 3x 1 – 8x 2 + 4x 3 + 6x 4 = 0 -4x x 2 – 5x 3 – 8x 4 = 0 Solusi : A = ~ ~ r(A) = 2 n = 4 Banyaknya variabel bebas = n – r = 4 – 2 = 2 Variabel bebasnya (yg tidak memuat unsur kunci) adalah : x 3 dan x 4 Persamaan baru menjadi : x 1 – 3x 2 + x 3 + 2x 4 = 0 x 2 + x 3 = 0 Misalkan x 3 = α, dan x 4 = β dng α, β bil Real x 2 + x 3 = 0x 2 + α = 0 x 2 = - α x 1 – 3x 2 + x 3 + 2x 4 = 0 x 1 – 3(-α) + α + 2β = 0 x 1 = - 4α – 2 β Jadi penyelesaian umum : {(- 4α – 2β, -α, α, β )}. misal diambil nilai α = 1, dan β = 1, m aka salah satu penyelesaian khusus adalah {(-6, -1, 1, 1)}.

18 Jika mungkin, carilah jawab yang non trivial dari sistem persamaan : x 1 + 3x 2 + 3x 3 = 0 x 1 + 4x 2 + 3x 3 = 0 x 1 + 3x 2 + 4x 3 = 0 Solusi : Sistem tersebut hanya mempunyai jawab trivial (jawab nol). Jadi x 1 = x 2 = x 3 = 0.


Download ppt "SISTEM PERSAMAAN LINEAR Budi Murtiyasa Jur. Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Surakarta Juli 2008 10/01/20151design by budi murtiyasa 2008."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google