Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

1 MATRIKS Trihastuti Agustinah. 2 DEFENISI Susunan segiempat (rectangular array) dari bilangan-bilangan Ukuran (size) matriks: banyaknya baris dan kolom.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "1 MATRIKS Trihastuti Agustinah. 2 DEFENISI Susunan segiempat (rectangular array) dari bilangan-bilangan Ukuran (size) matriks: banyaknya baris dan kolom."— Transcript presentasi:

1 1 MATRIKS Trihastuti Agustinah

2 2 DEFENISI Susunan segiempat (rectangular array) dari bilangan-bilangan Ukuran (size) matriks: banyaknya baris dan kolom Matriks hanya memiliki 1 kolom  vektor kolom Matriks hanya memiliki 1 baris  vektor baris Notasi: matriks  huruf besar kuantitas numerik dalam matriks  huruf kecil

3 3 Notasi entry Entri pada baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A  a ij Matriks A m x n : Notasi kompak [a ij ] m x n atau [a ij ] Entri pada baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A juga dinotasikan: (A) ij = a ij

4 4 Notasi (lanj.) Notasi matriks baris dan kolom: Huruf kecil cetak tebal Contoh: Matriks A dengan n-baris dan n-kolom Matriks bujursangkar orde-n Entri a 11, a 22, …, a nn  diagonal utama dari A

5 5 Operasi-operasi matriks (1) Matriks A dan B adalah sama Ukuran sama Entri yang bersesuaian sama Jadi, A=B ↔ (A) ij =(B) ij atau a ij =b ij Contoh: Jika x = 4, maka A=B

6 6 Operasi-operasi matriks (2) Ukuran matriks A dan B adalah sama Jumlah A+B Matriks Jumlahkan entri-entri yang bersesuaian Selisih A–B

7 7 Operasi-operasi matriks (3) A: matriks dan c: skalar Hasilkali cA Matriks Perkalian tiap entri A dengan c

8 8 Contoh 1

9 9 Kombinasi linear Matriks A 1, A 2, …, A n berukuran sama c 1, c 2, …, c n adalah skalar Ekspresi disebut kombinasi linear dari A 1, A 2, …, A n dengan koefisien c 1, c 2, …, c n

10 10 Contoh 2 Matriks dari contoh 1 kombinasi linear dari A, B dan C dengan koefisien 2, -1 dan 1/3

11 11 Hasilkali matriks Matriks A mxr dan B rxn Hasilkali AB: Contoh:

12 12 Partisi matriks (1) Matriks dibagi / dipartisi ke dalam matriks yang lebih kecil menyisipkan garis vertikal atau horizontal diantara baris atau kolom Contoh:

13 13 Partisi matriks (2) Contoh:

14 14 Perkalian matriks melalui kolom dan baris (1) Perkalian matriks tanpa menghitung semua hasilkalinya Cara melakukan perkalian: Matriks kolom ke-j dari AB = A [kolom ke-j dari B] Matriks baris ke-i dari AB = [baris ke-i dari A] B

15 15 Perkalian matriks melalui kolom dan baris (2) Jika matriks baris dari A: a 1,a 2, …, a m dan matriks kolom dari B: b 1,b 2, …, b n Maka: dan

16 16 Contoh 3 Matriks kolom ke-2 dari AB: Matriks baris pertama AB:

17 17 Perkalian matriks: kombinasi linear Cara alternatif perkalian matriks

18 18 Contoh 4 Perkalian matriks: Dengan kombinasi linear

19 19 Contoh 4 (lanj.) Perkalian matriks: Dengan kombinasi linear

20 20 Sistem linear: bentuk matriks Sistem persamaan linear m persamaan n unknown

21 21 Sistem linear (2) Pers. matriks Perkalian matriks

22 22 Sistem linear (3) Notasi pers. matriks Augmented matriks

23 23 Transpos Definisi: jika A matriks mxn, maka transpos A, A T adalah matriks nxm hasil pertukaran baris dan kolom dari A Transpos matriks A bujursangkar:

24 24 Trace Matriks A bujursangkar Trace A: jumlah dari entri-entri pada diagonal utama

25 25 Sifat-sifat operasi matriks Asumsi ukuran matriks berikut sesuai Operasi berikut adalah valid

26 26 Matriks nol Matriks yang seluruh entrinya nol Operasi matriks nol

27 27 Matriks identitas Matriks bujursangkar dengan entri pada diagonal utama bernilai 1 dan yang lain nol Notasi: I Jika ukuran diperhatikan: I n A matriks mxn, maka

28 28 Invers matriks A dan B matriks bujursangkar berukuran sama Terdapat hubungan AB=BA=I Maka A disebut dapat-dibalik (invertible) dan B disebut invers dari A Contoh: matriks A dan B Buktikan bahwa matriks B adalah invers dari A

29 29 Sifat-sifat invers (1) Jika B dan C adalah invers dari A, maka B=C. Buktikan! Perkalian A dengan invers A = matriks identitas AA -1 = I atau A -1 A = I A dan B berukuran sama AB dapat-dibalik (AB) -1 = B -1 A -1

30 30 Contoh 4 Matriks:  Invers dari matriks tersebut dan

31 31 Sifat-sifat invers (2) Matriks A orde-2 berikut dapat dibalik bila ad–bc≠0 Rumus:

32 32 Pangkat dari matriks (1) A matriks bujursangkar A 0 =I n>0 Jika A dapat-dibalik, pangkat negatif dari A:

33 33 Pangkat dari matriks (2) Jika A dapat-dibalik, maka A -1 dapat-dibalik dan (A -1 ) -1 = A A n dapat-dibalik dan (A n ) -1 = (A -1 ) n k: skalar, matriks kA dapat-dibalik dan Contoh: Dapatkan A -3

34 34 Sifat-sifat transpos Ukuran matriks memungkinkan terjadinya operasi berikut: ((A) T ) T = A (A  B) T = A T  B T (kA) T = kA T (AB) T = B T A T Jika A dapat-dibalik, maka A T juga dapat-dibalik (A T ) -1 = (A -1 ) T

35 35 Matriks elementer Matriks nxn disebut matriks elementer: diperoleh dari matriks identitas I n melalui satu operasi baris elementer Contoh matriks elementer dan operasinya Pertukarkan baris kedua dengan baris keempat dari I 4 Kalikan kedua dari I 2 dengan -3

36 36 Matriks elementer Contoh matriks elementer dan operasinya Kalikan baris pertama dari I 3 dengan 1 Tambahkan 3 kali baris ketiga dari I 3 pada baris pertama

37 37 Note: Operasi baris elementer: Kalikan baris dengan konstanta tidak nol Pertukarkan dua baris Tambahkan perkalian baris pada baris lainnya

38 38 Perkalian matriks dengan matriks elementer Matriks elementer E: hasil operasi baris pada I m A: matriks mxm EA: matriks hasil dari operasi baris yang sama seperti pada A Contoh: matriks

39 39 Perkalian matriks dengan matriks elementer Matriks elementer E: Matriks EA: Tambahkan 3 kali baris pertama dari I 3 pada baris ketiga Tambahkan 3 kali baris pertama pada baris ketiga dari A

40 40 Metode membalik matriks (invers) Cara mendapatkan invers dari matriks A Lakukan operasi baris elementer  reduksi A menjadi I Lakukan operasi yang sama pada I Prosedur: Bentuk matriks: [A | I] Lakukan operasi baris sehingga A tereduksi menjadi I Matriks yang diperoleh memiliki bentuk [I | A -1 ]

41 41 Prosedur: invers matriks Contoh: dapatkan invers dari 1. Bentuk matriks [A : I] 2. Tambahkan -2 kali baris pertama pada baris kedua dan -1 kali baris pertama pada baris ketiga

42 42 Prosedur: invers matriks 3. Tambahkan 2 kali baris kedua pada baris ketiga 4. Kalikan baris ketiga dengan Tambahkan 3 kali baris ketiga pada baris kedua dan -3 kali baris ketiga pada baris pertama

43 43 Prosedur: invers matriks 6. Tambahkan -2 kali baris kedua pada baris pertama 7. Invers A:

44 44 Matriks tidak dapat-dibalik Matriks A nxn tidak dapat-dibalik Tidak dapat direduksi menjadi I n Bentuk reduksi eselon baris minimal ada satu baris nol Komputasi dihentikan Contoh:

45 45 Matriks diagonal Matriks bujursangkar Entri nondiagonal utama bernilai nol D nxn : Ditulis juga dalam bentuk:

46 46 Matriks diagonal Dapat-dibalik ↔ seluruh entri diagonal utama tidak ada yang bernilai nol Invers matriks diag. Pangkat matriks diag.:

47 47 Perkalian matriks dengan matriks diag. Perkalian matriks A dengan matriks diag. dari sisi kiri: tiap entri diagonal dikalikan dengan baris matriks A yang bersesuaian Perkalian matriks A dengan matriks diag. dari sisi kanan: tiap entri diagonal dikalikan dengan kolom A yang bersesuaian

48 48 Matriks segitiga (triangular) Lower triangular Upper triangular

49 49 Matriks simetris Matriks bujursangkar A = A T Jika dan hanya jika a ij = a ji Contoh:

50 50 Hasilkali matriks Matriks A mxn dan A T nxm Hasilkali AA T (berukuran mxm) dan A T A (berukuran nxn) matriks bujursangkar simetris Contoh: Dapatkan AA T dan A T A

51 51


Download ppt "1 MATRIKS Trihastuti Agustinah. 2 DEFENISI Susunan segiempat (rectangular array) dari bilangan-bilangan Ukuran (size) matriks: banyaknya baris dan kolom."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google