Matrik dan Ruang Vektor

Presentasi berjudul: "Matrik dan Ruang Vektor"— Transcript presentasi:

1 Matrik dan Ruang Vektor
Jurusan/Program Studi Teknik Industri Fakultas Teknik 2012/2013

2 Perhitungan Determinan dengan Operasi Baris Elementer
Perhitungan dengan memanfaatkan komputer untuk matriks ukuran besar biasanya tidak memakai cara minor dan kofaktor karena jumlah operasinya demikian banyak. Metoda untuk program komputer adalah: 1. Ubah determinan itu menjadi determinan segitiga bawah atau atas dengan menggunakan operasi baris elementer. 2. Nilai determinan segitiga atas (bawah) adalah hasil perkalian dari unsur-unsur diagonalnya. Catatan : Jika dari suatu determinan dilakukan pertukaran baris maka nilai determinan tersebut berubah tandanya.

3

4 Operasi baris elementer meliputi :
Operasi Baris Elementer (OBE) Operasi baris elementer meliputi : 1. Pertukaran Baris 2. Perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol 3. Penjumlahan hasil perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol (seperti butir 2) dengan baris yang lain. Contoh : OBE 1 Baris pertama (b1) ditukar dengan baris ke-2 (b2)

5 OBE ke-2 ¼ b1 ~ OBE ke-3 Perkalian Baris pertama (b1) dengan bilangan ¼ 1 1 5 Perkalian (–2) dengan b1 lalu tambahkan pada baris ke-3 (b3)

6 Beberapa definisi yang perlu diketahui :
Baris pertama dan ke-2 dinamakan baris tak nol, karena pada kedua baris tersebut memuat unsur tak nol. Bilangan 1 pada baris pertama dan bilangan 3 pada baris ke-2 dinamakan unsur pertama tak nol pada baris masing-masing. Bilangan 1 (pada baris baris pertama kolom pertama) dinamakan satu utama. Baris ke-3 dinamakan baris nol, karena setiap unsur pada baris ke-3 adalah nol.

7 Sifat matriks hasil OBE :
Pada baris tak nol maka unsur tak nol pertama adalah 1 (dinamakan satu utama). Pada baris yang berturutan, baris yang lebih rendah memuat 1 utama yang lebih ke kanan. Jika ada baris nol (baris yang semua unsurnya nol), maka ia diletakkan pada baris paling bawah. Pada kolom yang memuat unsur 1 utama, maka unsur yang lainnya adalah nol. Matriks dinamakan esilon baris jika dipenuhi sifat 1, 2, dan 3 Matriks dinamakan esilon baris tereduksi jika dipenuhi semua sifat (Proses Eliminasi Gauss) (Proses Eliminasi Gauss-Jordan)

8 Tentukan matriks esilon baris tereduksi dari
Contoh : Tentukan matriks esilon baris tereduksi dari Jawab : 1 1 5

9 -1 -3 1 3 1 2 1 1

10 » A = [ ;0 2 1; ] A =

11 » det(A) ans = 1

12 » A1 = [ -1 -1 0;7 2 1; 3 -1 1] A1 = -1 -1 0 7 2 1 3 -1 1 » det(A1) ans = 1

13 » A2 = [ 1 -1 0;0 7 1; 2 3 1] A2= 1 -1 0 0 7 1 2 3 1 » det(A2) ans = 2

14 » A3 = [ 1 -1 -1;0 2 7; 2 -1 3] A3 = 1 -1 -1 0 2 7 2 -1 3 » det(A3) ans = 3

15 Perhatikan hasil OBE tadi :
Setiap baris mempunyai satu utama. Tidak setiap kolom memiliki satu utama, karena jumlah baris lebih sedikit dari jumlah kolom (kolom 4 tidak mempunyai satu utama)

16 Perhitungan Determinan dengan Dekomposisi LU
Apabila matriks A berorde n maka

17 PERSAMAAN LINIER SIMULTAN Bentuk umum suatu persamaan linier simultan orde N :
Apabila semua harga b1, b2, ... , bn = 0 , persamaan tersebut disebut persamaan linier simultan yang homogen.

18

19 ATURAN CRAMER Theorema
Jika AX = B adalah sistem yang terdiri dari n persamaan linier dalam n bilangan tak diketahui sehingga det(A) 0, maka system tesebut mempunyai pemecahan unik. Pemecahan ini adalah :

20

21 Gunakan aturan Cramer untuk memecahkan
x x3 = 6 -3x x x3 = 30 -x x x3 = 8

22

23 Terimakasih