Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu

General Vector Spaces. •Men-generalisasi konsep vektor ke object •Object dapat didefinisikan sebagai vektor jika memenuhi aksioma-aksioma yang ditentukan.

Presentasi serupa


Presentasi berjudul: "General Vector Spaces. •Men-generalisasi konsep vektor ke object •Object dapat didefinisikan sebagai vektor jika memenuhi aksioma-aksioma yang ditentukan."— Transcript presentasi:

1 General Vector Spaces

2 •Men-generalisasi konsep vektor ke object •Object dapat didefinisikan sebagai vektor jika memenuhi aksioma-aksioma yang ditentukan •Aksioma-aksioma diekstrak dari properties vektor yang paling penting

3 Outline • Real Vector Spaces • Subspaces • Linear Independence • Basis and Dimension • Row space, column space, and null space • Rank & Nullity

4 Definisi Vector Space •V adalah himpunan object dimana dua operasi (penjumlahan dan perkalian skalar) didefinisikan. •Penjumlahan: sebuah aturan untuk mengasosiasikan setiap object di u dan di v, menjadi object u + v di V •Perkalian skalar: mengasosiasikan setiap object u dengan k menjadi object uk di V •V adalah vector space, object di V adalah vektor

5 Aksioma Vector Space 1.Jika u dan v adalah object di V maka u+v juga berada di V 2.u+v = v+u 3.u+(v+w)=(u+v)+w 4.Ada sebuah object 0 di V yang disebut sebagai zero vector untuk V sedemikian hingga 0+u=u+0=u untuk semua u di V

6 Aksioma Vector Space 5.Untuk setiap u di V, ada sebuah object -u di V yang disebut sebagai negative of u sedemikian hingga u+(-u)=(-u)+u=0 6.Jika k adalah bilangan skalar apa saja dan u adalah object apa saja di V, maka ku berada di V 7.k(u+v) = ku + kv 8.(k+m) u = ku + mu

7 Aksioma Vector Space 9.k(mu)=(km) u 10.1u=u

8 Contoh Vector Space •Rn•Rn •Matrix 2x2 •Matrix mxn •Fungsi-fungsi bernilai real •Setiap bidang yang melalui titik awal di R 3 adalah vector space •Zero vector space

9 Contoh Vector space detil •Matrix 2x2 real entries

10 Contoh Vector space detil

11 Contoh yang bukan vector space

12 Properti Vector •Jika V vector space, u sebuah vektor di V dan k sebuah bilangan skalar, maka: 1.0u=0 2.k0=0 3.(-1)u=-u 4.Jika ku=0 maka k=0 atau u=0

13 Subspace •Sebuah Vektor space dapat berada di dalam vektor space yang lain •Definisi: W adalah subspace dari sebuah space V jika W adalah sebuah vector space dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar vectornya didefinisikan di vector space V

14 Subspace •Untuk menentukan apakah sebuah vector space W merupakan subspace dari vector space W, harus di periksa apakah semua aksioma dipenuhi •Tetapi jika W diketahui sebagai bagian dari V, dimana V sudah diketahui sebagai vector space, maka yang perlu diperiksa adalah aksioma 1, 4, 5, 6

15 Subspace: Teorema •Jika W adalah himpunan satu atau lebih vektor dari vector space V, maka W adalah subspace dari V jika dan hanya jika memenuhi kondisi: –Jika u dan v adalah vektor di W, maka u+v berada di W –Jika k bilangan skalar apa saja, dan u adalah vektor apa saja di W, maka ku berada di W

16 Contoh subspace •Garis yang melalui titik “origin” di R 2 dan R 3 •Himpunan matrik-matrik symetris nxn adalah subspace vector space M nn matrik simetris nxn •Himpunan matrik nxn upper/lower triangular dan himpunan matrik diagonal •Subspace polynomial degree ≤ n

17 Contoh subspace •Bidang yang melalui titik “origin” di ruang 3 dimensi (R 3 ) –W adalah bidang yang melalui titik “origin” –u dan v adalah vektor di W –Maka u+v pasti berada di W karena ia adalah diagonal parallelogram yang ditentukan oleh u dan v. Dan ku pasti berada di W untuk skalar k karena ku pasti berada di garis yang melalui u –Sehingga W “closed under addition and scalar multiplication”-> subspace R 3

18

19 Contoh: bukan subspace •W himpunan titik-titik (x,y) di R 2, dengan x≥0 dan y≥0. •W bukan subspace dari R 2 karena tidak memenuhi “closed under under scalar multiplication” •v(1,1) berada di W negative-nya, (-1)v=(-1,-1), tidak berada di W

20

21 Subspace untuk R 2 dan R 3 •Subspace R 2 –{0} –Garis yang melalui titik “origin” –R 2 •Subspace R 3 –{0} –Garis yang melalui titik “origin” –Bidang yang melalui titik “origin” –R 3

22 Solution space of homogeneous systems •Jika Ax=b adalah sebuah sistem persamaan linier, maka setiap vektor x yang memenuhi persamaan ini disebut sebagai vektor solusi dari sistem tersebut. •Teorema: –Jika Ax=0 adalah sebuah sistem linier homogen dari m persamaan dengan n variable, maka himpunan dari vektor solusinya adalah sebuah subspace dari R n

23 •Definisi: –Sebuah vektor w disebut sebuah kombinasi linier dari vektor v 1, v 2,...,v r jika dapat diekspresikan dalam bentuk: w=k 1 v 1 + k 2 v k r v r dimana k 1, k 2,..,k r adalah bilangan skalar

24 Spanning •Jika v 1, v 2,...,v r adalah vektor-vektor dalam sebuah vector space V maka: –Himpunan W dari semua kombinasi linier v 1, v 2,...,v r adalah sebuah subspace dari V –W adalah subspace terkecil dari V yang berisi v 1, v 2,...,v r dalam hal bahwa setiap subspace lain V yang berisi v 1, v 2,...,v r harus berisi W

25 Spanning •Jika S={v 1, v 2,...,v r } adalah sebuah himpunan vektor-vektor dalam sebuah vektor space V, maka subspace W dari space V yang berisi semua kombinasi linier dari vektor-vektor di S disebut space spanned by v 1, v 2,...,v r dan vektor v 1, v 2,...,v r disebut men-span W. Untuk mengindikasikan bahwa W adalah space yang di rentang oleh vektor-vektor dalam himpunan S={v 1, v 2,...,v r }, ditulis W=span(S) atau W=span{v 1, v 2,...,v r }

26 Contoh spanning • Jika v 1 dan v 2 adalah vektor-vektor noncolinear di R 3 dimana titik asal kedua vektor tersebut adalah titik origin, maka rentangan {v 1,v 2 } (yang terdiri dari semua kombinasi linier k 1 v 1 +k 2 v 2 ), adalah bidang yang ditentukan oleh v 1 dan v 2. Demikian pula, jika v adalah sebuah vektor non-zero di R 2 dan R 3, maka rentangan {v} adalah garis yang ditentukan oleh v

27

28 Spanning Theorema: Jika S={v 1, v 2,...,v r } dan S’={w 1, w 2,...,w r } adalah dua himpunan vektor di ruang vektor V, maka: span {v 1, v 2,...,v r }=span {w 1, w 2,...,w r } jika dan hanya jika setiap vektor di S adalah kombinasi linier dari vektor-vektor di S’ dan demikian juga sebaliknya

29 Linear Independence •Sebuah himpunan vektor S={v 1, v 2,...,v r } merentang sebuah ruang vektor V jika setiap vektor di V dapat diekspresikan sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor di S •Ada lebih dari satu cara untuk meng- ekspresikan sebuah vektor sebagai sebuah kombinasi linier vektor dalam sebuah himpunan spanning •Kondisi-kondisi apa yang dapat mengekspresikan setiap vektor di V sebagai kombinasi linier dari spanning vektor dengan tepat satu cara

30 Definisi linearly independence • Jika S={v 1, v 2,...,v r } adalah himpunan vektor- vektor, maka persamaan vektor k 1 v 1 + k 2 v 2+…+ k r v r =0 memiliki paling sedikit satu solusi: k 1 =0, k 2 =0,…. k r =0 Jika hanya solusi tersebut adalah satu-satunya solusi, maka himpunan S disebut dengan himpunan linearly independent. Selain itu disebut himpunan linearly dependent.

31 Menentukan linear independence

32 Solusi: Sehingga vektor-vektor tersebut memiliki solusi non-trivial dan membentuk sebuah himpunan linearly dependent

33 Teorema Sebuah himpunan S dengan vektor berjumlah 2 atau lebih adalah: 1.Linearly dependent jika dan hanya jika paling sedikit satu vektor yang berada di S dapat diekspresikan sebagai kombinasi linier dari vektor lainnya 2.Linearly independent jika dan hanya jika tidak ada vektor di S yang bisa diekspreskan sebagai kombinasi linier

34 Teorema Sebuah himpunan terhingga dari vektor vektor yang terdiri dari zero vector adalah linearly independent Sebuah himpunan yang memiliki anggota dua vektor adalah linearly independent jika dan hanya jika salah satu vektor bukan merupakan hasil perkalian skalar dari vektor yang lain

35 Teorema S={v 1, v 2,...,v r } adalah himpunan vektor di R n. Jika r>n maka S adalah linearly dependent


Download ppt "General Vector Spaces. •Men-generalisasi konsep vektor ke object •Object dapat didefinisikan sebagai vektor jika memenuhi aksioma-aksioma yang ditentukan."

Presentasi serupa


Iklan oleh Google