Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

SISTEM PERSAMAAN LINIER BAB II. Persamaan linier adalah persamaan aljabar yang terdiri dari satu atau lebih peubah dan masing-masing peubah mempunyai.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "SISTEM PERSAMAAN LINIER BAB II. Persamaan linier adalah persamaan aljabar yang terdiri dari satu atau lebih peubah dan masing-masing peubah mempunyai."— Transcript presentasi:

1 SISTEM PERSAMAAN LINIER BAB II

2 Persamaan linier adalah persamaan aljabar yang terdiri dari satu atau lebih peubah dan masing-masing peubah mempunyai derajad satu. 2.1 Definisi Sebagai contoh persamaan ax + by + cz + dw = h adalah persamaan linier yang terdiri dari empat peubah, yaitu x, y, z, dan w. Sedangkan a, b, c, dan d adalah koefisien-koefisien. Jika nilai h pada persamaan tersebut = 0, maka persamaan linier tersebut dikatakan persamaan linier homogen. Apabila nilai h tidak sama  0, maka dikatakan persamaan linier tak homogen.

3 Bentuk umum sistem persamaan Jika seluruh nilai b 1, b 2, …, b m sama dengan nol, maka persamaan 2.1 disebut sistem persamaan linier homogen. Akan tetapi, jika setidak-tidaknya ada salah satu dari nilai b 1, b 2, …, b m  0, maka persamaan 2.1 disebut sistem persamaan linier tak homogen. Persamaan 2.1 dapat ditulis dalam bentuk matriks berikut. (2.1) (2.2)

4 Berikut diberikan beberapa contoh sistem persamaan linier Contoh 2.1 Tulis contoh 2.1 dalam bentuk matriks Contoh 2.2 Penyelesaian

5 Selain dengan cara balikan matriks, kita juga dapat menyelesaikan sistem persamaan linier dengan cara eliminasi Gauss. Untuk tujuan tersebut persamaan 2.1 ditulis dalam bentuk matriks yang diperluas (augmented matrix) Penyelesaian dengan Eliminasi Gauss Untuk melakukan eliminasi Gauss, kita harus mereduksi matriks A menjadi bentuk eselon baris atau matriks segitiga atas. Langkah-langkah untuk menyelesaikan sistem persamaan linier dengan eliminasi Gauss: 2.2 Penyelesaian Sistem Persaman Linier

6 1.Jika a 11 ≠ 0, maka a 11 merupakan elemen pivot. Jika a 11 = 0, lakukan pertukaran baris. 2. Eliminasi a 21 dengan menggunakan rumus R 2 – (a 21 /a 11 )R 1 a 31 dengan menggunakan rumus R 3 – (a 31 /a 11 )R 1 a m1 dengan menggunakan rumus R m – (a m1 /a( m-1)1 )R (m-1) :::: 3. Eliminasi a 32 dengan menggunakan rumus R 3 – (a 32 /a 22 )R 2 a 42 dengan menggunakan rumus R 3 – (a 42 /a 22 )R 2 a m2 dengan menggunakan rumus R m – (a m2 /a 22 )R 2 :::: 4. dst. sampai baris m dan kolom ke (n–1)

7 Selesaikan sistem persamaam linier berikut! Penyelesaian: Contoh 2.3 R 2 – ½ R 1 R 3 – 3R 1 R 3 – (–16/3)R 2

8 2/3 R 2 3/11R 3 x 3 = –64/11 x 2 + 1/3 x 3 = –5/3  x 2 = - 1/3 x 3 - 5/3 = 3/11 x 1 + 3x 2 + x 3 = 8  x 1 = - 3x 2 - x 3 = -9/ /11 = Penyelesaian dengan Eliminasi Gauss-Jordan Cara lain untuk menyelesaikan sistem persamaan linier adalah dengan metode eliminasi Gauss-Jordan. Sistem persamaan linier dapat ditulis dalam bentuk [A|b].

9 Selanjutnya lakukan transformasi sehingga matriks A menjadi matriks eselon baris yang tereduksi atau matriks identitas [I]. Langkah-langkah untuk menyelesaikan sistem persamaan linier dengan eliminasi Gauss-Jordan: 1.Jika a 11 ≠ 0, maka a 11 merupakan elemen pivot. Jika a 11 = 0, lakukan pertukaran baris. 2. Jika a 11 ≠ 1, bagi elemen a 11 dengan a 11, sehingga a 11 =1 3. Eliminasi a 21 dengan menggunakan rumus R 2 – a 21 R 1 a 31 dengan menggunakan rumus R 3 – a 31 R 1 : a m1 dengan menggunakan rumus R m – a m1 R m – 1 4. Jika setelah langkah 3, a 22 ≠ 0, maka a 22 merupakan elemen pivot. Jika a 22 = 0, lakukan pertukaran baris.

10 5. Jika a 22 ≠ 1, bagi elemen a 22 dengan a 22, sehingga a 22 =1 6. Eliminasi a 12 dengan menggunakan rumus R 1 – a 12 R 2 a 32 dengan menggunakan rumus R 3 – a 32 R 2 : a m2 dengan menggunakan rumus R m – a m2 R 2 7. dst. sampai seluruh elemen di luar diagonal terleliminasi, sehingga matriks A berhasil ditransformasikan menjadi matriks identitas. Selesaikan sistem persamaam linier berikut! Penyelesaian: Contoh 2.4

11 ½ R 1 R 2 – R 1 R 3 – 6R 1

12 Selain metode penyelesaian yang telah dijelaskan terdahulu, sistem persamaan linier dapat juga diselesaikan dengan menggunakan Aturan Cramer Penyelesaian dengan Aturan Cramer Telah dijelaskan terdahulu bahwa sistem persamaan linier dapat ditulis dalam bentuk matriks berikut.

13 Aturan Cramer x n = Nilai variabel yang akan dicari |An| = Determinan matriks A, dengan terlebih dahulu mengganti kolom ke n dengan elemen-elemen pada matriks b |A| = Determinan matriks A (2.4)

14 Dari persamaan (2.4) secara tersirat diketahui bahwa aturan Cramer hanya dapat digunakan jika |A|  0 Artinya, jumlah persamaan dalam sistem persamaan linier harus sama dengan jumlah variabel. Selesaikan sistem persamaam linier berikut dengan menggunakan aturan Cramer! Penyelesaian Contoh 2.5

15

16 2.3 Sistem Persamaan Linier Homogen Telah dijelaskan sebelumnya bahwa sistem persamaan linier homogen mempunyai bentuk: Setiap sistem persamaan linier homogen konsisten, karena mempunyai penyelesaian: x 1 = 0, x 2 = 0, …, x n = 0. Solusi yang menghasilkan seluruh nilai variabel atau faktor = 0 disebut solusi trivial. Jika terdapat solusi lain, selain dari 0, maka solusi tersebut dinamakan solusi non-trivial.

17 Hanya terdapat 2 kemungkinan solusi persamaan linier homogen: - Solusi trivial (nilai seluruh variabel hanya = 0) - Solusi Non-trivial (nilai variabel mempunyai tak- hingga jenis nilai, selain 0). Jika sistem persamaan linier mempunyai lebih banyak variabel / faktor dibandingkan dengan jumlah persamaan, maka dipastikan solusi yang diperoleh adalah non-trivial. Contoh 2.6 Selesaikan sistem persamaan linier berikut. 2x 1 + 2x 2 – x 3 + x 5 = 0 –x 1 – x 2 + 2x 3 – 3x 4 + x 5 = 0 x 1 + x 2 – 2x 3 – x 5 = 0 x 3 + x 4 + x 5 = 0

18 Penyelesaian: Jika x 5 = t, maka x 3 = – t Jika x 2 = s, maka x 1 = – s – t x 4 = 0 Reduksi matriks diatas menjadi bentuk eselon baris tereduksi

19 2.4 Ringkasan Jika seluruh nilai b 1, b 2, …, b m = 0 maka sistem persamaan linier disebut homogen. Jika setidak-tidaknya ada salah satu dari nilai b 1, b 2, …, b m  0 sitem persamaan linier disebut tak homogen.

20 Sistem persamaan linier dapat ditulis dalam bentuk matriks. Jika Maka Ax = b

21 Persamaan 10.2 adalah sistem persmaan linier yang ditulis dalam bentuk matriks. Penyelesaian dengan Balikan Matriks Jika dimisalkan,

22 Penyelesaian dengan Eliminasi Gauss Selain dengan cara balikan matriks, kita juga dapat menyelesaikan sistem persamaan linier dengan cara eliminasi Gauss. C adalah matriks segitiga atas.


Download ppt "SISTEM PERSAMAAN LINIER BAB II. Persamaan linier adalah persamaan aljabar yang terdiri dari satu atau lebih peubah dan masing-masing peubah mempunyai."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google