Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Departemen Matematika IPB 1 3.1 MATRIKS Definisi: [Matriks] Matriks adalah kumpulan bilangan yang disusun dalam bentuk pesegi panjang atau bujursangkar.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Departemen Matematika IPB 1 3.1 MATRIKS Definisi: [Matriks] Matriks adalah kumpulan bilangan yang disusun dalam bentuk pesegi panjang atau bujursangkar."— Transcript presentasi:

1 Departemen Matematika IPB MATRIKS Definisi: [Matriks] Matriks adalah kumpulan bilangan yang disusun dalam bentuk pesegi panjang atau bujursangkar. Ukuran atau ordo dari suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris dan kolom yang membentuknya. Notasi: huruf besar A, B, C, D, … Catatan: Secara umum matriks dapat ditulis sbb. a ij = elemen matriks A yg terletak pada baris ke-i, kolom ke-j; i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n m  n = ukuran atau ordo matriks A, yaitu Contoh: Tentukan matriks A yang elemennya didefinisikan sebagai berikut: BAB 3. MATRIKS

2 Departemen Matematika IPB 2 Definisi: [Anak matriks] Anak matriks dari matriks A adalah suatu matriks baru yang diperoleh dari matriks A dengan menghilangkan beberapa baris atau kolomnya. Contoh: Tentukan anak matriks dari matriks yang diperoleh dengan : a. menghilangkan baris 2 dan kolom 1. b. menghilangkan baris 1, 3 dan kolom 2. Matriks khusus 1.Matriks segi: Matriks yang banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom. Catatan: a. Khusus untuk matriks segi, ordo n  n, biasa ditulis ordo n. b. Jika A= (a ij ) n×n maka elemen a 11, a 22, …, a nn disebut elemen diagonal utama matriks A. 2.Matriks segitiga atas: Matriks segi yang semua elemen di bawah diagonal utamanya nol. 3.Matriks segitiga bawah: Matriks segi yang semua elemen di atas diagonal utamanya nol. 4.Matriks identitas: Matriks yang semua elemen diagonal utamanya bernilai satu dan elemen lainnya bernilai nol. Catatan: Matriks identitas berordo n dilambangkan I n

3 Departemen Matematika IPB 3 Definisikan pula operasi pengurangan sebagai berikut: -A = (-1) A dan A - B = A + -(B) 3.2 OPERASI MATRIKS Penjumlahan dan perkalian skalar Definisi: [Penjumlahan dan perkalian skalar] Misalkan A dan B adalah dua matriks yang berukuran m  n dan Penjumlahan matriks A dan B, ditulis A +B dan perkalian skalar k dengan matriks A, ditulis kA, didefinisikan sebagai berikut:

4 Departemen Matematika IPB 4 Perkalian matriks A dan B, ditulis AB, didefinisikan sebagai berikut: Hukum penjumlahan dan perkalian skalar Misalkan A, B dan C adalah matriks-matriks yang berukuran sama dan k 1, k 2 adalah skalar, maka 1. (A + B) + C = A + (B + C) 2. A + (-A) = O 3. A + B = B + A 4. k 1 (A + B) = k 1 A + k 1 B 5. (k 1 + k 2 ) A = k 1 A + k 2 A 6. (k 1 k 2 ) A = k 1 (k 2 A) 7. 0 A = O dengan O adalah matriks nol, yaitu matriks yang semua elemennya nol Perkalian matriks Definisi: [Perkalian matriks] Misalkan A dan B adalah dua matriks yang berturut- turut berukuran m  p dan p  n

5 Departemen Matematika IPB 5 dengan Hukum perkalian matriks Misalkan A, B dan C adalah matriks-matriks yang ukurannya sesuai sehingga perkalian matriks di bawah ini terdefinisi dan k adalah skalar, maka 1. Hukum Assosiatif (AB) C = A ( BC) 2. Hukum distributif kiri A (B + C) = AB + AC 3. Hukum distributif kanan (B + C) A = BA + CA 4. k (AB) = (kA) B Catatan: secara umum AB  BA.

6 Departemen Matematika IPB Putaran (transpos) suatu matriks Definisi: [Putaran (transpos) suatu matriks] Misalkan A=(a ij ) adalah matriks berukuran m  n. Putaran atau transpos dari matriks A, ditulis A T, adalah matriks berukuran n  m yang didefinisikan sebagai berikut: Sifat matriks putaran 1. (A + B) T = A T + B T 2. (A T ) T = A 3. (k A) T = k A T, untuk suatu skalar k 4. (AB) T = B T A T Contoh: Diketahui matriks A, B, C dan D sebagai berikut: Tentukan operasi berikut bila terdefinisi, bila tidak, berikan alasannya. a. 3A + BD b. C + D c. (2A + B)C d. C T D e. (AC) T f. AA T

7 Departemen Matematika IPB OPERASI BARIS DASAR (OBD) Operasi baris dasar 1. Tukarkan baris ke-i dan ke-j Notasi: E ij, i  j 2. Kalikan baris ke-i dengan suatu konstanta k  0 Notasi: E i(k) 3. Tambahkan baris ke-i dengan k kali baris ke-j Notasi: E ij(k) Catatan: 1. Serangkaian operasi baris dasar dengan urutan E 1, E 2, …, E n yang dikenakan pada matriks A dapat ditulis E n … E 2 E 1 (A) 2. Jika A matriks berordo m  n, maka E ij (A) = E ij (I m ) A E i(k) (A) = E i(k) (I m ) A E ij(k) (A) = E ij(k) (I m ) A E n … E 2 E 1 (A) = E n … E 2 E 1 (I m ) A Contoh: Jika diketahui Tentukan matriks B = E 2(-1) E 13(2) E 12 (A).

8 Departemen Matematika IPB 8 Definisi: [Ekivalen baris] Matriks A dikatakan ekivalen baris dengan matriks B, notasi A  B, apabila terdapat serangkaian operasi baris dasar E 1, E 2, …, E n, sehingga B = E n … E 2 E 1 (A). Contoh: Tentukan serangkaian operasi baris dasar terhadap matriks A, sehingga A ekivalen baris dengan matriks segitiga atas dengan elemen diagonal utamanya DETERMINAN MATRIKS SEGI Definisi: [Determinan matriks 2  2] Jika, maka det(A) = a 11 a 22 – a 12 a 21. Definisi: [Determinan matriks n  n] Misalkan A= (a ij ) n  n dan A ij adalah anak matriks A yang diperoleh dengan menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j. Didefinisikan minor elemen a ij, notasi M ij adalah M ij = det(A ij ) dan kofaktor elemen a ij, notasi α ij adalah α ij = (-1) i+j M ij.

9 Departemen Matematika IPB 9 Maka Catatan: 1. Perhatikan bahwa tanda kofaktor mengikuti aturan berikut. 2. Determinan matriks A, biasa juga ditulis |A| Contoh: Tentukan determinan matriks berikut.

10 Departemen Matematika IPB Jika suatu baris/kolom matriks A digandakan dengan suatu skalar k sehingga didapat matriks B, maka det(B) = k det(A) Catatan: det(E i(k) (A)) = k det(A) det(kA) = k n det(A), A matriks n  n 4. Jika suatu baris/kolom matriks A ditambah dengan k kali baris/kolom lainnya sehingga didapat matriks B, maka det(B) = det(A). Catatan: det(E ij(k) (A)) = det(A) 5. Jika matriks A memiliki baris/kolom yang semua elemennya nol, maka det(A) = Jika ada baris/kolom matriks A yang merupakan kelipatan dari baris/kolom yang lain, maka det(A) = 0 7. Jika A merupakan matriks segitiga atas atau matriks segitiga bawah, maka determinan matriks A adalah perkalian elemen-elemen diagonal utamanya. 8. det(AB) = det(A).det(B) Sifat-sifat determinan 1. det(A) = det(A T ). 2. Jika dua baris/kolom matriks A saling dipertukarkan sehingga didapat matriks B, maka det(B) = -det(A). Catatan: det(E ij (A)) = -det(A) Contoh: 1. Diketahui A dan B adalah matriks segi berordo 3. Jika |A|=5 dan |B| = 2, tentukan |ABT| + |2B|.

11 Departemen Matematika IPB Dengan menggunakan operasi baris dasar, ubah matriks A menjadi matriks segitiga atas, kemudian tentukan determinannya. 3. Dengan menggunakan sifat determinan, buktikan bahwa: 4. Tentukan |A|, jika diketahui 3.5 PANGKAT MATRIKS Definisi: [Pangkat matriks] Misalkan A matriks berordo m  n. Pangkat atau rank matriks A didefinisikan sebagai ordo terbesar anak matriks A yang determinannya tidak nol. Notasi: p(A) (dibaca: pangkat matriks A)

12 Departemen Matematika IPB 12 Contoh: Tentukan pangkat matriks berikut. Teorema: [Menentukan pangkat matriks] Pangkat matriks hasil serangkaian operasi baris dasar sama dengan pangkat matriks asal. Catatan: Jika A  B, maka p(A) = p(B). Contoh: Dengan menggunakan operasi baris dasar, tentukan pangkat matriks berikut. 3.6 MATRIKS INVERS Definisi: [Matriks invers] Misalkan A matriks segi berordo n. Matriks A dikatakan matriks taksingular atau mempunyai invers, jika terdapat matriks B sedemikian sehingga AB = BA = I n. Matriks B disebut invers matriks A. Notasi: B = A -1 (dibaca: invers matriks A)

13 Departemen Matematika IPB 13 Sifat-sifat matriks invers 1. Invers suatu matriks taksingular bersifat tunggal. 2. Jika matriks A dan B adalah matriks taksingular, maka a. (A -1 ) -1 = A b. (AB) -1 = B -1 A -1 c. (A T ) -1 = (A -1 ) T Menentukan invers matriks Metode Matriks Adjoint Metode Penghapusan 1. Metode Matriks Adjoint ● Teorema: [Metode matriks adjoint] Misalkan A = (a ij ) adalah matriks segi berordo n. Jika det(A)  0 dan matriks C = (α ij ), dengan α ij adalah kofaktor elemen a ij, maka invers matriks A adalah C T disebut matriks adjoint dari matriks A. ●Contoh: Dengan menggunakan metode matriks adjoint tentukan invers matriks berikut.

14 Departemen Matematika IPB Metode Penghapusan ● Konsep dasar: 1. Jika A  I n, maka terdapat serangkaian operasi baris dasar sehingga `` 2. Berdasarkan sifat operasi baris dasar 3. Misalkan, maka I n  P dan PA = I n. 5. Berdasarkan sifat invers matriks ● Prosedur menentukan invers matriks A: 1. Tuliskan matriks yang diperbesar (A|I n ). 2. Lakukan serangkaian operasi baris dasar pada matriks (A|I n ) sehingga bagian kiri matriks tersebut berubah menjadi I n, yaitu (I n |P). 3. Tuliskan A -1 = P. 4. Dari 2 dan 3, A  I n dan I n  P, dengan operasi baris dasar yang sama, sehingga dapat ditulis sekaligus (A|I n )  (I n |P)

15 Departemen Matematika IPB 15 ●Contoh: Dengan menggunakan metode penghapusan tentukan invers matriks berikut. 3.7 LATIHAN 1. Jika A, B dan C adalah matriks segi berordo 2, serta tentukan matriks C. 3. Buktikan det(A -1 ) = 1/det(A). 4. Misalkan A adalah matriks segi berordo 4 dan det(A) = -6 serta B = E 3(2) E 21(3) E 41 (A). Dengan menggunakan sifat-sifat determinan tentukan: a. det(B) b. det((AB) -1 ). 5.Jika diketahui Tentukan matriks A menggunakan metode matriks adjoint dan metode penghapusan.


Download ppt "Departemen Matematika IPB 1 3.1 MATRIKS Definisi: [Matriks] Matriks adalah kumpulan bilangan yang disusun dalam bentuk pesegi panjang atau bujursangkar."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google