Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Definisi : Determinan dari matrik bujursangkar A berorde n adalah jumlah semua permutasi n (n!) hasil kali bertanda dari elemen-elemen matrik. Dituliskan.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Definisi : Determinan dari matrik bujursangkar A berorde n adalah jumlah semua permutasi n (n!) hasil kali bertanda dari elemen-elemen matrik. Dituliskan."— Transcript presentasi:

1

2 Definisi : Determinan dari matrik bujursangkar A berorde n adalah jumlah semua permutasi n (n!) hasil kali bertanda dari elemen-elemen matrik. Dituliskan : det(A) atau Permutasi himpunan integer {1, 2, 3, …, n}: Susunan elemen-elemen integer ini dengan urutan tertentu; tidak ada integer yang dihapus dan tidak ada integer yang diulang (j 1, j 2, j 3, …, j n ) Inversi dalam permutasi (j 1, j 2, j 3, …, j n ) terjadi jika integer yang lebih besar mendahului integer yang lebih kecil.

3 Dalam sebuah matrik A (n x n) yang disebut hasil kali elementer Catatan: indeks baris : selalu urut 1, 2, 3, …, n indeks kolom: urutan permutasi j 1, j 2, j 3, …, j n Hasil kali elementer bertanda Jika (j 1, j 2, j 3, …, j n ) merupakan inversi genap, maka hasil kali elementer adalah positif gasal, maka hasil kali elementer adalah negatif j 1 j 2 j 3 j n a 1 a 2 a 3 ……………a n

4 Contoh: A (3 x 3); jumlah semua hasil kali elementer bertanda adalah jumlah dari semua (6) elemen berikut ini: Bandingkan dengan cara perhitungan “non-formal”nya: a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 13 A = a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 a 33 + a 11 a 22 a 33 (inversi = 0) – a 11 a 23 a 32 (inversi = 1) + a 12 a 23 a 31 (inversi = 2) – a 12 a 21 a 33 (inversi = 1) + a 13 a 21 a 32 (inversi = 2) – a 13 a 22 a 31 (inversi = 3)

5 SIFAT-SIFAT DETERMINAN : 1. Bila semua unsur dalam satu baris atau satu kolom = 0, maka determinan = 0 Contoh : 2. Nilai determinan tidak berubah apabila semua baris di ubah menjadi kolom atau semua kolom diubah menjadi baris. Dengan kata lain : Contoh :

6

7 3. Pertukaran baris dengan baris atau kolom dengan kolom pada suatu determinan akan mengubah tanda nilai determinan. Contoh : Jika baris 1 ditukar menjadi baris 2, maka : Jika kolom 1 ditukar menjadi kolom 2, maka :

8 4. Apabila suatu determinan terdapat 2 baris atau 2 kolom yang identik, maka nilai determinan = 0. Contoh :

9 5. Jika semua elemen pada sembarang baris atau kolom dikalikan dengan faktor p (bukan nol), maka nilai determinan dikalikan faktor p. Contoh : Jika baris 1 dikalikan dengan 2, maka : Jika kolom 1 dikalikan dengan 3, maka :

10 6. Nilai determinan tidak berubah ketika semua elemen pada baris atau kolom dikalikan dengan faktor p (bukan nol) dan ditambahkan atau dikurangkan pada baris atau kolom yang lain. Contoh : b 12 (3)

11 7. Bila A dan B matrik bujur sangkar, maka Contoh :

12 8. Determinan suatu matrik segitiga atas atau segitiga bawah merupakan perkalian elemen-elemen diagonal utamanya. Contoh :

13 a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 13 A = 0a 22 a 23 0a 22 a a 33 00a 33 diagonal utama + a 11 a 22 a 33  0– a 11 a 23 a 32 + a 12 a 23 a 31 – a 12 a 21 a 33 + a 13 a 21 a 32 – a 13 a 22 a 31 Secara umum: untuk A(3 x 3)

14

15 Cara menghitung determinan : Nilai determinan matrik dapat diperoleh berdasarkan : 1. Definisi determinan 2. Sifat-sifat determinan 3. Ekspansi minor dan kofaktor 4. Kombinasi cara 2 dan 3

16 Determinan : produk (hasil kali) bertanda dari elemen matrik sedemikian yang berasal dari baris dan kolom yang berbeda, kemudian hasilnya dijumlahkan. 1. MELALUI DEFINISI DETERMINAN A = Det(A) = a 11 a 22 – a 12 a 21 Bagaimana menentukan tanda + dan – tiap suku ?

17 Definisi determinan didasarkan pada inversi permutasi yang dikenal sebagai metode Sarrus. Metode ini hanya berlaku untuk menghitung nilai determinan yang berorde hingga 3, sedangkan untuk yang berorde lebih dari 3 digunakan metode ekspansi. Urutan natural (asli) : A = |A| = a 11 a 22 a 33 – a 11 a 23 a 32 + a 12 a 23 a 31 – a 12 a 21 a 33 + a 13 a 21 a 32 – a 13 a 22 a

18

19 2. Dengan bantuan sifat determinan, membantu memudahkan menghitung nilai determinan.  = 0 Matrik persegi yang mempunyai baris (kolom) nol, det.nya nol (0). = 26 Determinan dari matrik dan transposenya adalah sama

20     = 31= – 31 Baris pertama ditukar baris kedua Determinan suatu matrik yang salah satu baris (kolom) nya ditukar dengan baris (kolom) yang lain, maka nilai determinan matrik tersebut berubah tanda dari determinan semula. = 0 Determinan dari suatu matrik persegi yang mempunyai dua baris (kolom) yang sama, nilainya sama dengan 0 (nol).

21 = 5 Baris kedua dikalikan dengan 7 = 35 = 7 Suatu determinan jika salah satu baris (kolom) mempunyai faktor yang sama, maka determinan tersebut dapat difaktorkan. = 3= 4  Determinan dari suatu matriks persegi A yang salah satu baris (kolom) dikalikan dengan skalar k, maka determinannya berubah menjadi k  A 

22     = 0 kolom ke-dua kelipatan kolom ke-empat, |A| = 0 Determinan dari suatu matrik persegi yang salah satu barisnya (kolomnya) merupakan kelipatan dari baris (kolom) yang lain, nilainya sama dengan 0 (nol). = + = + Determinan dari matrik persegi A = (a ij ) berdimensi n yang baris ke -i (kolom ke-j) terdiri dari elemen-elemen yang dapat diuraikan menjadi dua suku binomium, maka determinannya sama dengan determinan A yang baris ke-i (kolom ke-j) diganti dengan suku binomium yang pertama ditambah determinan A yang baris ke-i (kolom ke-j) diganti dengan suku yang kedua.

23  = 11 OBE : b1 – b2 OKE : k2 + 3k1 Determinan suatu matriks persegi tidak berubah nilainya jika salah satu baris (kolom) ditambah dengan kelipatan baris (kolom) yang lain. Sifat ini sering dipakai untuk menyederhanakan baris (kolom), sebelum menghitung nilai determinan.

24  = (3)(-1)(5) = - 15 = (-3)(-2)(4)(1) = 24 Determinan dari matriks segitiga adalah sama dengan produk (hasil kali) elemen-elemen diagonalnya.

25 Gunakan sifat determinan untuk menghitung : b2 + 3b1 b3 – 2 b1b3 + 3 b2 = (1)(-1)(3) = - 3 Petunjuk : Gunakan OBE untuk mereduksi matriks menjadi matrik segitiga sehingga nilai determinan adalah hasil kali diagonal utama Jawab :

26 3. Dengan ekspansi minor dan kofaktor : Minor dan Kofaktor A berdimensi n, determinan dari submatrik yang berdimensi (n-1) disebut minor. M rs : minor dari submatrik dengan menghilangkan baris ke r kolom ke s. a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 A = M 11 = a 22 a 23 a 32 a 33 = a 22 a 33 – a 23 a 32 M 32 = a 11 a 13 a 21 a 23 = a 11 a 23 – a 13 a 21

27 Kofaktor Kofaktor yang berhubungan dengan minor M rs adalah : C rs = (-1) r+s M rs. A = C 11 = (-1) 1+1 M 11 = (-1) 2 = 1 (7) = 7C 12 = (-1) 1+2 M 12 = (-1) 3 = (-1) (9) = -9 C 13 = (-1) 4 M 13 = M 13 == 5 C 21 = (-1) 3 M 21 = - M 21 = - = 0 C 22 = M 22 = 0 C 23 = - M 23 = 0 C 31 = M 31 = 7 C 32 = - M 32 = - 9 C 33 = M 33 = 5

28 Hitung (a) adjoint dari matrik A, (b) determinan matrik A A = C 11 = M 11 = 2 C 12 = -M 12 = - 5 C 13 = M 13 = - 1 C 21 = -M 21 = 4 C 22 = M 22 = -1 C 23 = -M 23 = -2 C 31 = M 31 = -1 C 32 = -M 32 = 7 C 33 = M 33 = 5 Jawab :

29 (a) adj(A) = K T = = = (b) Det(A) = a 11 C 11 + a 12 C 12 + a 13 c 13 = (1)(2) + (-2)(-5) + (3)(-1) = 9

30 Adj(A) A = ? Sifat : 1.A adj(A) = adj(A) A = det(A) I 2. adj(AB) = adj(B) adj(A) = = |A| I = 9

31 Teorema LAPLACE Nilai determinan matrik sama dengan jumlah perkalian elemen-elemen dari sebarang baris atau kolom dengan kofaktor-kofaktornya. Ekspansi baris ke-i : Ekspansi kolom ke-j :

32 A = Ekspansi melalui baris pertama : Det(A) = a 11 C 11 + a 12 C 12 + a 13 C 13 Atau ekspansi melalui baris ketiga : Det(A) = a 31 C 31 + a 32 C 32 + a 33 C 33 Atau ekspansi melalui kolom ke dua : Det(A) = a 12 C 12 + a 22 C 22 + a 32 C 32 Dan sebagainya.

33 Hitung determinan, dengan ekspansi kofaktor: B = Jawab : Dilakukan ekspansi melalui baris kedua : Det(B) = b 21 C 21 + b 22 C 22 + b 23 C 23 C 21 = - M 21 = -= 9 C 22 = M 22 = 3 C 23 = - M 23 = - 3 Det(B) = (3)(9) + (1)(3) + (-1) (-3)= 33

34 Atau dikerjakan dengan ekspansi melalui kolom ketiga : Det(B) = b 13 C 13 + b 23 C 23 + b 33 C 33 Det(B) = (1)(2) + (-1)(-3) + (4)(7)= 33 C 13 = M 13 = 2 C 23 = - M 23 = - 3 C 33 = M 33 = 7

35 Hitung determinan dari : E = Dikerjakan dengan ekspansi melalui baris ke dua : |E| = K2 + K1K3 – K1 |E| = e 21 C 21 + e 22 C 22 + e 23 C 23 |E| = e 21 C |E| = (1) (-24) = - 24 C 21 = - M 21 = - {(3)(-7) – (-5)(9)} = - 24

36 Berapakah determinan dari F = Dipilih ekspansi melalui kolom pertama : |F| = B3 + B1 Det(F) = f 11 C 11 = (1) (6) = 6

37 Berapakah determinan dari G = Dipilih ekspansi melalui kolom ke tiga : Det(G) = B2 + B1B3+B1 Det(G) = g 13 C 13 = g 13 M 13 = (-1) B3 – B2 (-1) Det(G) = (-1) g 21 C 21 = (-1) g 21 (- M 21 ) = g 21 M 21 = (3) {(4)(-5) – (7)(-5)} Det(G) = (3) (15) = 45.

38 review: 1.Menghitung det(A) dengan matrik A (2x2) atau (3x3) cukup mudah. 2.Menghitung det(A) dengan matrik A (nxn) untuk semua n  2 secara umum dilakukan dengan menjumlahkan semua hasil kali elementer bertanda dari matrik A.

39 Cara lain untuk menghitung det(A), dengan A(nxn), adalah : Menggunakan Reduksi Baris (OBE). 1.Matriks A diubah menjadi matrik segi-3 atas (segi-3 bawah), matrik segi-3 ini disebut A’. 2.Det(A) = det(A’) = hasil kali semua elemen diagonal utama matrik A’.

40 Aplikasi : Aplikasi matrik dan determinan diterapkan pada masalah pengiriman kode rahasia. Pada umumnya, pesan dengan kode rahasia dikirimkan melalui penyusunan bilangan bulat untuk menggantikan setiap alfabet yang ada Contoh pesan : B I S A Kode rahasianya : 2, 9, 3, 1

41 Masalahnya, pesan rahasia tersebut masih dapat diketahui dengan mudah. Misalkan matrik transformasinya : Kode rahasia dalam notasi matrik : Oleh karena itu dibutuhkan sebuah matrik lain untuk mentransformasi kode sehingga mempersulit rahasia tersebut untuk dipecahkan.

42 Maka : Dengan demikian, kode pesan rahasia yang terkirim adalah : 29, 38, 6, 7. Agar pesan rahasia dapat dibaca, maka sipenerima harus mengalikan P -1 dengan PQ Hasil akhir sama dengan kode awal. Pesan terpecahkan

43 Soal latihan : 1. Carilah banyaknya inversi pada permutasi-permutasi berikut : a. (4, 1, 2, 3), (4, 3, 2, 1), (1, 3, 2, 4) b. (5, 3, 2, 1, 4), (1, 3, 5, 4, 2), (2, 3, 5, 4, 1) 2. Carilah determinan dari matrik berikut :

44 3. Carilah determinan dengan metode Sarrus dari matrik berikut ini : 4. Carilah determinan dengan metode ekspansi dari matrik berikut ini :

45 5. Suatu kode pesan ditransformasikan ke bentuk matrik : Kode yang terkirim adalah 26, 47, 110 dan 115. Apakah bunyi pesan itu?


Download ppt "Definisi : Determinan dari matrik bujursangkar A berorde n adalah jumlah semua permutasi n (n!) hasil kali bertanda dari elemen-elemen matrik. Dituliskan."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google