Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

RUANG VEKTOR Trihastuti Agustinah.. Vektor pada R n Definisi Ruang-n –Himpunan seluruh tupel-n dari bilangan real Notasi: R n –n = 2  pasangan terurut;

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "RUANG VEKTOR Trihastuti Agustinah.. Vektor pada R n Definisi Ruang-n –Himpunan seluruh tupel-n dari bilangan real Notasi: R n –n = 2  pasangan terurut;"— Transcript presentasi:

1 RUANG VEKTOR Trihastuti Agustinah.

2 Vektor pada R n Definisi Ruang-n –Himpunan seluruh tupel-n dari bilangan real Notasi: R n –n = 2  pasangan terurut; –n = 3  triple terurut –n = 1  satu bilangan real (notasi: R 1 atau R) 2 interpretasi geometris tripel terurut (a 1,a 2,a 3 ): –Titik: a 1,a 2,a 3 sebagai koordinat –Vektor: a 1,a 2,a 3 sebagai komponen vektor

3 Interpretasi tripel terurut

4 Operasi standar Dua vektor u=(u 1, u 2,···, u n ) dan v=(v 1, v 2,···, v n ) pada R n –Sama u=v; u 1 = v 1, u 2 = v 2, ···, u n = v n –Jumlah: u+v = (u 1 +v 1, u 2 +v 2, ···, u n +v n ) –Perkalian skalar: ku=(ku 1, ku 2,···, ku n ) Vektor nol  Notasi: 0  0 = (0,0, ···,0)

5 Sifat-sifat aritmatika Jika u=(u 1, u 2,···, u n ), v=(v 1, v 2,···, v n ) pada R n –Negatif: -u = (-u 1, -u 2,···, -u n ) –Selisih: v- u = v + (- u) atau v- u = (v 1 -u 1, v 2 -u 2, ···, v n - u n ) Teorema: (k,l: skalar)  v+ u = u +v  k(l u) = (kl) u  u + (v+w) = (u +v) + w  k(u +v) = k u + kv  u + 0 = 0+ u = u  (k+l) u = ku+lu  u +(- u)= 0  u - u = 0  1u = u

6 Ruang n-Euclidean Misal u=(u 1, u 2,···, u n ), v=(v 1, v 2,···, v n ), w=(w 1, w 2,···, w n ) adalah vektor pada R n dan k skalar Hasilkali-dalam (inner-product) Euclidean: u·v = (u 1 v 1 + u 2 v 2 + ··· + u n v n ) 4 sifat penting inner product  u·v = v·u  (u+v)·w = uw + vw  (ku)·v = k(u·v)  v·v ≥ 0, v·v = 0 jika dan hanya jika (iff) v = 0

7 Contoh 1 Dapatkan hasilkali-dalam Euclidean dari vektor: u = (-1, 3, 5, 7) dan v = (5, -4, 7, 0)  u·v = (-1)(5) + (3)(-4) + (5)(7) + (7)(0) = 18 Cara penghitungan hasilkali-dalam sama dengan perkalian aritmatika biasa (3u+2v)·(4u+v) = (3u)·(4u+v) + (2v)·(4u+v) = (3u)·(4u) + (3u)·v + (2v)·(4u) + (2v)·v = 12(u·u) + 11(u·v) + 2(v·v)

8 Norm dan jarak Definisi norm atau panjang Euclidean untuk vektor u=(u 1, u 2,···, u n ): Definisi jarak (distance) antara titik u=(u 1, u 2,···, u n ) dan v=(v 1, v 2,···, v n ):

9 Pertidaksamaan Cauchy-Schwarz Vektor u=(u 1, u 2,···, u n ), v=(v 1, v 2,···, v n ) pada R n Pertidaksamaan Cauchy-Schwarz: atau

10 Sifat-sifat norm dan jarak Jika u dan v adalah vektor dan k skalar ||u|| ≥ 0 ||u|| = 0 iff u =0 ||ku|| = |k| ||u||  perkalian vektor dgn skalar mengalikan panjang dr vektor sebesar k ||u +v|| ≤ ||u||+||v||  jumlah dua sisi segitiga lebih kecil atau sama dengan sisi ketiga dr segitiga tersebut u kuku v u u + v

11 Vektor ortogonal Dua vektor u dan v adalah ortogonal iff u·v=0 Vektor u, v dan u+v membentuk sisi-sisi segitiga u v u + v Teorema Phytagoras ||u+v|| 2 =||u|| 2 +||v|| 2

12 Ruang Vektor Real Definisi ruang vektor V: –himpunan objek di mana dua operasi berikut didefinisikan pada V jumlah dari pasangan objek dalam V perkalian objek dengan skalar Jika aksioma –aksioma untuk ruang vektor terpenuhi oleh seluruh objek u,v,w dalam V dan skalar k dan l, maka V disebut ruang vektor objek dalam V disebut vektor.

13 Aksioma-aksioma Jika u dan v adalah objek dalam V, maka u + v juga objek dalam V –u + v = v + u –u +(v +w) = (u+ v) + w Objek 0 dalam V disebut vektor nol untuk V –0+u=u+ 0=u untuk semua u dalam V Untuk tiap u dalam V, objek –u dalam V disebut negatif dari u –u + (- u) = (- u) + u = 0 Jika k adalah skalar sebarang dan u adalah objek dalam V, maka ku juga dalam V –k(u +v) = ku + kv –k(l u) = (kl) u –1u = u

14 Bukti Misal

15 Subspace (subruang) Definisi: –Subset W dari ruang vektor V disebut subspace dari V jika W merupakan ruang vektor yang dibentuk dari operasi penjumlahan dan perkalian dalam V Bila W adalah himpunan yang terdiri dari satu vektor atau lebih dari ruang vektor V, maka W subspace dari V iff –Jika u dan v vektor dalam W, maka u+v juga dalam W –Jika k sebarang skalar dan u adalah sebarang vektor dalam W, maka ku juga dalam W

16 Contoh1: subruang Garis melalui origin adalah subruang u v u + v W W u kuku Vektor u+v dan ku terletak pada bidang yang sama dengan u dan v  W adalah subruang dari R 3 u v u + v W kuku

17 Subruang dari R 2 dan R 3 Subruang dari R 2  {0}  Garis melalui origin  R 2 Subruang dari R 3  {0}  Garis melalui origin  Bidang melalui origin  R 3 Tiap ruang vektor tak-nol V minimal terdiri dari 2 subruang: –Subruang V –Vektor nol dalam V  subruang nol (zero subspace)

18 Kombinasi linear dari vektor Untuk r = 1:  w = k 1 v 1  Kombinasi linear vektor tunggal v 1 Vektor w adalah kombinasi linear dari v 1, v 2, , v r dan k 1,k 2, , k r jika Vektor v=(a,b,c): kombinasi linear dari vektor basis standar

19 Contoh 2 w kombinasi linear dari u dan v bila w = k 1 u + k 2 v (9,2,7) = k 1 (1,2,-1) + k 2 (6,4,2) (9,2,7) = k 1 +6k 2, 2k 1 +4k 2, -k 1 +2k 2 k 1 + 6k 2 = 9; 2k 1 + 4k 2 = 2; -k 1 + 2k 2 = 7 → k 1 =-3; k 2 =2 Maka w = -3u + 2v Vektor u = (1,2,-1) dan v = (6,4,2) Tunjukkan bahwa w=(9,2,7): kombinasi linear dari u dan v w´=(4,-1,8): bukan kombinasi linear

20 Rentangan (spanning) Jika v 1, v 2, , v r adalah vektor dalam ruang vektor V, maka –Himpunan W dari seluruh kombinasi linear v 1, v 2, , v r adalah subruang V –W adalah subruang terkecil dalam V yang berisi v 1,v 2, , v r Jika S = {v 1, v 2, , v r } adalah himpunan vektor dalam ruang vektor V, maka –Subruang W dari seluruh kombinasi linear v 1, v 2, , v r disebut ruang yang direntang oleh vektor tersebut –W= span (S) atau W= span {v 1, v 2, , v r }

21 Jika v 1 dan v 2 adalah vektor di R 3 dengan titik awal pada origin –Span{v 1, v 2 } yang berisi seluruh kombinasi linear k 1 v 1 + k 2 v 2 : bidang melalui origin yang ditentukan oleh v 1 dan v 2 Jika v merupakan vektor di R 2 atau R 3 –Span{v} yang berupa seluruh perkalian kv: garis yang ditentukan oleh v v1v1 k1v1k1v1 k 1 v 1 + k 2 v 2 k2v2k2v2 v2v2 y z x span{v 1, v 2 } v kvkv span{v} y z x

22 Contoh 3 Tentukan vektor semu b=(b 1,b 2,b 3 ) sebagai kombinasi linear b = k 1 v 1 + k 2 v 2 + k 3 v 3 (b 1,b 2,b 3 ) = k 1 (1,1,2) + k 2 (1,0,1)+k 3 (2,1,3) k 1 + k 2 + 2k 3 = b 1 k 1 + k 3 = b 2 2k 1 + k 2 + 3k 3 = b 3 Sistem linear konsisten iff matriks koefisien A dapat diinverskan det(A)=0 → A tidak dapat diinverskan v 1, v 2 dan v 3 tidak dapat merentang pada R 3 Tunjukkan bahwa v 1 = (1,1,2), v 2 = (1,0,1), v 3 = (2,1,3) merentang ruang vektor pada R 3

23 Himpunan vektor S = {v 1, v 2, , v r } Persamaan vektor k 1 v 1 + k 2 v 2 +  + k r v r = 0 Jika hanya ada satu solusi – k 1 = 0, k 2 = 0, , k r = 0 – S adalah himpunan bebas linier (linearly independent) Jika ada solusi yang lain – S disebut himpunan takbebas linear Kebebasan linear

24 Contoh 4 Persamaan vektor dalam komponen k 1 v 1 + k 2 v 2 + k 3 v 3 = 0 k 1 (1, - 2,3) + k 2 (5,6, - 1)+k 3 (3,2,1)=(0,0,0) (k 1 +5k 2 +3k 3, – 2k 1 +6k 2 +2k 3, 3k 1 – k 2 +k 3 ) = (0,0,0) Persamaan untuk tiap komponen k 1 + 5k 2 + 3k 3 = 0 – 2k 1 + 6k 2 + 2k 3 = 0 3k 1 – k 2 + k 3 = 0 Tunjukkan bahwa v 1 = (1, - 2,3), v 2 = (5,6, - 1), v 3 = (3,2,1) membentuk himpunan bebas linear atau tak bebas linear

25 Contoh 4 (cont.) Solusi sistem k 1 = t/2; k 2 = -t/2; k 3 = t Solusi nontrivial v 1, v 2 dan v 3 : himpunan takbebas linear Eksistensi solusi nontrivial Determinan matriks koefisien sama dengan nol Matrik tsb tidak dapat diinverskan

26 Interpretasi geometri dari kebebasan linear y z x v1v1 v2v2 y z x v1v1 v2v2 y z x v1v1 v2v2 (a) takbebas linier (b) takbebas linier (c) bebas linier y z x v3v3 v2v2 y z x v1v1 v2v2 y z x v1v1 v2v2 v1v1 v3v3 v3v3 (a) takbebas linier (b) takbebas linier (c) bebas linier

27 Basis Definisi: –Jika V adalah ruang vektor –S = {v 1, v 2, , v n }: himpunan vektor dalam V –S disebut basis untuk V jika memenuhi kondisi berikut S adalah bebas linear S merentang V (S spans V) Teorema: –Jika S = {v 1, v 2, , v n }: basis untuk ruang vektor V –Tiap vektor v dalam V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor dalam S dalam satu cara saja

28 Basis Bukti: v = c 1 v 1 + c 2 v 2 +  + c n v n dan v = k 1 v 1 + k 2 v 2 +  + k n v n Kurangkan kedua persamaan 0 = (c 1 – k 1 )v 1 + (c 2 – k 2 )v 2 +  + (c n – k n )v n Solusi: c 1 = k 1, c 2 = k 2, , c n = k n Kedua ekspresi untuk v adalah sama

29 Dimensi Definisi: –Ruang vektor tak nol V disebut dimensi berhingga –Bila V berisi himpunan vektor-vektor berhingga {v 1, v 2, , v n } yang membentuk sebuah basis –Jika tidak terdapat himpunan vektor tersebut, V disebut dimensi tak berhingga Teorema: –Jika V adalah ruang vektor dimensi berhingga dan {v 1, v 2, , v n } merupakan basis Tiap himpunan yang memiliki vektor > n  takbebas linear Himpunan vektor < n  tidak dapat merentang V

30 Dimensi Catatan: –Bila S = {v 1, v 2, , v n } adalah basis untuk V –Seluruh basis untuk V memiliki jumlah vektor yang sama dengan basis S –Basis untuk R n memiliki n vektor –Basis untuk R 3 memiliki 3 vektor –Basis untuk R 2 memiliki 2 vektor –Basis untuk R 1 memiliki 1 vektor –Jumlah vektor dalam basis = jumlah dari dimensi

31 Contoh 5 Tentukan basis dan dimensi untuk solusi ruang sistem homogen berikut: 2x 1 + 2x 2 – x 3 + x 5 = 0 – x 1 – x 2 + 2x 3 – 3x 4 + x 5 = 0 x 1 + x 2 – 2x 3 – x 5 = 0 x 3 + x 4 + x 5 = 0

32 Augmented matriks: Reduksi eselon baris: Bentuk reduksi dalam persamaan: x 1 + x 2 + x 5 = 0 x 3 + x 5 = 0 x 4 = 0

33 Dalam bentuk vektor: Solusi: x 1 = –s –t; x 2 = s; x 3 = –t; x 4 =0; x 5 = t;

34 Vektor yang merentang ruang solusi: Vektor v 1, v 2 : bebas linear {v 1, v 2 }: basis Ruang solusi: dua dimensi

35 Ruang baris, kolom dan nul Jika A matriks m×n: –subruang R n direntang oleh vektor baris disebut ruang baris dari A –subruang R m direntang oleh vektor kolom disebut ruang kolom dari A –ruang solusi dari sistem homogen dari persamaan Ax = 0 yang merupakan subruang R n disebut ruang nul dari A Teorema: –Sistem persamaan linear Ax = b adalah konsisten iff b merupakan ruang kolom dari A

36 Contoh 6 Tunjukkan bahwa b merupakan ruang kolom dari A dan ekspresikan b sebagai kombinasi linear dari vektor kolom matriks A:

37 Contoh 6 (cont.) Solusi sistem: x 1 = 2; x 2 = – 1; x 3 = 3 Sistem konsisten  b merupakan ruang kolom A Ekspresi b sebagai kombinasi linear vektor kolom matriks A

38 Basis untuk ruang baris, kolom dan nul Operasi baris elementer tidak mengubah ruang nul dan ruang baris dari matriks Jika matriks R merupakan matriks hasil reduksi baris: –Vektor baris dengan leading 1 (baris tak nol)  basis untuk ruang baris –Vektor kolom dengan leading 1  basis untuk ruang kolom

39 Contoh 7 Matriks: Basis untuk ruang baris: Basis untuk ruang kolom:

40 Rank dan nullity Rank: dimensi dari ruang baris dan ruang kolom Notasi: rank(A) Nulitas(nullity): dimensi dari ruang nul Notasi: nullity(A) rank(A)=dim(ruang baris A)=dim(ruang kolom A T ) rank(A) + nullity(A) = n Jumlah var. leading + jumlah var. bebas = n

41 Nilai maksimum dari rank Jika A matriks m×n: –rank(A) = jumlah var. leading dalam solusi Ax = 0 –nullity(A) = jumlah parameter dalam solusi Ax = 0 –Vektor baris terletak pada R n  ruang baris berdimensi n –Vektor kolom terletak pada R m  ruang kolom dimensi m –Ruang baris = ruang kolom –m  n, rank(A) = nilai terkecil antara m dan n Nilai maksimum rank: –rank(A)  min(m,n)


Download ppt "RUANG VEKTOR Trihastuti Agustinah.. Vektor pada R n Definisi Ruang-n –Himpunan seluruh tupel-n dari bilangan real Notasi: R n –n = 2  pasangan terurut;"

Presentasi serupa


Iklan oleh Google