Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Departemen Matematika IPB 1 4.1 SISTEM PERSAMAAN LINEAR Definisi: [Persamaan linear] Suatu persamaan dalam n variabel x 1, x 2, …, x n dikatakan linear.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "Departemen Matematika IPB 1 4.1 SISTEM PERSAMAAN LINEAR Definisi: [Persamaan linear] Suatu persamaan dalam n variabel x 1, x 2, …, x n dikatakan linear."— Transcript presentasi:

1 Departemen Matematika IPB SISTEM PERSAMAAN LINEAR Definisi: [Persamaan linear] Suatu persamaan dalam n variabel x 1, x 2, …, x n dikatakan linear bila dapat dituliskan dalam bentuk di mana c 1, c 2, …, c n dan k adalah konstanta real. Definisi: [Sistem persamaan linear] Sistem persamaan linear (SPL) yang terdiri dari m persamaan dan n variabel adalah suatu sistem persamaan yang dapat ditulis dalam bentuk di mana a ij dan b i, i = 1, 2,.., n ; j = 1, 2,…, m adalah konstanta real, sedangkan x i, i = 1, 2,.., n merupakan variabel atau peubah. Catatan: SPL di atas dapat ditulis dalam bentuk matriks: AX = B di mana BAB 4. SISTEM PERSAMAAN LINEAR

2 Departemen Matematika IPB 2 Catatan: 1. A disebut matriks koefisien 2. (A|B) disebut matriks yang diperbesar atau matriks gandeng 3. Jika B = 0, SPL disebut SPL homogen 4. Jika B  0, SPL disebut SPL takhomogen Contoh: 1. Periksa apakah persamaan di bawah ini linear ataukah tidak. a. 2x 1 + x 2 – x 3 = 0 b. x 1 + x 2 x 3 + x 4 = 0 c. sin x 1 + x x 3 = 2 b. x 1 + x 2 - 2x 3 = x Tuliskan SPL berikut kedalam bentuk perkalian matriks dan matriks yang diperbesar. 3. Tuliskan SPL yang menghasilkan matriks yang diperbesar berikut.

3 Departemen Matematika IPB KEKONSISTENAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR Definisi: [Penyelesaian SPL] Penyelesaian atau solusi SPL AX = B yang terdiri dari m persamaan dan n variabel adalah pasangan n bilangan (s 1, s 2, …, s n ) yang memenuhi semua persamaan dalam SPL tersebut. (s 1, s 2, …, s n ) berkorespondensi secara berurutan dengan (x 1, x 2, …, x n ). Penyelesaian SPL tidak ada tunggal banyaknya takhingga Illustrasi: Kemungkinan solusi SPL berikut ada tiga yaitu: x y x y x y Tidak ada penyelesaian Penyelesaian tunggal Banyak penyelesaian

4 Departemen Matematika IPB 4 Definisi: [Kekonsistenan SPL] Suatu SPL dikatakan konsisten bila sekurang- kurangnya memiliki satu penyelesaian dan dikatakan takkonsisten bila tidak mempunyai penyelesaian. Teorema: [Kekonsistenan SPL] Sistem persamaan linear AX = B, dengan A matriks berordo m  n, konsisten jika dan hanya jika p(A) = p(A|B). Jika SPL konsisten dan 1. p(A) = n, maka SPL tersebut mempunyai penyelesaian tunggal. 2. p(A) < n, maka SPL tersebut mempunyai banyak penyelesaian. Catatan: 1. SPL homogen AX = 0 selalu konsisten, karena X = 0 adalah penyelesaian SPL tersebut. 2. X = 0 dinamakan penyelesaian trivial 3. Penyelesaian X  0 (bila ada) dinamakan penyelesaian tak trivial. Teorema: [Kekonsistenan SPL homogen] Sistem persamaan linear homogen AX = 0, dengan A matriks berordo m  n selalu konsisten. 1. Jika m < n, maka SPL homogen tersebut mempunyai banyak penyelesaian. 2. Jika m = n dan det(A)  0, maka SPL homogen tersebut mempunyai penyelesaian tunggal.

5 Departemen Matematika IPB 5 Contoh: 1. Tentukan kekonsistenan SPL berikut. 2. Tentukan α agar SPL berikut: a. konsisten b. takkonsisten. 3. Tentukan nilai-nilai α yang membuat SPL berikut: a. tak mempunyai penyelesaian b. mempunyai penyelesaian tunggal c. mempunyai banyak penyelesaian. 4. Tentukan nilai-nilai k yang membuat SPL berikut: a. tak mempunyai penyelesaian b. mempunyai penyelesaian tunggal c. mempunyai banyak penyelesaian.

6 Departemen Matematika IPB MENENTUKAN PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR Metode Eliminasi Gauss Matriks invers Cramer Metode Eliminasi Gauss Masalah: Menentukan penyelesaian SPL AX = B dengan A berordo m  n. Konsep dasar: 1. Jika (A|B)  (C|D), maka penyelesaian SPL dengan matriks yang diperbesar (A|B) dan penyelesaian SPL dengan matriks yang diperbesar (C|D) adalah sama. 2. Jika C berbentuk matriks segitiga atas atau mirip matriks segitiga atas, sehingga matriks (C|D) seperti pada gambar: C matriks segitiga atasC mirip matriks segitiga atas (a)(b) maka SPL AX = B mempunyai penyelesaian dan penyelesaiannya dapat ditentukan sbb:

7 Departemen Matematika IPB 7 a. Kasus: C matriks segitiga atas  Nilai  Nilai variabel x n-1, x n-2, …, x 2, x 1 diperoleh berturut-turut melalui substitusi mundur pada SPL CX = D.  SPL mempunyai penyelesaian tunggal. b. Kasus: C mirip matriks segitiga atas  Nilai x n merupakan fungsi dari k variabel sebelumnya, yaitu x n-1, x n-2, …, x n-k.  Nilai variabel x k-1, x k-2, …, x 2, x 1 diperoleh berturut- turut melalui substitusi mundur pada SPL CX = D.  SPL mempunyai banyak penyelesaian. 3. Jika C berbentuk mirip matriks segitiga atas, sehingga matriks (C|D) seperti pada gambar: maka SPL AX = B tidak mempunyai penyelesaian. (c)

8 Departemen Matematika IPB 8 Prosedur: 1. Tulis matriks yang diperbesar (A|B). 2. Lakukan serangkaian operasi baris dasar sehingga (A|B)  (C|D), di mana (C|D) merupakan matriks seperti pada gambar (a),(b), atau (c). 3. Jika (C|D) merupakan matriks seperti pada (c), maka SPL tidak mempunyai penyelesaian. 4. Jika (C|D) merupakan matriks seperti pada (a) atau (b), lakukan substitusi mundur pada SPL CX = D. 5. Penyelesaian pada langkah 4 merupakan penyelesaian SPL AX = B. Contoh: Tentukan penyelesaian SPL berikut Metode Matriks Invers Masalah: Menentukan penyelesaian SPL AX = B dengan A matriks taksingular (det(A)  0). Konsep dasar 1. Karena A taksingular, maka A -1 ada. 2. AX = B  A -1 AX = A -1 B  X = A -1 B

9 Departemen Matematika IPB Metode Cramer Masalah: Menentukan penyelesaian SPL AX = B dengan A matriks taksingular (det(A)  0). Teorema [Metode Cramer] Misalkan A adalah matriks segi berordo n dengan det(A)  0. Maka SPL AX = B mempunyai penyelesaian tunggal dan di mana A i adalah matriks A yang kolom ke-i nya diganti dengan matriks B. Contoh: Tentukan penyelesaian SPL berikut dengan menggunakan metode matriks invers dan metode Cramer. 3. Karena A -1 tunggal maka penyelesaian SPL yaitu X = A -1 B tunggal. Prosedur: 1. Tentukan A Tentukan penyelesaian SPL, yaitu X = A -1 B.

10 Departemen Matematika IPB PENERAPAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR Masalah Model Matematika SPL Penyelesaian Contoh: 1. Seorang petani yang sukses mempunyai 3 buah kebun, yaitu kebun A, B dan C, yang masing-masing ditanami pohon kelapa. Untuk memanen 1 hektar kebun A diperlukan 8 orang kuli, 2 orang mandor dan 1 mobil pengangkut. Untuk memanen 1 hektar kebun B diperlukan 5 orang kuli, 3 orang mandor dan 2 mobil pengangkut. Sedangkan untuk memanen 1 hektar kebun C diperlukan 10 orang kuli dan 3 mobil pengangkut. Jika petani tersebut memiliki 74 orang kuli, 18 orang mandor dan 20 buah mobil pengangkut. Tentukan luas masing-masing kebun (dalam hektar) agar aset yang dimiliki petani tersebut termanfaatkan seluruhnya. 2. Sebuah perusahaan distributor barang akan mendistri- busikan barang dari 2 gudang yang terletak di kota A yang memuat 40 satuan barang, sedangkan gudang yang kedua terletak di kota B yang memuat 30 satuan barang. Barang-barang tersebut akan didistribusikan ke kota C dan D yang masing-masing membutuhkan 20 dan 50 satuan barang. Ongkos pengangkutan dari kota A ke kota C sebesar Rp 2.000,00; dari kota A ke kota D sebesar Rp 1.000,00; dari kota B ke kota C sebesar Rp 3.000,00 dan dari kota B ke kota D sebesar Rp 1.000,00. Biaya minimum pengangkutan barang- barang tersebut sebesar Rp ,00. Tentukan banyaknya barang yang diangkut dari kedua gudang ke kota C dan D agar biaya pengangkutan minimum terpenuhi.


Download ppt "Departemen Matematika IPB 1 4.1 SISTEM PERSAMAAN LINEAR Definisi: [Persamaan linear] Suatu persamaan dalam n variabel x 1, x 2, …, x n dikatakan linear."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google